繁分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)技巧

1、什么叫做繁分?jǐn)?shù)？ 計(jì)算奧數(shù)專題 繁分?jǐn)?shù)問題在一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母里，至少有一個(gè)又含有分?jǐn)?shù)，這樣形式的分?jǐn)?shù), 叫做繁分?jǐn)?shù)。2例如：X ；4繁分?jǐn)?shù)中，把分子部分和分母部分分開的那條分?jǐn)?shù)線，叫做繁分?jǐn)?shù)的主分?jǐn)?shù)線(也叫主分線)。主分線比其他分?jǐn)?shù)線要長(zhǎng)一些，書寫位置要取中。在運(yùn)算過程中，主分線要對(duì)準(zhǔn)等號(hào)。如果一個(gè)繁分?jǐn)?shù)的分子部分和 分母部分又是繁分?jǐn)?shù)，我們就把最長(zhǎng)的那條主分線，叫做中主分線，依 次 向上為上一主分線，上二主分線，； 依次向下叫下一主分線，下二主分 線,，；兩端的叫末主分線。如：上末主分線上一主分線2 石 81弓 下一主各線T 下末主分線根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算也可以寫成繁分?jǐn)?shù)

2、的形式。7 33 + -如：C3 + -) + C2-1-) =8 42-124什么叫做繁分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)？ 計(jì)算奧數(shù)專題繁分?jǐn)?shù)問題把繁分?jǐn)?shù)化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)或整數(shù)的過程，叫做繁分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)。繁分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)一 般采用以下兩種方法：(1)先找出中主分 線，確定出分母部分和分子部分，然后這兩部分分別進(jìn)行計(jì)算，每部分的計(jì)算結(jié)果，能約分的要約分，最后寫成“分子部 分一分母部分”的形式，再求出最后結(jié)果。5 W* 25x 二區(qū) 728此題也可改寫成分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算式，再進(jìn)行計(jì)算(2)繁分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)的 另一種方法是：根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，經(jīng)繁分?jǐn)?shù) 的分子部分、分母部分同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)(這個(gè)倍數(shù)必須是分子部分與 分母部分所有分母的最小

3、公倍數(shù))，從而去 掉分子部分和分母部分的分 母，然后通過計(jì)算化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)或整數(shù)。21+4-（21+4）X12262656-4511130 + 58 = 88 = 8繁分?jǐn)?shù)的分子部分和分母部分，有時(shí)也出現(xiàn)是小數(shù)的情況，如果分子部分與 分母部分都是小數(shù)，可依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把它們都化成整數(shù)，然后再進(jìn)行計(jì)算。如果是分?jǐn)?shù)和小數(shù)混合出現(xiàn)的形式， 可按照分?jǐn)?shù)、小數(shù)四則混合運(yùn)算的方 法進(jìn)行處理。即：把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，或把分?jǐn)?shù)化 成小數(shù)，再進(jìn)行化簡(jiǎn)。繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算基本法則 計(jì)算奧數(shù)專題 繁分?jǐn)?shù)問題1.繁分繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，涉及分?jǐn)?shù)與小數(shù)的定義新運(yùn)算問題，綜合性較強(qiáng)的計(jì)算問題. 數(shù)的運(yùn)算必須注意多級(jí)分?jǐn)?shù)的處理，如下所

4、示：工X 4上+工32 中槎為分母甚至可以簡(jiǎn)單地說：“先算短分?jǐn)?shù)線的，后算長(zhǎng)分?jǐn)?shù)線的”.找到最長(zhǎng)的分?jǐn)?shù)線，將其上視為分子，其下視為分母.2. 一般情況下進(jìn)行分?jǐn)?shù)的乘、除運(yùn)算使用真分?jǐn)?shù)或假分?jǐn)?shù)，而不使用帶分?jǐn)?shù).所以需將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù).3.某些時(shí)候?qū)⒎謹(jǐn)?shù)線視為除號(hào)，可使繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算更加直觀.4.對(duì)于定義新運(yùn)算，我們只需按題中的定義進(jìn)行運(yùn)算即可.繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析1計(jì)算奧數(shù)專題 繁分?jǐn)?shù)問題繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析1額圓級(jí)數(shù)對(duì)附L第一屆“華歲庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決春一試第1題7 4 1 1黑4一十 一 l計(jì)算，寺一裂?34 1623【分析與解】原式二一工><2=與父© =

