現(xiàn)代數(shù)字信號處理題解

1、現(xiàn)代數(shù)字信號處理復習題一、填空題1、平穩(wěn)隨機信號是指：概率分布不隨時間推移而變化的隨機信號，也就是說，平穩(wěn)隨機信號的統(tǒng)計特性與起始時間無關，只與時間間隔有關。判斷隨機信號是否廣義平穩(wěn)的三個條件是:(1) x(t)的均值為與時間無關的常數(shù)：mx(t)=C (C為常數(shù))；(2) x(t)的自相關函數(shù)與起始時間無關，即：Rx(ti,tj) = Rx(ti,ti +t)= Rx(i)；(3)信號的瞬時功率有限，即：Dx = Rx(0)<g。高斯白噪聲信號是指： 噪聲的概率密度函數(shù)滿足正態(tài)分布統(tǒng)計特性，同時其功率譜密度函數(shù)是常數(shù)的一類噪聲信號。信號的遍歷性是指：從隨機過程中得到的任一樣本函數(shù)，好象

2、經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)，因此，用一個樣本函數(shù)的時間平均就可以代替它的集合平均。廣義遍歷信號x(n)的時間均值的定義為： ,其時間自相關函數(shù)的定義為： 。時連續(xù)信號工加= litnr) = E >x(i + r) = |im 弄J ,(r)工(f + r)山寓敢信號：芯-) - Um i £工(制) *磴(mS jr(rt)jr(n + m )值得注意的是，遍歷信號的前提是其必須其信號口2、連續(xù)隨機信號f(t)在區(qū)間卜孫上的能量E定義為： 可心)卜,。|九其功率p定義為：乩©=眄；，：汽研九離散隨機信號f(n)在區(qū)間S上的能量E定義為：+=&|阿>其

3、功率p定義為：電加卜射擊 自外M注意：(1)如果信號的能量0<E<8,則稱之為能量有限信號，簡稱能量信號。(2) 如果信號的功率0<P<8,則稱之為功率有限信號，簡稱功率信號。3、因果系統(tǒng)是指：對于線性時不變系統(tǒng)，如果它在任意時刻的輸出只取決于現(xiàn)在時刻和過去時刻的輸入，而與將來時刻的輸入無關，則該系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。4、對平穩(wěn)隨機信號，其自相關函數(shù)為Rx(W),自協(xié)方差函數(shù)為Cx(T),(1)當 7 T 0時，有：Rx(T) = Dx , Cx(7)=仃2。(2)當 ET 比 時，有：Rx(T)=m： , Cx(7) = 0。5、高斯-馬爾可夫隨機信號的自相關函數(shù)的一般表

4、達式可表示為：Rx(7)=g-,、1p(x)=20 二2X2 106、高斯-馬爾可夫信號x(t)的自相關函數(shù)為Rx(Jt)=10e_4|4 ,其均值mx =A； RXoa) =0，均方值Dx =RX(0) =10 ,方差仃2 =Dx =10。其一階概率密度函數(shù)的表達式為:注意：(1)Dx(t)=Q：(t) +m2(t)(2) 一階高斯隨機信號的概率密度函數(shù)為:1p (x) = . exp 士 一2 2jIO-(X-mx)221第11頁，共10頁式中，:-2 =Rx(0) =Dx227、求MA(1)的功率譜的一般表達式為：Sx(o)=|H(ej|仃2=仃2 1+證?。8、由Wold分解定理推論可

5、知，任何 AR或ARMA序列均可用無限階的惟一 MA模型MA”)來表示。9、經(jīng)典功率譜估計的方法主要有周期圖法(直接法)和相關圖法(間接法)兩大類。對經(jīng)典譜估計方法的改進措施主要有：(1) 經(jīng)典譜估計性能分析；(2)Bartlett法譜估計；(3)Welch 法譜估計。10、設計維納濾波器時使用的正交性原理是指：在最小均方誤差(MMSE準則下，誤差 e(n)與每一個輸入樣本 x(n-k) 者B是正交的。11、在訓練自適應濾波器時，收斂速度與學習率及輸入信號的自相關矩陣的最小特征值取值有關。學習率越大，收斂速度越;最小特征值越小，收斂速度越慢。12、譜估計的分辨率是指估計值S?(co)保證真實譜

