考研高數(shù)課件新高等數(shù)學(xué)上冊輔導(dǎo)課件——第二章上課資料

1、第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念一、導(dǎo)數(shù)的定義定義：若極限lim孚=lim "還十竽一"飛）存Ar-»O &Ar->0AX在，則稱函數(shù)y = /（x）在點(diǎn)/處可導(dǎo)，此極限值稱為函數(shù)y = /（x）在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)。記為：r（x0）vX=XQdydxX=XQdf(x)dxX=XQ（或極限lim存在也可）Xf X。X-XQlim包=limo Ax° Ax單側(cè)導(dǎo)數(shù): 左導(dǎo)數(shù)：lirn /(q +竺)-/(/) = lim £(%)-£(%)存在，to Axx-mx x0則稱左導(dǎo)數(shù)存在，記為：£(X0)o右導(dǎo)數(shù)：lim /

2、+ &)-/)=1而 %)-/(%。)存在,Ar-> 0+AX%溫X Xo則稱右導(dǎo)數(shù)存在，記為：r(x0)o定理:I函數(shù)在X?？蓪?dǎo)當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在X。的左右導(dǎo)數(shù) I存在且相等?！纠?】(89 )已知7(3) = 2 ,則3 2h【例2】(87-)設(shè)/(%)在處可導(dǎo)，則limx>0/( + %) /(一%)等于(A) /'(a).(B) 27(。).(C) 0.(D)/(2).例 3 (89 二)設(shè)/(x) = x(x + l)(x + 2)(x + ), 則/(0)=.【例4】(89")設(shè)/(%)在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則/(X)在處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是(A)

3、 lim h /(ti + -)-/(«)存在. Af+ooh(B) + 2-八。+存在hf。h(C) 存在一-o2h(D) 11m/一/(”仍存在. 2ohx2 -1(【例5】(93二)設(shè)= ( KT" * L則在點(diǎn) = 12, x = 1處函數(shù)/(%)(A)不連續(xù).(B)連續(xù)，但不可導(dǎo).(C)可導(dǎo)，但導(dǎo)數(shù)不連續(xù).(D)可導(dǎo)，但導(dǎo)數(shù)連續(xù).X3 X v 1【例6】(94二)設(shè)/(”)=3 ' ，則/在“x2,x > 1處的(A)左、右導(dǎo)數(shù)都存在.(B)左導(dǎo)數(shù)存在，但右導(dǎo)數(shù)不存在.(C)左導(dǎo)數(shù)不存在，但右導(dǎo)數(shù)存在.(D)左、右導(dǎo)數(shù)都不存在.【例7】(96-)設(shè)函

4、數(shù)/(%)在區(qū)間(-5)內(nèi)有定 義，若當(dāng)工£(-5時(shí)，恒有貝|% = 0必是/(%)的(A)間斷點(diǎn).(B)連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn).(O可導(dǎo)的點(diǎn)，且/'(0) = 0.(D)可導(dǎo)的點(diǎn),且，(0)。0.【例8】(90三)設(shè)函數(shù)/(%)對任意的均滿足等式f(x + l)=af(x),且有r(0)=" 其中、。為非零常數(shù)，則(A) /(%)在 = 1處不可導(dǎo)，(B) /(%)在 = 1處可導(dǎo)，且/")= "(C) “X)在x = l處可導(dǎo)，且廣=從(D) /(%)在 = 1 處可導(dǎo)，f'(l) = ab,/(x)-/(x0)y（x）-/（x0）9二、導(dǎo)

5、數(shù)的幾何意義和物理意義 導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 切線的斜率為： k= tan a = lim導(dǎo)數(shù)的物理意義：某變量對荷間，的變化率，常見的有速度和加速度。：面曲線y = /（X）的切線與法線方程切線：J = /x0)(x-x0) + /(x0)法線：J=-(x-x0) + /(x0) f (%0)【例9】（95三）設(shè)/（%）為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件1"一”一) 2x=-1,則曲線y = /(x)在點(diǎn)(1J)處的切線斜率為()(A) 2,(B) -1.(C)(D) -2.2三、函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系函數(shù)可導(dǎo)則函數(shù)必連續(xù)，即：可導(dǎo)n連續(xù)注解：函數(shù)y = /(x)在工點(diǎn)可導(dǎo)，所以有尸(x)= lim