5、4口131-128 1 8 儂33繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析2第五屆，華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)青請(qǐng)賽復(fù)賽第1落2.計(jì)兩1分析與解】 注意，作為被除藪的這個(gè)繁分?jǐn)?shù)的分子、分母均含有嗎.于是，我們想到改變運(yùn)算 5順序，如果分子與分母在19 2后的兩個(gè)數(shù)字的運(yùn)算結(jié)果一致，那么作為被除效的這個(gè)整分?jǐn)?shù)的值為L(zhǎng) 9如果不一致，也不會(huì)嗜加我們的計(jì)算里.所以我們決定改變作為被除數(shù)的繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算順序.而作為除數(shù)的整分?jǐn)?shù)，我們注意兩個(gè)加數(shù)的分母相似，干是統(tǒng)一通分為1995X0,氏具體過程如下:59百才寫63不-522)°16、曰一在+ 522)礪后+礪9-0'_ 195T32 , 1993乂0.4 +

6、4 乂0公0 5. 1 巨 1 32 '1995x64 ?995x0.59 J993 + 2 04、1 0.4 J= 1-(x)= 1 + =1-19950,505 4繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析3槌愈級(jí)數(shù)，獨(dú)第審笫三屆“迎養(yǎng)杯"敦學(xué)黨春"決賽第一題第1題3.計(jì)算；1-41 -1987工分析與解】原式=1 = 1-萼=呼11 1193973 39731986繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析4(g)級(jí)數(shù)：*1999年全國(guó)小學(xué)教學(xué)臭林坨星決¥ B矍弟2題1O4.計(jì)算：已知二三二:，則x等于多少? i+T- I】2+Tx+Sx + 68卜 4區(qū) + 1 12x +7 11 8x

7、 4-64工分析與解】方法一二 =4】+ 1+2+2+-x+l 以 + 1 4交叉相乘有 88"6=96x+56, x=l, 25. i ii3ig9i 7方法二i 有 1 +； = '_= 14一，所以 2 +-二二2 十 一 i 所以五 十 二一,那么咒=L 25.h 128_J33422 +冀 + 繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析5(g麴級(jí)數(shù):k5.求4.43,443，,44 ,43這IQ個(gè)數(shù)的和.9T4【分析與解】方A；4+43+443+ 44 43'V*9個(gè)4= 4+04-1)4-(444-1)+. + (4424-1)10144= 4 + 44 +444 + ,.+

8、 44.4-9= -x'loTT" §(9 + 99+999+ 些9)-9現(xiàn)個(gè)。= -x(10-1) + (100-1) + (1000-1) + .+a 0000 7) - 99ioVq-=-x 111.100-9=4938271591.9 '""v-' -9個(gè)1方法二 先計(jì)算這10個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字和為3x9X=3臼；再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的十位數(shù)字和為4火為盼 加上個(gè)位的進(jìn)位的3,為36 + 3 = 3回: 再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的百位數(shù)字和為4黑步孫 加上十位的進(jìn)位的3,為32+3=33 再計(jì)篝這10個(gè)數(shù)的千位數(shù)字和為4X2B,加上百位的

9、進(jìn)位的3,為2g+3 = 3再計(jì)算這1。個(gè)數(shù)的萬位數(shù)字和為4然舊4,加上千位的進(jìn)位的3,為24+3= 2圓再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的十萬位數(shù)字和為4X5=20,加上萬位的進(jìn)位的2,為20+2 = 2倒J再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的百萬位數(shù)字和為4X4R&加上十萬位的進(jìn)位的2,為16+2=1回 再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的千萬位數(shù)字和為4X3=12,加上百萬位的進(jìn)位的1,為12+1=1目;再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的億位數(shù)字和為4X2% 加上千萬位的進(jìn)位的1,為£ + 1二趴 爵后計(jì)算這工。個(gè)數(shù)的十億位數(shù)字和為4X1=4,加上億位上沒有進(jìn)位，即為回 所以，這10個(gè)數(shù)的和為4938271591.1郎年全國(guó)4：學(xué)敕學(xué)奧

10、林匹克,初賽A卷第4題匕我們規(guī)定,符號(hào)«。舞表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算,例如.3. 502.9=2.903.5=3.5.符號(hào)23155(0.625a)x(00.4)表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)菖，例如：3,5A2.g=2,9A3.5=2,9.請(qǐng)計(jì)算：娶受,生GC0.3) + (zi2.25)、3' '104'【分析與解】原式“二 155非4 _ 5.15527 _ 打1 + 2 255 3期12 256繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析7繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析9!_ = _xn(16) (17) (17)理96隼全國(guó)小學(xué)教學(xué)奧林匹克初賽B卷第5題出規(guī)定(3)= 2X3X4,

