矩陣行列式的概念與運(yùn)算(標(biāo)準(zhǔn)答案)

1、矩陣、行列式的概念與運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)總結(jié):、矩陣的概念與運(yùn)算矩陣a11a12a!3中的行向量是2、如:ACa21a22a23ra11a12a13 ，ba21a22a23a11a12a21a22,Bb11b21bl2b22,Cc11c12c13,那么c21c22c23a11a21b1b21a12a22b12b22,3A3a113a213a123a22a11c11a21C11a12c21a11c12a22c21a21G2a12c22a22c22a11c13a21G3加法滿足交換律和結(jié)合律，即B A, A (B C) (AB) C 。同理如果矩陣A, B是兩個(gè)同階矩陣,a12c23a22c23如果A,B,

2、C是同階的矩陣，那么將它們對(duì)應(yīng)位置上的元素相減所得到的矩陣那么有：C叫做矩陣A與B的差，記作C A Bo實(shí)數(shù)與矩陣的乘法滿足分配律：即a(A B) aA aB。矩陣對(duì)乘法滿足： A(B C) AB AC , (B C )A BA CA , a(AB) (aA)B A(aB)(AB)C A(BC)3、矩陣乘法不滿足交換率，如a1a2bib2ci2d1d2c1c2d1a1bd2a2b2矩陣乘法能進(jìn)行的條件是左邊的矩陣A的列數(shù)與右邊矩陣B的行數(shù)相等,足交換率，不滿足消去律。二、行列式概念及運(yùn)算1.用記號(hào)a1bia2b2表不算式a1b2a1a2bb2=abza2b淇中a1a2而且矩陣的乘法不滿b1人/

3、 ,叫做二階行列式b2算式a1 b2 a2b1叫做二階行列式的展開式；其計(jì)算結(jié)果叫做行列式的值；a1,a2,bi,b2都叫做行,* 一八 a14, ,一，列式的元素.利用對(duì)角線可把二階行式寫成它的展開式，這種方法叫做二階行列式展開的a2 b2對(duì)角線法則；即在展開時(shí)用主對(duì)角線元素的乘積減去副對(duì)角線元素的乘積2.二元一次方程組的解次方程組aixa?xbiyb2 yG（其中ai,a2,bi,b2不全為零）;記C2aibia2b2叫做方程組的系數(shù)行列式;記Dxc2bib2，Dya2c2即用常數(shù)項(xiàng)分別替換行列式D中x的系數(shù)或y的系數(shù)后得到的0,則方程組有唯一一組解,xDx6，yDyD(2)0,且Dx，D

4、y中至少有一個(gè)不為零，則方程組無(wú)解； Dx Dy 0,則方程組有無(wú)窮多解.3。三階行列式及對(duì)角線法則aia2a3bi b2 b3CiC2C3我們把a(bǔ)2a3bib2b3表示算式；其結(jié)果是 ab2c3a2b3Ga3biC2a3b2Cia2biC3a1b3c2.CiC2C3叫做三階行列式；a1b2c3a2b3cla3ble2a3b2cla2ble3a1b3c2 叫做三階行列式的展開式.其計(jì)算結(jié)果叫做行列式的值;ai ,bi, q （i i,2,3）都叫做三階行列式的元素.4.三階行列式按一行（或一列）展開把行列式中某一元素所在的行和列去后，剩下的元素保持原來(lái)的位置關(guān)系組成的二階行列式叫做該元素的余子

5、式；余子式前添上相應(yīng)的正負(fù)號(hào)叫做該元素的代數(shù)余子式;其中第i行與第j列的代數(shù)余子式的符號(hào)為（i）i三階行列式可以按其一行或一列）展開成該行（或該列）元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和三階行列式有有兩種展開方式：（1）按對(duì)角線法則展開，（2）按一行（或一列）展開.5.次方程組的解aixbiycza2xb2 yc2za3xb3 yc3Z次方程組Cidid2 (其中(ai,bi,G(id31,2,3）不全為零）;a2a3bi b2 b3C2C3dibiciaidicid2b2c2，Dya2d2c2d3b3c3a3d3c3為方程組的系數(shù)行列式；記DxaiDza2a3bib2b3di d2 d3，即用常