6、 S(co)中兩個靠得很近的譜峰仍然能被分辨出來的能力在經(jīng)典譜估計中，決定譜估計分辨率的主要因素是窗函數(shù)的主瓣寬度。注意：主瓣越寬，分辨率越低。二、問答題1、什么叫能量信號？什么叫功率信號？答：(1)如果信號的能量 0<E<8,則稱之為能量有限信號，簡稱能量信號。(2)如果信號的功率 0<P<8,則稱之為功率有限信號，簡稱功率信號。2、什么叫線性時不變系統(tǒng)？什么叫因果系統(tǒng)？答：(1)具有線性性和時不變性的系統(tǒng)叫線性時不變系統(tǒng)。(2)對于線性時不變系統(tǒng)，如果它在任意時刻的輸出只取決于現(xiàn)在時刻和過去時刻的輸入，而與將來時刻 的輸入無關，則該系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。注意：因果系統(tǒng)是

7、指當且僅當輸入信號激勵系統(tǒng)時，才會出現(xiàn)輸出響應的系統(tǒng)。也就是說，因果系統(tǒng)的響應 不會出現(xiàn)在輸入信號激勵系統(tǒng)的以前時刻。3、如何判斷一個線性時不變系統(tǒng)是穩(wěn)定的？答：一個線性時不變系統(tǒng)是用I定的充要條件：工|h(n) <gn 二-二(1)充分性：如果Q0Z h(n) <8成立，對 寸有界的輸入，輸出也是有界的; n =.：qQ(2)必要性：如果系統(tǒng)穩(wěn)定，X h(n) <°°成立。n =.二4、強平穩(wěn)隨機信號和廣義平穩(wěn)隨機信號是如何定義的？答：(1) 定義工-1 (平n陸機侑號)設隨機信號丁的有限堆樣本隨機空族的 聯(lián)合慨率函數(shù)為若對任意時間間隔r中(11*12，

8、*、上.,£ /2,= p(_T| =文1工，力 + T。+ F) (2,2.9) 則稱X(F)為平穩(wěn)隨機信號，或強平穩(wěn)電機信號或產(chǎn)平穩(wěn)隨機信號,(2定義4廳一氯平源信宅目有,怙的通相信蛛/nr=斗物儲母更朗平穩(wěn)信號。從上述定義可見,強平穩(wěn)隨機信號一定是廣義平穩(wěn)的，反之則不一定成立5、對于連續(xù)時間信號和離散時間信號，試寫出相應的維納一辛欣定理的主要內(nèi)容。 答：(1)連續(xù)時間信號相應的維納-辛欣定理主要內(nèi)容：連續(xù)時間信號的功率譜密度與其自相關函數(shù)滿足如下關系:Sx()=.二艮(%d . = F(Rx( )1 二iRx( ) = . 一Sx( ' )e ' d '

9、2二-(2)離散時間信號相應的維納一辛欣定理主要內(nèi)容:離散時間信號的功率譜密度與其自相關函數(shù)滿足如下關系:Sx(ej ) = /一 Rx(m)emm 一二二1R(ej )ej M6、試列舉出隨機信號的功率譜密度函數(shù)的三條性質(zhì)。對稱性:對實信號Z。，由于對C)是實偶函數(shù)，因此&(w)也是實偶函數(shù)，即：SJ-鄴)=5<G(2.4.5)(246)對復信號Mf),此是共匏對林的,可知8卬)是實函數(shù).但不是偶函教翡負性始)/(2*4.7)糙限性:當 0時，有tR,(0) = J 8r(2.4.8)由于R(0) = Dr表示瞬時功率，可見對信號功率譜的積分得到信號的功率，如圖2-4 所示,這

10、正是“功率9F命名的由來。Ms)KI2-4肘功季謙的粗分得到*時功率滑分解定理:如果導(抽)為8的有理函數(shù)，刖S乂皿)可分解為：S<w) = S：U)S；(w) = S： J)【f；(田)(2,4.9)式中，S；(w)為一僅在z的左半平面具有零點和極點的有理函®hS；(G為一僅在w的右 事平面具有零點和攝點的有理函有關諸分第定理的詳細論述，可和閱參考文獻10 和門7、什么是估計的偏差？什么叫無偏估計？什么叫漸進無偏估計?答：假設彳t計量為a (a可以是均值、方差、自相關函數(shù)等)，它的估計值為 ？，如果E(e?) = a,則稱3為a的無偏估計，否則稱 ？為有偏估計;定義估計的偏差