6、 "->0 Ar而lim 4y = lim Ar = lim lim Ax = /'(%) 0 = 0Ax>0Ax30 人丫Ar>0 八丫 Ar.0注意：反之，未必，即：|連續(xù)不一定可導(dǎo)|!【例10】(88三)確定常數(shù)和。，使函數(shù)ax+b.x >1 1- 口fW = 2處處可導(dǎo).x X < 1【例11】(90三)設(shè)/(x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，"0) = 0且|7(x) + sinx 7(0)="若函數(shù)尸(x) = x ' 在A, x = 0工=0處連續(xù)，則常數(shù)A =答案：A=a+b【例12】(95二)設(shè))可導(dǎo),歹(x) =

7、/(x)(l + binx|).若方(%)在 = 0處可導(dǎo)，則必有()(A) /(0) = 0.(B)/(0) = 0.(O /(0) + /(0) = 0.(D) /(0)- /'(0) = 0.第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、基本求導(dǎo)公式(1) (c)，=(2)(xwy =(log"x)' =特別地：當(dāng) =e時(shí)，(lnx)f =(4) (sinx)f =(cos%)=注：剩余的后面補(bǔ)充 二、函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則 定理1設(shè)函數(shù) = (%),羽= v(x)都在X處可導(dǎo),即 具有導(dǎo)數(shù)'=/(%),，= Vz(x),則有(1) (u±vy = uf±

8、;vf(2) (uv)r = urv + uv"；'；(。)'=3 (。為常數(shù))(u -I”uv-uvv2推廣：(/ ± % ± _ ±土; 土 ±；(%4 ,%)' = ；2"+ + % Un-lUn【例】求函數(shù)y = tanx的導(dǎo)數(shù)?！纠壳蠛瘮?shù)y = secx 的導(dǎo)數(shù)。補(bǔ)充公式：(cotx)r =(cscx)r =(5) (tanx)r =(6) (secx)' =三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2如果函數(shù) =。(>)在區(qū)間人上單調(diào)、可導(dǎo), 且“(y)wO,則它的反函數(shù)y = /(%)在對應(yīng)區(qū)間 /

9、x = xlx = (j),j eZ 上也可導(dǎo)，且,(y)即：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)?！纠恳阎瘮?shù)y =優(yōu)( >0且 wl),求y'。I補(bǔ)充公式：(7)(優(yōu)7 =(arccosx)'=特別地：當(dāng)=e時(shí)，(葭)，=(8) (arcsinx)' =(arctan %)=(arccot %)=四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(鏈法則) 定理3如果函數(shù) = 0(x)在點(diǎn)工處可導(dǎo)，而函數(shù) y = /()在X點(diǎn)對應(yīng)的( =°(%)點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù) 合函數(shù)y = 0(x)在“點(diǎn)處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為：dy _dy du dx du dx推廣：y = /（）、 =。0）、

10、u = g（x）都可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：/uo（g（x）=r（）"w）g'（x）dy _dy du dvdx du dv dx【例1】（89二）已知尸 一 J X=arcsine求y'【例2】（90二）設(shè)尸）町sin ,則y，=X【例3】（95二）設(shè)人cossin2 匕則 V =X= 0=x硒(z a + T)=根(-96)【卿】【例5】（89三）曲線六 的切線方程是.=x + sin2 x在點(diǎn)號1+9）處【例6】（93三）已知尸/（3x-23x + 2/x) = arctan x2,則”。ax五、高階導(dǎo)數(shù)【例8】(90-)已知函數(shù)八")具有任意階導(dǎo)數(shù),

11、 且7(%) = ")，則當(dāng)為大于2的正整數(shù)時(shí)，/(%)的階導(dǎo)數(shù)尸")(%)為()(A) n!/(x)w+1(B) n/(x)w+1(O /(x)2w(D) !"(%)廣【例9】(93") j = sin/(x2),其中/具有二 階導(dǎo)數(shù)，求會求解兩個(gè)函數(shù)的和差積高階導(dǎo)數(shù)的公式：(土 "產(chǎn)=土/")( v)5)= C>v(w) + C：' v("-D + C> " v(T)+ +C")v=9 C“?！?nnk=0（萊布尼茲公式）。【例101j = 求產(chǎn)。第三節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函

