《電磁場與電磁波》(第4版)謝處方第4-5章

14.5.1時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示

時諧電磁場可用復(fù)數(shù)方法來表示，使得大多數(shù)時諧電磁場問題得分析得以簡化。

設(shè)是一個以角頻率

隨時間t作正弦變化的場量，它可以是電場和磁場的任意一個分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時間的關(guān)系可以表示成

其中時間因子空間相位因子

利用三角公式式中的A0為振幅、為與坐標有關(guān)的相位因子。實數(shù)表示法或瞬時表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅2

復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實的場真實場是復(fù)數(shù)式的實部，即瞬時表達式由于時間因子是默認的，有時它不用寫出來，只用與坐標有關(guān)的部份就可表示復(fù)矢量照此法，矢量場的各分量Ei（i表示x、y或z）可表示成各分量合成以后，電場強度為

有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進一步說明復(fù)矢量3

例4.5.2已知電場強度復(fù)矢量解其中kz和Exm為實常數(shù)。寫出電場強度的瞬時矢量4以電場旋度方程為例，代入相應(yīng)場量的矢量，可得

將、交換次序，得上式對任意t

均成立。令t＝0，得4.5.2復(fù)矢量的麥克斯韋方程令ωt＝π/2，得即5從形式上講，只要把微分算子用代替，就可以把時諧電磁場的場量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量的麥克斯韋方程

～略去“.”和下標m6

例題：已知正弦電磁場的電場瞬時值為式中

解：（1）因為故電場的復(fù)矢量為試求：（1）電場的復(fù)矢量;（2）磁場的復(fù)矢量和瞬時值。7（2）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場的復(fù)矢量磁場強度瞬時值8

時諧場中二次式的表示方法

二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場量必須是實數(shù)形式，不能將復(fù)數(shù)形式的場量直接代入。

設(shè)某正弦電磁場的電場強度和磁場強度分別為

電磁場能量密度和能流密度的表達式中都包含了場量的平方關(guān)系，這種關(guān)系式稱為二次式。4.5.6平均能量密度和平均能流密度矢量9則能流密度為如把電場強度和磁場強度用復(fù)數(shù)表示，即有先取實部，再代入10使用二次式時需要注意的問題

二次式只有實數(shù)的形式，沒有復(fù)數(shù)形式場量是實數(shù)式時，直接代入二次式即可場量是復(fù)數(shù)式時，應(yīng)先取實部再代入，即“先取實后相乘”如復(fù)數(shù)形式的場量中沒有時間因子，取實前先補充時間因子11

例4.5.4

已知無源的自由空間中，電磁場的電場強度復(fù)矢量為，其中k和E0為常數(shù)。求：（1）磁場強度復(fù)矢量H；（2）瞬時坡印廷矢量S；（3）平均坡印廷矢量Sav。

解：（1）由得（2）電場和磁場的瞬時值為12

（3）平均坡印廷矢量為或直接積分，得瞬時坡印廷矢量為13例4.5.6

已知截面為的矩形金屬波導(dǎo)中電磁場的復(fù)矢量為

式中H0、ω、β、μ都是常數(shù)。試求：（1）瞬時坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。

解：（1）和的瞬時值為14（2）平均坡印廷矢量所以瞬時坡印廷矢量15第5章均勻平面波在無界空間中的傳播本章內(nèi)容5.1

理想介質(zhì)中的均勻平面波5.2電磁波的極化5.3

導(dǎo)電媒質(zhì)中的均勻平面波5.4色散與群速5.5

均勻平面波在各向異性媒質(zhì)中的傳播16EHz波傳播方向

均勻平面波波陣面xyo

均勻平面波的概念

波陣面：空間相位相同的點構(gòu)成的曲面，即等相位面

平面波：等相位面為無限大平面的電磁波

均勻平面波：等相位面上電場和磁場的方向、振幅都保持不變的平面波

均勻平面波是電磁波的一種理想情況，其分析方法簡單，但又表征了電磁波的重要特性。175.1

理想介質(zhì)中的均勻平面波5.1.1一維波動方程的均勻平面波解5.1.2理想介質(zhì)中均勻平面波的傳播特點5.1.3沿任意方向傳播的均勻平面波18由于5.1.1一維波動方程的均勻平面波解

