8-1多元函數(shù)的基本概念

1、早節(jié)題目第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念12內(nèi)容提要多元函數(shù)的概念 多元函數(shù)極限的概念 多元函數(shù)連續(xù)的概念 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)的概念、極限、連續(xù)及連續(xù)的性質(zhì)重極限的計算 重極限不存在的判定方法難 占 八、 分 析習(xí)題布置p12 3、4（單）、5 （單）、6、8教學(xué) 內(nèi)容一、多元函數(shù)的概念(1) 鄰域設(shè)P0(xo, yo)是xoy平面上的一個點(diǎn)，：是某一正數(shù)，與點(diǎn)P0(3,yo)距離小于：的點(diǎn)P(Xly)的全體，稱為點(diǎn) P的鄰域，記為U(F0,、)，U (Po, ' ) JPlPP) I ：、V =(X, y) | (x x。)2 (y - y。)2(2) 區(qū)域設(shè)E是平面上的一個點(diǎn)集

2、，P是平面上的一個點(diǎn).如 果存在 點(diǎn)P的某一鄰域U(P) E ,則稱P為E的內(nèi)點(diǎn).E的內(nèi)點(diǎn)屬于E.如果點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集.例如，E1 =( X, y)" ： X2 y2 ：4即為開集.如果點(diǎn)P的任一個鄰域內(nèi)既有屬 于E的點(diǎn)，也有不屬于E的點(diǎn) (點(diǎn)P本身可以屬于E ,也可以不屬于E),則稱P為E的邊界點(diǎn).E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界.設(shè)D是開集.如果對于D內(nèi)任何兩點(diǎn)，都可用折 線連結(jié)起來, 且該折線上的點(diǎn)都屬于 D,則稱開集D是連通的.連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.例如，(x,y)1 VX2+y2 £4.開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域2 2例如，(,y)門蘭X

3、+y 4.y對于點(diǎn)集E如果存在正數(shù)K ,使一切點(diǎn) PEE與某一定點(diǎn)A間的距離IAPl不超過K， 即 APK對一切P E成立，則稱E為有界點(diǎn)集，否 則稱為無界點(diǎn)集.2 2例如，(,y)乞X y 4有界閉區(qū)域;(Xiy)IXy 0無界開區(qū)域.(3) 聚點(diǎn)：設(shè)E是平面上的一個點(diǎn)集，P是平面上的一個點(diǎn)，如果點(diǎn) P的任何一 個鄰域內(nèi)總有無限多個點(diǎn)屬于點(diǎn)集E，則稱P為E的聚點(diǎn).說明：a. 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；b. 邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；2 2例(x,y)O： X y 1(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn).c. 點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E.2 2例如,(X, y) IOvx +y 1(0,0)是聚點(diǎn)但不屬于集

4、合.2 2例如,(X, y)I X y =1邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合.(4) n維空間：n為取定的一個自然數(shù)， 我們稱n元數(shù)組(xi,x2, , Xn)的全體為n維空間，而每個 n元數(shù)組(,2,，xj稱為n維空間中的一個點(diǎn)，數(shù) Xi稱為該點(diǎn) 的第i個坐標(biāo).說明：a. n維空間的記號為 R;b. n維空間中兩點(diǎn)間距離公式設(shè)兩點(diǎn)為 P(X1,X2, ,Xn), Q(yi,y2,%),i 222| PQ H'(yi -Xi)(y2 X2)Wn -Xn) 特殊地當(dāng)n=1,2,3時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離.c. n維空間中鄰域、區(qū)域等概念鄰域：UR,、)P|PP)I = P Ry

5、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義.(5)二元函數(shù)的定義：設(shè)D是平面上的一個點(diǎn)集，如果對于每個點(diǎn)P(X,y D , 變量Z按照一定的法則總有確定的值和它對應(yīng)， 則稱Z是變量x, y的二元函數(shù)，記 為z = f(,y)(或記為 z = f(P).類似地可定義三元及三元以上函數(shù).當(dāng)n - 2時，n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念f (x,y) =Zarcsin(3-x - y例1求y解的定義域.x_y20斗 ×>y2IXAy所求定義域?yàn)镈 =( X, y)2豈X2 y2豈4,x y2(6)二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形：設(shè)函數(shù)z=f(x,

6、y)的定義域?yàn)镈 ,對于任意取定的P(x, y) D ,對應(yīng)的函數(shù)值為Z= f(x,y),這樣，以X為橫坐標(biāo)、y 為縱坐標(biāo)、Z為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)M (X, y, Z)，當(dāng)X取遍D上一切點(diǎn)時，得一個空間點(diǎn)集(,y, Z)If (X, y),(X, W d，這個點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面例如,Z=Sin Xy2 22例如,2+y2+Z2=a2D=(x,y)x ÷y a .222222"單值分支：z =-X - y z = _ * a -X - y .Z二、多元函數(shù)的極限定義1設(shè)函數(shù)Z = f(,y)的定義域?yàn)镈，Po(0,yo)是其聚點(diǎn)，如果對于任

