第六講格點與割補(教師版)

1、智源奧數(shù)工作室聯(lián)系手機六講格點與割補內(nèi)容概述正方形格點陣中多邊形面積的計算公式，出現(xiàn)在各種形狀的格點陣中的直線形的面積問題，以及借 助構(gòu)造格點陣求解的幾何問題.通過恰當(dāng)?shù)胤指钆c拼補進行計算的面積問題.典型問題1 .如圖6-1 ,每一個小方格的面積都是l平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米第六講格點與割補 第5頁共10頁(N+L-1) X單位正方形面積，其中 N為 2【分析與解】方法一：正方形格點陣中多邊形面積公式:圖形內(nèi)格點數(shù)，L為圖形周界上格點數(shù).有N=4, L=7,則用粗線圍成圖形的面積為：(4+7-1 ) X1=6.5(平方厘米)2方法二：如下圖，

2、先求出粗實線外格點內(nèi)的圖形的面積，有=3+ 2=1.5 ,=2+2=1,=2+2=1,=2+2=1,=2+2=1,=2+2=1,還有三個小正方形，所以粗實線外格點內(nèi)的圖形面積為1.5+1+1 + 1+1+1+3=9.5 ,而整個格點陣所圍成的圖形的面積為16,所以粗線圍成的圖形的面積為：16-9.5=6.5 平方厘米.2.如圖6-2 ,如果每一個小三角形的面積是1平方厘米，那么四邊形 ABCD勺面積是多少平方厘米 ？圖E -(2N+L-2)x單位正三角形面積，其【分析與解】方法一：正三角形方形格點陣中多邊形面積公式: 中N為圖形內(nèi)格點數(shù)，L為圖形周界上格點數(shù).有N=9, L=4,所以用粗線圍成

3、的圖形的面積為：(9X2+4 - 2) X 1 =20(平方厘米).方法二：如下圖，我們先數(shù)出粗實線內(nèi)完整的小正三角形有10個，而將不完整的小正三角形分成4部分計算，其中部分對應(yīng)的平行四邊形面積為4,所以部分的面積為 2,、部分對應(yīng)的平行1, 4, 3.所以粗實線內(nèi)圖形的面積為四邊形面積分別為 2, 8, 6,所以、部分的面積分別為 10+2+1+4+3=20（平方厘米）.3.如果圖6-3是常見的一副七巧板的圖，圖 6-4是用這副七巧板的7塊板拼成的小房子圖，那么, 第2塊板的面積等于整幅圖的面積的幾分之幾 ？第4塊板與第7塊板面積的和等于整幅圖的面積的幾分之 幾？【分析與解】如下圖，我們在圖

4、6-3中標(biāo)出圖6-4中各塊圖形的位置.設(shè)整個七巧板組成的正方形的邊長為1 ,顯然整幅圖形的面積為1 ,且有第 2塊的面積為1x211有S3 = S4,S2=S5 =87=2S3,有2、3、4、5、7五塊圖形的面積之和為一，所以S4=Se方形igfb，S7=一 28。+1=旦16 8 16圖6 51 ,所以第2塊板的面積等于整幅圖面積的1,第4塊板與第7塊板面積和為整幅圖面積的84 .把正三角形每邊三等分，將各邊的中間段取來向外面作小正三角形，得到一個六角形. 再將這個六角形的各個“角”（即小正三角形）的兩邊三等分，又以它們的中間段向外作更小的正三角形，這樣就得到圖6-5所示的圖形.如果這個圖形

5、面積是1,那么原來的正三角形面積是多少 ？【分析與解】方法一：如右圖，我們將圖 6-5分成若干個大小、形狀完全相同的小正三角形，由40塊小正三角形組成圖 6-5,而由27塊小正三角形組成了圖中最大的正三角形.120 塊小正三角形的面積為1,所以每塊為,那么原來的正三角形由81塊小正三角形組成，其120一 27 面積顯然為一40方法二：如下圖，我們把圖C兩種正三角形的面積依次為“6-5中的三角形分成 A、B、C三種，設(shè)A形正三角形面積為“ 1”，則B、1 ”“1 ”一 、 981在圖6-5中，A種、B種、C種正三角形的個數(shù)依次為1, 3, 12,所以圖6-5中圖形的面積為1+3X 1+12X =

6、 40-.所以有“1”對應(yīng) 生,而原來的正三角形即為三角形A,所以原來的正三角形981 2740，一，27的面積為.405.如圖6-6 ,正六邊形ABCDEF勺面積是6平方厘米，M是AB中點，N是CD中點，P是EF中點.問: 三角形MNP勺面積是多少平方厘米 ？圖6-6【分析與解】如下圖，我們將圖6-6分成大小、形狀相同的三角形，有正六邊形ABCDE庖含有24個小正三角形，而陰影部分MN咆含有9個小正三角形.1-,一 正六邊形ABCDE用勺面積為6,所以每個小正三角形的面積為6 + 2 4=1,所以三角形 MNP的面積為41 一、9X -=2.25（平萬厘米）.46 .把同一個三角形的三條邊分