12、數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)求導(dǎo)法顯函數(shù)：j = /(x)隱函數(shù)：y = /(%)由方程方(%,/) = 0所確定 隱函數(shù)的求導(dǎo)方法I： 對方程兩邊直接求導(dǎo)，此時(shí)視y為工的函數(shù)，即關(guān) 于y的表達(dá)式是的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的求 導(dǎo)法則來求導(dǎo)?！纠?】(92 )設(shè)函數(shù)y = y(x)由方程ex+y +cos 孫= 0確定，則孚=.dx【例2】（94三）設(shè)方程*+y2=cosx確定y為”的函數(shù)，則半=ax例3)(88二)已知y = 1 +w孫，求“.。及y"k0.【例4】(94")設(shè)y = /(x + y),其中/具有二階導(dǎo)數(shù)，且其一階導(dǎo)數(shù)不等于I,求修二、對數(shù)求導(dǎo)法 對數(shù)求導(dǎo)法：|先在

13、y = /(x)的兩邊取對數(shù)，然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)方法求出y的導(dǎo)數(shù)的方法。 適用的對象：(1)形如y = ()"的幕指函數(shù)求導(dǎo)； (2)多個(gè)函數(shù)相乘的表達(dá)式求導(dǎo)?！纠吭O(shè)幕指函數(shù)y = ()“")() >0),【例5】設(shè)y = (l + *2嚴(yán),求y?！纠?】設(shè)y = （% -l）V（3x +1）2（2一 x）,求了與浪。三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法由參數(shù)方程A=0"）、所確定函數(shù)的求導(dǎo)公式:尸【例7】一）設(shè)x=1+t則會y = cost dx【例8】（90二）曲線的法線方程是二 cos，二 sin"上對應(yīng)于，=m處 6第四節(jié)函數(shù)的微分一、微分

14、的定義x0 - AxAx2c2S = %x0 - AxAS = (x0 + Ax)2 - %； = 2x0 Ax + (Ax)2稱這個(gè)近似值為面積S的微分，記為dS =2x0.Ar定義：設(shè)函數(shù)y = /(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，/及Ax在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量:Av = /(%0+&)/(%0)，可表示為：Ax = AAr + o(Ar),那么稱函數(shù)y =/(x)在點(diǎn)/是可 微的。AAx叫做函數(shù)y = /(x)在點(diǎn)X。相應(yīng)于自變量 增量Ax的微分，記作辦，即：dy = AAx,其中A是 不依賴于Ar的常數(shù)。二、微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定理：六/在點(diǎn)X可微o函數(shù)在點(diǎn)工處可導(dǎo)，且 dy = fxQ

15、)-Ax函數(shù)的微分：函數(shù)y = /(x)在任意點(diǎn)工的微分，稱 為函數(shù)的微分，記作辦或400,且辦=/'0)&。三、微分的幾何意義yN函數(shù)在某點(diǎn)的微分等于 曲線在該點(diǎn)切線的縱坐標(biāo)的增量K微分的基本公式和運(yùn)算法則 1）基本函數(shù)的微分公式(1)d(C)=(2)d(x") =(3)J(sinx)= =(7)d(loga%) =(4) J (cos x)= d(e")=(8)J(lnx)=(9)J(tanx)=(10) J (cot x)=(ll)J(secx) =(12)d(cscx)=(13)d (arcsin x)=(14)d (arccos x)=(15)d

16、(arctan x) =(16)rf (arccot x)=2)和、差、積、商運(yùn)算法則(1)d(w±v)=d(C)=3）復(fù)合函數(shù)微分法則復(fù)合函數(shù)：j = /（x）, % =阿），于是辦=, 但。'（，辿=,所以辦=/'（%）%.這就是說，不 論X是自變量或是中間變量，函數(shù)7 =的微分 形式總是6=r（%）而，這種性質(zhì)叫做微殛式而變性【例1】（91二）設(shè)y :=ln(l + 3-“)，則辦=【例2】（89二）設(shè)tany = x + y,則辦=【例3】（96三）設(shè)方程x = V確定y是”的函數(shù), 貝 的 =.【例4】設(shè)y = /(lnx)/3,其中/(%)可微，則 dy

17、=本章強(qiáng)化練習(xí)一、導(dǎo)數(shù)與微分的基礎(chǔ)1、（88二）設(shè)/（X）可導(dǎo)且/（/） = ,則ArfO時(shí)，/（X）在/處的微分均是（）（A）與Ar等價(jià)的無窮小.（B）與Ar同階的無窮小.（C）比Ar低階的無窮小.（D）比小高階的無窮小. 答案：（B）2、(01 -)設(shè)/(0) = 0則/(%)在點(diǎn) = 0可導(dǎo)的充 要條件為()(A)感后"l - cosh)存在.(B)(C)(D)limRl力存在.lim 上于(h-sinh)存在.D h艘""3)-/(劃存在.答案:(B)3、(07二，三)設(shè)函數(shù)在x=0處連續(xù),下列命題錯誤的是()(A)若lim必存在,則/(0) = 0 xf