設(shè)在無限大的無源空間中，充滿線性、各向同性的均勻理想介質(zhì)。均勻平面波沿z軸傳播，則電磁強度和磁場強度均不是x和y的函數(shù)，即同理

結(jié)論：均勻平面波的電場強度和磁場強度都垂直于波的傳播方向——橫電磁波（TEM波）19設(shè)電場只有x分量，即其解為：可見，表示沿+z方向傳播的波。

的波形

解的物理意義

第一項

第二項沿-z方向傳播的波20由，可得

其中稱為媒質(zhì)的本征阻抗。在真空中

相伴的磁場

同理，對于磁場與電場相互垂直，且同相位

結(jié)論：在理想介質(zhì)中，均勻平面波的電場強度與磁場強度相互垂直，且同相位。211、均勻平面波的傳播參數(shù)周期T

：時間相位變化2π的時間間隔，即（1）角頻率、頻率和周期角頻率ω

：表示單位時間內(nèi)的相位變化，單位為rad/s

頻率f

：

t

T

o

xE

的曲線5.1.2理想介質(zhì)中均勻平面波的傳播特點22（2）波長和相位常數(shù)k的大小等于空間距離2π內(nèi)所包含的波長數(shù)目，因此也稱為波數(shù)。波長λ

：空間相位差為2π

的兩個波陣面的間距，即相位常數(shù)

k

：表示波傳播單位距離的相位變化

o

xE

lz的曲線23（3）相速（波速）真空中：由相速v：電磁波的等相位面在空間中的移動速度相速只與媒質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而與電磁波的頻率無關(guān)故得到均勻平面波的相速為242、能量密度與能流密度由于，于是有能量的傳輸速度等于相速故電場能量與磁場能量相同253、理想介質(zhì)中的均勻平面波的傳播特點xyzEHo理想介質(zhì)中均勻平面波的和EH

電場、磁場與傳播方向之間相互垂直，是橫電磁波（TEM

波）

無衰減，電場與磁場的振幅不變

波阻抗為實數(shù)，電場與磁場同相位

電磁波的相速與頻率無關(guān)，無色散

電場能量密度等于磁場能量密度，能量的傳輸速度等于相速

根據(jù)前面的分析，可總結(jié)出理想介質(zhì)中的均勻平面波的傳播特點為：26

例5.1.1頻率為9.4GHz的均勻平面波在聚乙烯中傳播，設(shè)其為無耗材料，相對介電常數(shù)為εr=2.26。若磁場的振幅為7mA/m，求相速、波長、波阻抗和電場強度的幅值。

解：由題意因此

27

解：以余弦為基準，直接寫出

例5.1.2均勻平面波的磁場強度的振幅為A/m，以相位常數(shù)為30rad/m在空氣中沿方向傳播。當(dāng)t=0和z=0時，若取向為，試寫出和的表示式，并求出頻率和波長。因，故則28

解：電場強度的復(fù)數(shù)表示式為自由空間的本征阻抗為故得到該平面波的磁場強度于是，平均坡印廷矢量垂直穿過半徑R=2.5m的圓平面的平均功率

例5.1.4

自由空間中平面波的電場強度求在z=z0處垂直穿過半徑R=2.5m的圓平面的平均功率。29沿+z方向傳播的均勻平面波5、沿任意方向傳播的均勻平面波沿傳播方向的均勻平面波沿任意方向傳播的均勻平面波

波傳播方向

z

y

x

o

rne等相位面

P(x,y,z)yzxo沿＋z方向傳播的均勻平面波P(x,y,z)波傳播方向r等相位面

30

解：（1）因為，所以則

例5.1.5在空氣中傳播的均勻平面波的磁場強度的復(fù)數(shù)表示式為式中A為常數(shù)。求：（1）波矢量；（2）波長和頻率；（3）A的值；（4）相伴電場的復(fù)數(shù)形式；（5）平均坡印廷矢量。31（2）（3）（4）（5）325.2.1極化的概念

5.2.2線極化波5.2.3圓極化波5.2.1極化的概念

波的極化表征在空間給定點上電場強度矢量的取向隨時間變化的特性,是電磁理論中的一個重要概念。

在電磁波傳播空間給定點處，電場強度矢量的端點隨時間變化的軌跡。

波的極化5.2