7、別五等分、七等分，適當(dāng)連接這些分點， 便得到了若干個面積相等的小三角形.已知圖6-7中陰影部分的面積是 294平方分米，那么圖6-8中的陰影部分的面積是多少平方圖6-7【分析與解】在圖6-7中，原正三角形被分成25個小正三角形，而陰影部分含有12個小正三角形，所以每個小正三角形的面積為294+12=24.5，所以原正三角形的面積為24.5X25=612.5（平方分米）.而在圖6-8中，原正三角形被分成49塊，而陰影部分含有 16塊，所以陰影部分的面積為612. 5+49X16=200（平方分米）.7.圖6-9是5X5的方格紙，小方格的面積是1平方厘米，小方格的頂點稱為格點.請你在圖上選7個格點

8、，要求選出的點中任意3點都不在同一條直線上，并且使這7個點用直線連接后所圍成的面積盡可能大.那么所圍圖形的面積是多少平方厘米？適當(dāng)?shù)那腥フ叫蔚囊粋€角可以得【分析與解】我們知道滿足題意的 7個點可以組成一個七邊形,到一個五邊形，切出 2個角可以得到一個六邊形，切去3個角可以得到七邊形.為了使最后留下的七邊形的面積盡可能大，那么切去的3個角面積應(yīng)盡可能的小.如下切法得到的七邊形的面積最大，為 25-3X0.5=23.5（平方厘米）.8 .在圖6-10中，三角形 ABC和DEF是兩個完全相同的等腰直角三角形，其中DF長9厘米，CF長3厘米，那么陰影部分的面積是多少平方厘米？A D圖 6 - 10【

9、分析與解】方法一：如圖（a）,將原題中圖形分為 12個完全一樣的小等腰三角形. ABC占有9個小等腰三角形，其中陰影部分占有6個小等腰三角形，SVABC =9X 9+2=40.5（平方厘米），所以陰影部分的面積為40. 5+9X6=27（平方厘米）.方法二：如圖（b）,連接IG,有四邊形ADGI為正方形，易知FG=FC=3（1米），所以DG=DF-FG=9-3=6（厘1一12米），于 ZE S'hig =- X S正方形 aigd =一 * 6 =9.44而四邊形IGFB為長方形，有 BF=AD=DG=61米），GF=3（厘米），所以8K方形IGFB =6X 3=18.陰影部分面積為

10、A HIG與長方形IGFB的面積和，即為9+18=27（平方厘米）.圖®方法三：如圖（C）,為了方便敘述，將圖 6-10中某些交點標(biāo)上字母.易知三角形 BIE、CGF AIH、DGH勻為等腰直角三角形.先求出等腰直角三角形 AHI、CGFW面積，再用已知的等腰三角形 ABC的面積與其作差，即為需求陰 影部分的面積.有 SVBC = S'Def =1 X EFX DF=81 , SVGF =1 X CFX FG=9 .abc def 22 CGF 22因為 CF=FG=3 所以 DG=DF-FG=6如圖（d）,可以將4個三角形DGHt成一個邊長為 DG的正方形.1所以，Scd

11、8VDGH = X DGX DG=9 而 SaIH =S%GH =9,所以 S'K影 BFGHI 4-9 -9=27（平方厘米）.2即陰影部分的面積為 27平方厘米.智源奧數(shù)工作室聯(lián)系手機：189640655669.如圖6-11 ,在長方形 ABCM,。是長方形的中心，BC長20厘米，AB長12厘米，DE=4AE CF=3DF那么陰影部分的面積是多少平方厘米？圖 6- 11【分析與解】我們只用先求出四邊形 ADFO勺面積，再將其減去兩個三角形AEO EFD的面積和,即為所求陰影部分的面積.而四邊形ADFO勺面積等于兩個三角形 AOD ODF勺面積和.由題意知 AE=4, ED=16,

12、DF=3 FC=91o有 S 'AOD = . S巨形 ABCD41=-X20X 12=60,4八 11S%df= xdfx( AD尸2411-X3X - X 20=15.22一. 1_1 _S%O=_ XAEX( -AB)=2211. “_ X4X _ X 12=12,22一. 1_ _ 1S%D = XEDX DF=- X 16X3=24.22有 S陰影=(SAod + Sodf )- SMeo - S*EFD =60+15-12-24=39(平方厘米).即陰影部分的面積為 39平方厘米.10.如圖6-12 ,大正方形的邊長為 10厘米.連接大正方形的各邊中點得小正方形，將小正方形