11、(4)=3X4X5, (5)=4X5X6, 口0)=9X期篌11,如果 那么方框內(nèi)應(yīng)埴的數(shù)是多少7【分析與解】0(-) = -i=I6xl7xl8-ul(16) (17)(17) (16)15x16x175繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析8娥級(jí)& * /2 r" ,一1癡牛全國(guó)小學(xué)敷學(xué)奧林層克初賽B卷第5題民規(guī)定(3)= 2X3X4, (4)=3X4X5, (5)=4X5X6, (10)書X10X1L .如果JL=-其(16) (17) (17)那么方框內(nèi)應(yīng)埴的額是多少？1分析與簿】上(，-工+，=一二1-乂"嗎 (16) (17)(17) (16)15x16x175級(jí)數(shù)；北

12、京市第二迎春杯”毅學(xué)競(jìng)?cè)麤Q騫第二題第2題9 .從和式1+ 1 + 1 +工+中必須去掉哪兩個(gè)分?jǐn)?shù)，才能使得余下的分?jǐn)?shù)之和等于1?2 4 6 3 10 121分析與解】 因?yàn)?+工=1,所以LLL工的和為1，因此應(yīng)去掉工與工.6 12 42 4 6 128 10繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析10勵(lì)。級(jí)數(shù)：*108g年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克二次容第4憩10 .如圖1-2排列在一個(gè)扇圈上10個(gè)數(shù)按順時(shí)針次序可以組成許多個(gè)整數(shù)部分是一位的循環(huán)小數(shù), 例如L892915929.那么在所有這種數(shù)中.最大的一個(gè)是多少？圖1 -2【分析與解】有整數(shù)部分盡可能大，十分位盡可能大，則有9291B鼓大，于是最大的為9.291

13、892915,繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析11殿檢級(jí)數(shù)：*第一屆“華羅庚金杯”少年敝學(xué)邀詁春決春二試第邈11 .請(qǐng)你舉一個(gè)例子，說明“兩個(gè)真分鼓的和可以是一個(gè)真分?jǐn)?shù)，而且這三個(gè) 分敬的分母誰也不是誰的的效”.【分析與解】1 + 1=135 14 101141116 10 1510 15 6評(píng)注：本題實(shí)質(zhì)可以說是尋找享生質(zhì)數(shù)，為什么這么說昵?注意到_L+_=上L,當(dāng)a+c = b時(shí)，有_1+_1二上L二二 axt> c xb axbxcaxb cxb axbxc axe當(dāng)a% b、c兩兩互質(zhì)時(shí)，顯然湎足翔度.顯然當(dāng)a、& c為質(zhì)數(shù)時(shí)一定滿足，那么兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和等于另一個(gè)質(zhì)數(shù)，必定有一個(gè)質(zhì)數(shù)

14、為2,不 妨設(shè)淳為2,那么有2 + c = b,顯然b、c為一對(duì)李生筋數(shù).即可得出一般公式：一一十 一=> 與什2均為防敬即可.2x(c + 2) cx(c + 2 2xc繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析12級(jí)數(shù):*12. 計(jì)算 (1 為處喂"/(一焉)【分析與解】庾苴二(2 1)乂(2+1)“(3 1)><(3 + 1)¥ x(10-1)x(10+1)2x23x310x10lx3x2x4 x3x 5x4x6x5x7 x 6xgx7x9 x8x10x9x112 x 2x 3x3x4 x4x.x 10x10Ix2x3x 3x4x4 x5x5x.p. x9x9x10xl

15、 12x2x3x3x4x4x.x9x9xl0xl01x2x10x11 = 112x2x10x10 20繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析13第二展"華貢度金杯”少年敷孕速請(qǐng)賽.決賽第6題乂100,向a的整數(shù)部分是多少?11x66 4-12x67 4-13x684-14x69+15x7011x65+12x66+13x67 + 14x68+15x69【分析與解】11x66+12x67+13x68 4-14x69+15x70 皿、a=- x 10011x65 + 12x66+13x67+14x68+15x69=1卜(65+1)十 12x(66+1)+13x(67+1)+14x(68+1)+15x(69

16、+1) *1 0Q"11x65 + 12x66+13x67 + 14x68+15x69乂式1 +十 1520011x65+12x66+13x67+14x68+15x69= 100+X100.11+12+13+14+1511x65+12x66 + 13x67+14x68 + 15x69中斗11 + 12 + 13+14 + 15-11 + 12 + 13+14+15“門 100因?yàn)閤 100 V <xlOO = 11x64-12x66+13x67+14x68 + 15x69(11 + 12 + 13+144-15)x6565所以日< 1。+& = 101生.6565