11、為：b =E(a)a,如果估計值J?不是無偏估計，但隨著樣本數(shù)目的增加，其數(shù)學期望趨近于真實的估計量，即：limE(旬-a =0 ,則稱估計值 白為漸近無偏估計。N )8、請寫出 ARMAp,q)的數(shù)學模型表達式，并畫出該模型的電路框圖。答：(1) ARMA p,q)的數(shù)學模型表達式:£ E 7)a (b T)/=)式中，電1$,*,二丫2,品為常數(shù),中0 =尸0 =1(2)該模型的電路框圖如下所示:9、請寫出 AR(p)的數(shù)學模型表達式，并畫出該模型的電路框圖。答：(1) AR(p)的數(shù)學模型表達式(2)該模型的電路框圖如下所示:注意：AR(p)模型又稱全極點模型。10、請寫出 M

12、A(q)的數(shù)學模型表達式，并畫出該模型的電路框圖。答：(1) MAq)的數(shù)學模型表達式£ 一 了)(2)該模型的電路框圖如下所示:注意：MA(q)模型又稱全零點模型。11、什么是譜估計的分辨率？在經(jīng)典譜估計中，決定其分辨率的主要因素是什么?答：譜估計的分辨率是指估計值s?a)保證真實譜s儂)中兩個靠得很近的譜峰仍然能被分辨出來的能力，在經(jīng)典譜估計中，決定譜估計分辨率的主要因素是窗函數(shù)的主瓣寬度，主瓣越寬，分辨率越低。12、BT譜估計的理論根據(jù)是什么？請寫出此方法的具體步驟。答：(1)相關圖法又稱 BT法，BT譜估計的理論根據(jù)是：通過改善對相關函數(shù)的估計方法，來對周期圖進行平 滑處理以

13、改善周期圖譜估計的方差性能。(2)此方法的具體步驟是：給出觀察序列x(0),x(1)，x(N 1),估計出自相關函數(shù)：R(m)=一 N 1 < m < N -11 N中 x(n)x(n m),N n對自相關函數(shù)在(-M, MD內(nèi)作Fourier變換，得到功率譜:MS(o)= £ F?(m)eo (m)e-jc<mm -_M式中，一般取 m <N -1, m(m)為一個窗函數(shù)，通?？扇【匦未??？梢姡摯昂瘮?shù)的選擇會影響到譜估計的分辨率。13、AR譜估計的基本原理是什么？與經(jīng)典譜估計方法相比，其有什么特點?答：(1) AR譜估計的基本原理是：pp 階的 AR模型表

14、示為:x(n) = £ *x(ni)+u(n)i w其自相關函數(shù)滿足以下 YW方程:m>0m=0取m =0,1,2，p ,可得到如下矩陣方程:Kx(0)Rx(1)aLRx(p)Rx(1)Q(0) a Rx(p-1)Rx(p)1Rx(p-1) Q aaRx(0)*k20i'.0在實際計算中，已知長度為N的序列x(n),可以估計其自相關函數(shù) Rx(m),再利用以上矩陣方程，直接求出參數(shù)*,52,Q及。2,于是可求出x(n)的功率譜的估計值。(2)與經(jīng)典譜估計方法相比，其有以下特點：U)ARig比經(jīng)典譜平滑由于AR港估計模型是一個有理分式，因此其估計出的譜要比經(jīng)典的平滑口(2

15、)AR譜的分辨率經(jīng)典的分辨率為粵,2m對位于采樣頻率.N為數(shù)據(jù)長度,AR譜分辨率比經(jīng)典塔要高.(3)AR諧的匹配性質(zhì)隨著階數(shù)p的增加,AR譜與真實譜就越接近，因此理論上總可以用一個階數(shù)足夠大的 AR模型來砧計墻,以達到任意精度,AR譜是在其實謂的上、下波動，而且反映潛峰的性能 比較好.(4)AR諧的方差理論分析程困難，相對地酢,其方岸反比于N和信噪比:(5)AR模地的穩(wěn)定性可以證明，如果自相關矩陣是正定的，則由Yule-Walker方程求出的AR模理是稔 定的由(6)AR謊牯計的不足與信號的信噪比關系較大，信噪比低，則方差大，分辨率低U如果信號N n )是含噪聲的正弦信號，其暹峰易受M G機相