18、O x(B)若存在,則/(0) = 010X(C)若limJ存在，則/(0) = 03° X(D)若二£(二”)存在,則r(0) = 010X4、(06三)設(shè)函數(shù)/(%)在 =。處連續(xù)，且1面”2 = 1,貝I()/。h(A)八0) = 0恥'(0)存在(B)八0) = 1%_'(0)存在(C) /(0) = 0恥'(0)存在(D) "0) = 1恥'(0)存在 答案：(D)5、(96-)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-&5)內(nèi)有定義,若當(dāng)工£(-時(shí)，恒有貝|J% = O必是/(%)的(A)間斷點(diǎn).(O可導(dǎo)的點(diǎn),(D)可導(dǎo)

19、的點(diǎn), 答案：(C)(B)連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn).且7(0) = 0.且廣(0)工0.二、函數(shù)求導(dǎo)3.二)設(shè)三加后則再“3、(02-)已知函數(shù)y / +6孫+，一1 = 0確定,= y(x)由方程 則 y"(0)=4、（97二）設(shè)函數(shù)六確定,求祟二，(%)由x = arctan t,O / 2 , t u 所 2y-ty +e =55、( 07 二，三)J(n)(0)=.設(shè)函數(shù)尸熹,則6、(06三)設(shè)函數(shù)/(%)在x = 2的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且r（x） = e"H"2） = 1,則尸=7、(06 ")設(shè)函數(shù)g(x)可微，h(x) = e1+gM=1,/(1) =

20、 2,貝加等于()(A) ln3-l.(B) -ln3-l(C) -ln2-l(D) ln2-l三、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論1、(99 一二)設(shè)有分段函數(shù)1-COSX A7=- X > 0/(%) = 4 Vx ,其中，g(x)為有界函數(shù)。x2g(x) x < 0則/(%)在點(diǎn)x = 0(A)不存在極限 (B)存在極限，但不連續(xù)(C)連續(xù)但不可導(dǎo)(D)可導(dǎo)答案：(D)2、(05 一二)設(shè)函數(shù)/(%) = lim癡荷則/。)在 n>oo V(8,+8)P9(A)處處可導(dǎo).(B)恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).(C)恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).(D)至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).答案：(C)3、(03三)設(shè)/(“)=

21、"s?若"工"其導(dǎo)函數(shù)在0.= 0.% = 0處連續(xù)，貝IJ4的取值范圍是I、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用湍或然"+3一在點(diǎn)W)2、(99-)曲線x = e"sin2r y = J cost在(0,1)處的法線方程3v(02二)已知曲線的極坐標(biāo)方程是r = l-cose,求該曲線上對應(yīng)于6 = /處的切線與法線的直角坐 O標(biāo)方程.4、(04 )曲線y =加工與直線 + y = 1垂直的切線方程為5、(05二)設(shè)函數(shù)y = y(x)由參數(shù)方程x = t2 + 2tj = ln(l + Z)確定，則曲線y = y(x)在=3處的法線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是()(B) -

22、ln2 + 38(D) 81n2 + 3(A) -ln2 + 38(C) -81n2 + 36、(98三)設(shè)曲線/(x) = x在點(diǎn)(1,1)處的切線與工軸的交點(diǎn)為(以,0),則lim/(&) = nT8五、函數(shù)的微分1、(02 ")設(shè)函數(shù)/()可導(dǎo)，y=/(，)當(dāng)自變量在x=-1處取得增量Ax = -0.1相應(yīng)的函數(shù)增量Ay的線性主部為0.1,則王=(D) 0. 5.(A) -1.(B) 0.1.(C) 1.答案：(D)2、(00二)設(shè)函數(shù)y = /(x)由方程2町=x + y所確 定，則力|i=.3、 （05 二）設(shè)y = （1 + sin則3六、奇偶函數(shù)周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1 V (98三)設(shè)周期函數(shù)/(%)在(-8,+8)內(nèi)可導(dǎo), y = /(x)在點(diǎn)(5"(5)處的切線的斜率為周期為4,又!吧/-八17)2x(A)(B) 0.(C) -1.(D) -2.2答案：(D)2、(93-)若= -/(-x),在(0,+8)內(nèi)廣>0, /7x)>0,則/(X)在(-oo,0)內(nèi)(A) fx)< 0""(x) v 0. (B) fx) < 0/(%) > 0.(C) fXx)> 0""(x) v 0. (D) fXx)>