17、同時(shí)11+12+13+14+15X100A11x65+12x66+13x67+14x68 4-15x69所以 a> 100+-101 .6969綜上有1013<a< 1013.所以a的整數(shù)部分為10L114-12+13+144-15100k,. - xlOO = -01 + 12+13+14+15)x69696569繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析140級(jí)數(shù)：*第六段“華，庚金杯”少隼敷整建請(qǐng)春復(fù)賽第8題99x-100與工相比，哪個(gè)更大，為什么?【分析與解】方法一之10黑乂”=41006 82 4 6 8X X X - X X3 5 7 91001101100 3 5 7 9101 1

18、01而B中分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的都比A中的分?jǐn)?shù)大，則它們的乘積也是B>A*有 AXZ4XBOHnl 3 5 7RP x x x - x,2 4 6 375&-:設(shè)月)< 10199 .X._J1003 5=x j 所以有 &XA<100 10與工相比,107X X XX9710工更大.1099-x ,那么白<.10 10102 4 6 8m Q 1、3 3 5 52 2 4 4 6 6.XX，98 100 9999X 一X ' 一 100 100lx 3x3x 5x5 x7 x 7 x.x 97x97x99x99x12x2x4x4x6x6x8x.rx96x9

19、8x98xl00xl001x33x5 5x7顯優(yōu)、_2x24x4 6x6三尊、'2都是小于1的，所以有<工，于是98x98 10010010繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算典型問題解析15鐫）麴級(jí)數(shù)：*制二屆“華亨庚公稱"少年敷用遞請(qǐng)寡:決賽二試第1典15.下面是兩個(gè)位整數(shù)相乘：111llxllLM.間上乘積的各位數(shù)字之和是多少?19334419B94-1【分析與解JSE算式中乘以亂再除以9,則結(jié)果不變.因?yàn)槎?，1能被9整除,所以將一個(gè) mjj 1989個(gè)11先對(duì)1乘以9,另一個(gè)除以身使原算式變成999.99x123456790.0123456791兆9個(gè)9共19器位數(shù)_ （100000-

20、0x123456 79001234 5679=" 工=q 一19%個(gè)。共焦羲位數(shù)=123456790.012345679 00000-1234567900123 J 5679共1兆£鬲1%9個(gè)口位數(shù)123456790,012345679123456789876543209987654320987654321共徵品位教數(shù)學(xué)計(jì)算公式（常用公式）工數(shù)學(xué)計(jì)算公式常用公式Q史如5L21. + 爐+3'+ +-=(1+2+3+ +昊)*=立婦T3.41+3+5 + 7 4+ (2m 1j| =1+2+3 + - + lji+ it +lj| + +3 + 2+1 = /js=烏

21、，+，,+-+5尸=型亡25,等比數(shù)列求和公式；2 （"七6 .平方差公式：/_=9+國(guó)（夜-町，7 .完全平方公式； y'）?足文字表述為：兩數(shù)和（或差）的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方:和，加上（或者減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，兩條公式也可以合寫在一起g士可土皿”;為便于記憶，可形象的敘述為，“首平方，尾平方, 2倍乘積在中央。繁分?jǐn)?shù)的計(jì)算練習(xí)題及答案講解1計(jì)算奧數(shù)專題繁分?jǐn)?shù)問題繁分?jǐn)?shù)的計(jì)算練習(xí)題及答案講解例1優(yōu)簡(jiǎn)275x326-51繁分?jǐn)?shù)的計(jì)算練習(xí)題及答案講解312 817924 179繁分?jǐn)?shù)的計(jì)算練習(xí)題及答案講解3計(jì)算奧數(shù)專題繁分?jǐn)?shù)問題 0990年馬鞍山市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試想)講析:如果分別計(jì)算出分子與分母的值,則難度較大七觀察式子，可發(fā)現(xiàn)分 子中含有326X274,分中中含有275X326.是可想辦法化成相同的數(shù),275 十？26 乂 214（274 + 1） X326-51275 + 326x274 _274x326 326- 51 "繁分?jǐn)?shù)的計(jì)算練習(xí)題及答案講解2計(jì)算奧數(shù)專題繁分?jǐn)?shù)問題繁分?jǐn)?shù)的計(jì)算練習(xí)題及答案講解2例2化簡(jiǎn)，/.3_J(3 + 4375)* 19-129(全國(guó)第輻“隼杯賽”復(fù)賽試題講析:可把小散化成分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)都化成假分?jǐn)?shù)，并注意將分子分母同乘 以個(gè)敷;以消除各自中的分母.于是可得21 11原