7、意給定的正數(shù)；，總存在正數(shù)，使得對于適合不等式Il22r0 ：:| PPO (XO)的一切點(diǎn)，都有 1 f(x, y)-Ak ；成立，則稱A為函數(shù)Z = f(X, y)當(dāng)X > Xo，y > yo時的極限，記為lim f (x, y) = AX Xy >y0(或f(X, y) > A >0)這里'=IPPO I).說明:定義中P > P)的方式是任意的;(2)二元函數(shù)的極限也叫二重極限XjmX f (X, y);X Jx0y »y。(3)二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似.2 2 1lim(X y )sin 22 = 0求證壯X y(X2

8、-=X + y Sin1X2y2< X2y2V >o, 3-；,當(dāng) 0(x0)2 (y-0)2 舟時,(X2 +y2)sin1X2y2-0 <£原結(jié)論成立例3求極限SSin(Xy)X2y2:y 八 + 一X m HXy解= IimSin(X y)打X y2X y,X yIImX_0 其中 y 0Sin(X y)U= X2yIim SinUu 0 U =12X y2丄 2X + y1. IimX x 0 > 0, ：Sin(x2y)=0X2y2不存在.例4證明證3X yIim -62X 0 x6 y2 y P Z取 y =kx3IImX 0,y 03X y6 2

9、X y y3X=Iim 一6J03 Xk2XkX3其值隨k的不同而變化，故極限不存在確定極限不存在的方法：(1) 令P(x，y)沿y =kX趨向于P)(X0,yO),若極限值與k有關(guān)，則可斷言極限不 存在；Iim f(x,y)X X0(2) 找兩種不同趨近方式，使y妙0存在，但兩者不相等，此時也可斷言f(,y)在點(diǎn)PO(X0,yO)處極限不存在.利用點(diǎn)函數(shù)的形式有 n元函數(shù)的極限定義2設(shè)n元函數(shù)f (P)的定義域?yàn)辄c(diǎn)集 D，F(xiàn)O是其聚點(diǎn)，如果對于任意給定的正數(shù)；,總存在正數(shù):,使得對于適合不等式0 ：| PP) L的一切點(diǎn)P D ,都有1 f(P) - A：；成立，則稱A為n元函數(shù)f (P)當(dāng)

10、P ' FO時的極限，記為Iim f (P) = APP)三、多元函數(shù)的連續(xù)性設(shè)n元函數(shù)f (P)的定義域?yàn)辄c(diǎn)集D，PO是其聚點(diǎn)且PO D，如果PimPIf(P) 一 f (PO)則稱n元函數(shù)f (P) 在點(diǎn)FO處連續(xù)設(shè)PO是函數(shù)f (P)的定義域的聚點(diǎn)，如果f (P)在點(diǎn)PO處不連續(xù)，則稱FO是函數(shù)f (P)的間斷點(diǎn).例5討論函數(shù)f (, y)=33Xy一 22Xyo,(,y)=(0,0)(X, y) = (0,0)在(0,0)處的連續(xù)性.解取 X= QCoSd y = QSin V3 3f (x,y)-f (0,0) =P(SinT+cos8)<2p弓 J 22-_ ；0,2

11、 '當(dāng) 0 ：、X y ：、時f (x,y) -f(0,0)v2Pv 名(X,y,0)f (X,yf (O，O)，故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).r Xyf (x,y) =J2丄2X + y0,例6討論函數(shù)22CX y T-Z 0解取y = kxX2y20在(0,0)的連續(xù)性Xy2 22 2kxkxIim 2 2 - Iim 2 2 2 - Iim 2 2 2 FX +yXFx +k X 免 X +k X其值隨k的不同而變化，極限不存在 故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù).閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(1) 最大值和最小值定理在有界閉區(qū)域 D上的多元連續(xù)函數(shù)，在 D上至少取得它的最大值和最小值各 一次.(

12、2) 介值定理在有界閉區(qū)域 D上的多元連續(xù)函數(shù)， 如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，貝U它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次.(3) 一致連續(xù)性定理在有界閉區(qū)域 D上的多元連續(xù)函數(shù)必定在 D上一致連續(xù).多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟 所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù) 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域.lmPIPf (P)時，如果f (P)是初等函數(shù)，且P0是f (P)的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則f (P)在點(diǎn)Po處連續(xù)，于是PimmO f(P)= f(Po)1.Jxy +1 TIimXT Xy y0xy 1 -1原式解=IimIim 徨 yG Xy 1 1) H . xy 11四、小結(jié)多元函數(shù)的定義 多元函數(shù)極限的概念(注意趨近方式的任意性) 多元函數(shù)連續(xù)的概念 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)思考題若點(diǎn)(x,y)沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于點(diǎn)(X0