16、位的彩晌,并且可能出 現(xiàn)“諧線分裂"的現(xiàn)象。諾的質(zhì)量受戶的影響大，,取信小，則過于平滑,精度不夠,p太大，則可能會產(chǎn)生虛 假的酒*1；14、Burg算法有什么特點？答：(1)不需要估計自相關函數(shù) Rm(n),而是從數(shù)據(jù)x(n)直接求解；(2)比自相關函數(shù)法有更好的分辨率，但會出現(xiàn)“譜線分裂”的現(xiàn)象，對于高階模型可能產(chǎn)生虛假的峰值；(3)對于短序列(N較小)，Burg算法的性能不亞于 LD算法的性能，N較大時，兩者性能相當；(4)Burg算法估計的參數(shù)滿足| <1, i =1,2,，p ,即求出的AR模型總是穩(wěn)定的；(5)對于有噪聲的正弦信號，Burg算法存在著對正弦初相位的敏感

17、問題，尤其當數(shù)據(jù)長度比較短時，隨著頻率偏差的增加，這種敏感性就越來越明顯，從而會導致與相位有關的頻率偏差。15、試簡要說明設計維納濾波器的一種方法。答：如果設計的濾波器是線性非時變的，并按照最小均方誤差準則來設計，得到的濾波器即是維納濾波器。16、梯度搜索法的基本原理是什么？Widrow提出的LMS算法與基本梯度法 有何不同？試寫出 Widrow提出的LMS算法的基本步驟。答：(1)梯度搜索法的基本原理：課本第 165頁(2) Widrow提出的LMS算法與基本梯度法的區(qū)別：課本第 168頁(3) Widrow提出的LMS算法的基本步驟：課本第 168頁22 ,、Dx=0x(。mx(t) &#

18、176;三、證明題 1、均值函數(shù)、均方函數(shù)及方差函數(shù)三者之間滿足如下關系: 證明:2、試證明：對于廣義平穩(wěn)隨機信號， 其自相關函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)與均值之間如下關系：Rx(t) =Cx&) + m£。xxx證明：3、對平穩(wěn)隨機序列，設x0,xi，Xn是觀察到的 N個樣本，如果其均值mx已知，對方差的估計為:N 12 I 一29XZ (xn -mx)，請證明，此估計是無偏的，并且是一致的。N n王證明：4、令x(n)是一個平穩(wěn)白噪聲過程，它的均值為零、方差為 仃2。又令y(n)是沖激響應為h(n)的線性非移變 系統(tǒng)在輸入為x(n)時的輸出。(a) 證明 Ex(n)y(n) =h(

19、0)b2;(b)證明ojCO2 一 一 2 一 .=6 £ h (n)。證明:四、計算題1、對隨機初相正弦信號隨機相位正弦信號X(t) =Asin(coo +電，As。為常數(shù)，是在0, 2n間均勻分布的隨機變量，試考察此信號是否是廣義遍歷的？寫出計算過程。(15分)2、對如下AR(1)的隨機信號：x(n) =ax(n 1)+u(n),求其的自相關函數(shù)及功率譜密度函數(shù)。(10分)3、設隨機信號x(t) =Ac。陰0t +Bs i n0t,«0為正常數(shù)，A, B為相互獨立的隨機變量，且E(A) =E(B) =0, D(A) =D(B) =o2。試討論 x(t)的平穩(wěn)性。4、根據(jù)圖題 15,寫出平穩(wěn)信號x(t)的自相關函數(shù) x(t)的表達式，并求信號x(t)的均值、均方值、自協(xié)方差函數(shù)和方差。5、如下AR(1)的隨機信號：x(n) =2x(n _1)+u(n) , u(n)是零均值的高斯白噪聲，求信號 x(n)的自相關函數(shù)及功率譜密度函數(shù)。該AR系統(tǒng)是否是穩(wěn)定的？ (10分)6、已知零均值白噪聲信號u(n)的瞬時功率為 1,試計算二階 MA(2