6、數(shù)項(xiàng)分別替換行列式D中x或y或z的系數(shù)后得到的(1)當(dāng)D 0時(shí)，方程組有惟一解DxDDyDDzD(2)當(dāng)D 0時(shí)，方程組有無(wú)窮多組解或無(wú)解舉例應(yīng)用:、填空題:已知A.B，則 3A B解:3A B2、已知A解:3、解:11,B10ABABBA已知A,B,C1510則(AB)C(AB)C151012371292 ;A(BC)5 A(BC)6151012371292a b4。矩陣的一種運(yùn)算c daxcxby該運(yùn)算的幾何意義為平面上的點(diǎn)（x, y）在矩陣dy 'a b .的作用下變換成點(diǎn)c d(axby,cxdy）,若曲線x2 4xy 2y2 1在矩陣1 a.入的作用下變換成曲線x22y21,

7、則a b的值為1解：由題息bxay2,代入xy2y2 1 ,整理可得令bxayx'y,'2(x ay)2(bxy)2(12、 22b )x_2_22(a 2b)xy (a 2)y1 ,用待定系數(shù)法1 2b2 12(a 2b) a2 2 2二、選擇題5、給出下列三個(gè)式子:(1)a11ai2a22b12b22bnb21b12a11b22a21ai2a22(2)ana12a13bnb21 b31a11blia12b21a13b31(3)a11a12a13a11呢a13bnb21b31其中正確的式子的個(gè)數(shù)是解：由于上面各命題都不對(duì),所以選擇（A)6.下面給出矩陣的一些性質(zhì)中正確的是（=

8、BAB 若 AB=(0)則 A=(0)或 B=(0)C.若 AB=AC貝U B=C D.(AB)C=A(BC)解：根據(jù)矩陣的性質(zhì)，知道（ A）, （B）, （C）都不對(duì)，所以選?。―）4x7、已知A2y,B,若A=2B則x,y的值分別為,2B22,1D.不存在解：由A 2B2y2y 18、下列說法正確的是（A.任意兩個(gè)矩陣都可以相加B.任意兩個(gè)矩陣都可以相乘C.一個(gè)m k階矩陣與一個(gè)n階矩陣相乘得到一個(gè)8 2y2xn階矩陣D.一個(gè)k m階矩陣與一個(gè)k階矩陣相乘得到一個(gè)n階矩陣解：根據(jù)矩陣的乘法性質(zhì)，得到0成立。三、解答題9、已知矩陣解：設(shè)X由 2A 3XB,10 .給出方程組,ax 2y解：由

9、ax2xa 23,B6 3a11103X3aii3a21X ,使 2A 3X B3a123a2210 3a138 3a233a123a1：3a23a223a23a12a13a22a232y 36y 1 03 J 3 3有唯一解的充要條件2x 6y1即對(duì)應(yīng)2 3a 03a3 8a2 3a8即2V(22 3a)x8a一8,所以當(dāng)且僅當(dāng)3a2 一一時(shí)有唯一解。3(2)解：(1)(2)證明:(2)那么則當(dāng)根據(jù)31的值;1由此猜想:(1)當(dāng) nk(k(n2,n2時(shí),2,k等式成立:)時(shí),下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明等式成立,1時(shí),等式成立。(2)的證明知等式對(duì)2,n都成立。該商場(chǎng)的供貨渠道主要是甲、乙兩12

10、、某電器商場(chǎng)銷售的彩電、U盤和MP3播放器三種產(chǎn)品。個(gè)品牌的二級(jí)代理商。今年 9月份，該商場(chǎng)從每個(gè)代理商處各購(gòu)得彩電100臺(tái)、U盤52個(gè)、彩電U盤MP3播放器甲代理商單價(jià)23501200750乙代理商單價(jià)2100920700MP3播放器180臺(tái)。而10月份，該商場(chǎng)從每個(gè)代理商處購(gòu)得的產(chǎn)品數(shù)量都是9月份的倍?，F(xiàn)知甲、乙兩個(gè)代理商給出的產(chǎn)品單價(jià)(元)入下表所示:(1) 計(jì)算 1100 52 180 ,并指出結(jié)果的實(shí)際意義;1.5(2) 用矩陣求該商場(chǎng)在這兩個(gè)月中分別支付給兩個(gè)代理商的購(gòu)貨費(fèi)用。“100 52 180解：(1),第一行表木 9月份該商場(chǎng)從兩個(gè)代理商處購(gòu)得的彩電、U盤、150 78 2