13、每 邊三等分，再將三等分點與大正方形的中心和一個頂點相連，那么圖中陰影部分的面積總和等于多少平 方厘米？圖 6- 12第六講格點與割補 第9頁共10頁圖 6 - 14【分析與解】 如下圖，我們將大正方形中的所有圖形分成A B兩種三角形.其中含有A形三角形8個，B形三角形16個，其中陰影部分含有 A形三角形4個，B形三角形8個.1r , 1一、一，所以，陰影部分面積恰好為大正方形面積的，即為1 X 10X 10=50（平方厘米）.2211 .如圖6-13, ABC皿邊長為8厘米的正方形，梯形 AEBDW對角線相交于 0,三角形AOE的面積比三 角形BOD勺面積小16平方厘米，則梯形 AEBD勺面

14、積是多少平方厘米 ？B圖 6 - 13【分析與解】 如下圖，將梯形 AEBDrt 4個三角形的面積分別記為、.在梯形AEBD中，有AEBD ABD同底等高，所以有 S4BD=SABD ,即+=十.顯然有 二.EBD ABD由題意知 SB O D- S%OE =16 ,即-=16 ,于是有(+)-(+)=16 .已知1十;口 =- X 8X8=32,所以 + =( +)-16=16.所以有S梯形AEBD =(+)+(+)=32+16=48(平方厘米).評注：在任意梯形ABCM,兩條對角線將其分成四個部分， 記它們的面積為“上”、“下”、“左”、,有：左=右；左X右=上下；上：下 =AD2 : B

15、C2 .12.如圖6-14 , ABC皿長方形，長 AD等于7.2厘米，寬 AB等于5厘米，CDEF是平行四邊形.如果BH的長是3厘米，那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？【分析與解】S平行四邊形 CDEF =DC< BC=5< 7 .2=36，HC=BC-BH=7.2-3=4.2，所以S%DH=XCDK HC=- X5X4 .2=10.5 .SK影=S平行四邊形 CDEF- SCdh =36-10.5=25.5（平方厘米）.13 .如圖6-15,已知一個四邊形的兩條邊的長度和三個角，那么這個四邊形的面積是多少圖 6 - 15【分析與解】將AD BC延長交于E,有/ EDC=45

16、 , / ECD=90 ,所以4 CDE為等腰直角三角形,有 EC=DC而/ ECD =45° , / EAB=90 ,所以 ABE也是等腰直角三角形，有 EA=AB有 SABE =1 XABX EA=49 , s EDC = 1 X ECX DC=9 .49 - 9 =20.ABEEDC有 S四邊形 ABCD = S 'ABE - S , EDC =14.圖6-16是邊長為1的正方形和一個梯形拼成的“火炬”.梯形的上底長1.5米，A為上底的中點，B為下底的中點，線段 AB恰好是梯形的高，長為 0.5米，CD長為丟米.那么圖中陰影部分的面積是 多少平方米？圖 6-16【分析與

17、解】方法一：為了方便敘述.將下圖中一些點標(biāo)上字母.延長AB交正方形邊EF于H點,智源奧數(shù)工作室聯(lián)系手機們先求出梯形JICK與正方形IFEC的面積和，再求出三角形 AFH與梯形AHED勺面積和，將前者與 后者做差所得到的值即為所求陰影部分的面積.-1S梯形JICK=2X(1 .5+1)XO.5=0.625，S正方形 IFEC =1 * 1=1 SVAfh = 1 X AHXFH=-X (AB+BH X ( 1FE)= 1X( 0.5+1)- (1x1) =0.375 ,22222-11111113S 梯形 ahed =-X(AH+DE)X HE=X (AB+BH+CEC

18、D)X ( FE)=X (0.5+1 + 1 )><(X 1)= 一,2222322413 17有 S陰景，=SwJICK+ 治方形 ifec - s%h - S弟形g=0.625+l-0.375-萬=24(千萬米) .17即陰影部分的面積為 17平方米.24第六講格點與割補 第13頁共10頁方法二：如下圖，連接AI、AC,將陰影部分分成四個部分. AJI可以看作以AJ為底, 形；4AJF可以看作以IF為底,AB的長為高的三角形； AKC可以看作以AK為底，AB的長為高的三角 舊的長為高的三角形； ACD可以看作CD為底.CB的長為高的三角形.陰影部分面積為S，AJI +S，akc +S；aif +S'acdAJI AKC AIF ACD=0.75X0.5 + 2+O. 75X0.5+2+l XO . 5+2+1 XO . 5 + 23=0.1875+0.1875+0.25+1121717 (平