11、70MP3播放器的數(shù)量，第二行表示10月份該商場(chǎng)從兩個(gè)代理商處購(gòu)得的彩電、U盤、播放器的數(shù)量。2350 2100100 52 180(2)1200 920150 78 270750700432400 383840648600 575760即9月份付給甲代理商的購(gòu)貨費(fèi)為432400元，付給乙代理商的購(gòu)貨費(fèi)為 383840元；10月份付給甲代理商的購(gòu)貨費(fèi)為648600元，付給乙代理商的購(gòu)貨費(fèi)為575760元。13.關(guān)于x,y的二元方程組解x my 2mmx y m0、，并討論解的情況1(1 m)(1 m)2m mDx2m m(m 1)m 1 1m(1 m)Dy1 2m2m 1 2mm m 1(2m

12、 1)(1 m)(1)當(dāng) D0,即m1,且m 1時(shí)方程組有唯一解mm 12m 1m 1(2)當(dāng)m 1時(shí)，D Dx Dy 0,方程組有無(wú)窮多組解，此時(shí)方程組可化為令 x t(t(3)當(dāng) mR)，則原方程組的解可表示為1時(shí)，D 0,但Dx 2 0,方程組無(wú)解。14.已知函數(shù)f(x)(1) 當(dāng)a 2時(shí),xx /e ae 12ex解不等式f(x)7；(2)求a的取值范圍，使得解(1)：原不等式即為(ex)2f (x)在 1,1上是單調(diào)函數(shù)。2( 2ex 1) 7,解得 x ln5 ；(2) f (x) (ex)2 2aexx 、22x2 (e a) 2 a ,且 e1,e，當(dāng) a ee,或a1 ,一時(shí)

13、, ef(x)在 1,1上是單調(diào)函數(shù)。a 1解：D 1 a11ax y z 115.解方程組：x ay z a a R2x y az a12_2_1 a 3a 2 (a 1) (a 2)a111Dx aa12.a1aa11Dy1a1d21aaa11Dz1aa11a22(a 1) (a 1),(a 1)2,(a 1)2(a 1)2,a 1a 2(1)當(dāng)a 1且a2時(shí)，方程組有唯一解1a 2(a 1)2a 2(2)當(dāng) a2時(shí)，原方程組為2x y z 1 y zx 2y z2消去x得y zx y 2z 41，所以方程組無(wú)解3z 1z 1，所以方程組有無(wú)窮多解z 1x y當(dāng)a 1時(shí)原方程組為x yx

14、yabc116.已知行列式bac1cab1(1)寫成元素bc的余子式，代數(shù)余子式B;(2)將該行列式按第二列展開abc 1b a0bac 10c acab 100 c0求證:0b(4)若a,b,c為整數(shù),試判斷該行列式的值能否被b整除;解：(1) bc的余子式為，代數(shù)余子式Bibc(2)按第二列展開為bcacbcacabbcacababacabbc(bc)ac(a c) ab(a b)=(ba)(ca)(cb)(4)值能被bcacab(b a)(c a)(cb)，又a,b, c為整數(shù)，所以c a, cb也為整數(shù)，該行列式的a b整除.X1y1X2y2X3y3的值的D17.頂點(diǎn)為A(x1,y1)

15、, B(x2,y2),C(x3,y3)的 ABC的面積等于行列式絕對(duì)值的半。試用此結(jié)論求:(1)求以(1,1), (3,4),(5, 2),(4, 7)為頂點(diǎn)的四邊形的面積;(2)已知0 ,若(1,4), (6,5)和(4,3)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P,Q, R ,你能得出什么結(jié)論解：作圖可知四邊形ABCD由兩個(gè)三角形 ABC與CDA組成。由已知可得:S ABC，一一 1的絕對(duì)值=62(2)(26)的絕對(duì)值=9。S CDA的絕對(duì)值5)(1)27的絕對(duì)值232所以所求四邊形的面積為ABCS CDA23241o2(3) 依題息：S PQR的絕對(duì)值所以 PQR的面積為0,從而點(diǎn)P,Q, R三點(diǎn)共線。sin x18。已知函數(shù) f(x)sin xV3cosxsinx的定義域?yàn)?, ,最大值為4.試求函數(shù)2mg(x) msin x 2cos x (x