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1、 目錄1實驗設備簡介11.1倒立擺介紹11.2 研究倒立擺穩(wěn)定性的意義21.3直線一級倒立擺32 倒立擺建模32.1 直線一階倒立擺數(shù)學模型的推導32.1.1受力分析4微分方程建模5傳遞函數(shù)建模5狀態(tài)空間數(shù)學模型62.2 實際系統(tǒng)模型建立83系統(tǒng)定性、定量分析93.1系統(tǒng)開環(huán)階躍響應93.2系統(tǒng)穩(wěn)定性與可控性分析113.2.1穩(wěn)定性分析113.2.2能控性分析124 設計狀態(tài)觀測器124.1狀態(tài)空間分析124.2 極點配置的設計步驟134.3極點配置的Matlab計算144.4極點配置的simulink電路仿真204.4.1無狀態(tài)反饋仿真204.4.2有狀態(tài)反饋的仿真204.5極點配置的綜合分

2、析215小結22 1實驗設備簡介1.1倒立擺介紹圖1:一級倒立擺結構圖倒立擺是處于倒置不穩(wěn)定狀態(tài),人為控制使其處于動態(tài)平衡的一種擺。如雜技演員頂桿的物理機制可簡化為一級倒立擺系統(tǒng),是一個復雜,多變量,存在嚴重非線性,非自制不穩(wěn)定系統(tǒng)。常見的倒立擺一般由小車和擺桿兩部分組成,其中擺桿可能是一級,二級或多級,在復雜的倒立擺系統(tǒng)中,擺桿的長度和質(zhì)量均可變化。圖2:一級倒立擺系統(tǒng)組成框圖系統(tǒng)是由計算機、運動控制卡、伺服機構、倒立擺本體和光電碼盤幾大部分組成的閉環(huán)系統(tǒng)。光電碼盤1將小車的位移、速度信號反饋給伺服驅(qū)動器和運動控制卡,擺桿的角度、角速度信號由光電碼盤2反饋給運動控制卡。計算機從運動控制卡中讀

3、取實時數(shù)據(jù),確定控制決策(小車運動方向、移動速度、加速度等),并由運動控制卡來實現(xiàn)該控制決策,產(chǎn)生相應的控制量,使電機轉(zhuǎn)動,通過皮帶,帶動小車運動,保持擺桿平衡。1.2 研究倒立擺穩(wěn)定性的意義倒立擺的研究具有重要的工程背景。機器人行走就類似倒立擺系統(tǒng)從日常生活中所見到的任何重心在上、也是支點在下的控制問題,到空間飛行器和各類伺服云臺的穩(wěn)定,都和倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制有很大相似性,故對其穩(wěn)定控制在實際中有很多用場,如海上鉆井平臺的穩(wěn)定控制、衛(wèi)星發(fā)射架的穩(wěn)定控制、火箭姿態(tài)控制、飛機安全著陸、化工過程控制等。1.3直線一級倒立擺根據(jù)自控原理實驗書上相關資料,直線一級倒立擺在建模時,一般忽略掉系統(tǒng)中的一

4、些次要因素.例如空氣阻力、伺服電機的靜摩擦力、系統(tǒng)連接處的松弛程度等,之后可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)。倒立擺系統(tǒng)是典型的機電一體化系統(tǒng)其機械部分遵循牛頓的力學定律其電氣部分遵守電磁學的基本定理.無論哪種類型的倒立擺系統(tǒng),都具有3個特性,即:不確定性、耦合性、開環(huán)不穩(wěn)定性. 直線型倒立擺系統(tǒng),是由沿直線導軌運動的小車以及一端固定于小車上的勻質(zhì)長桿組成的系統(tǒng).小車可以通過傳動裝置由交流伺服電機驅(qū)動. 小車導軌一般有固定的行程,因而小車的運動范圍是受到限制的。2 倒立擺建模2.1 直線一階倒立擺數(shù)學模型的推導對于忽略各種摩擦參數(shù)和空氣阻力之后,直線一即倒立擺抽象為小車河均質(zhì)桿

5、組成的系統(tǒng)本系統(tǒng)的參數(shù)定義如下:M小車質(zhì)量(本實驗為0.5kg)m擺桿質(zhì)量(本實驗為0.2kg)b小車摩擦系數(shù) (本實驗為0.1N/m/sec)l 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度(本實驗為0.3m)I 擺桿慣量(本實驗為0.006kg*m*m)F 加在小車上的力 x 小車位置(變量) 擺桿與垂直向上方向的夾角(輸出) 擺桿與垂直向下方向的夾角(考慮到擺桿初始位置為豎直向下)2.1.1受力分析下面我們對這個系統(tǒng)作一下受力分析。和為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。圖3:倒立擺系統(tǒng)小車和擺桿的受力分析應用Newton方法來建立系統(tǒng)的動力學方程過程如下:分析小車水平方向所受的合力,可以得到以下

6、方程: (2-1)由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式: (2-2) (2-3)把這個等式代入上式中,就得到系統(tǒng)的第一個運動方程: (2-4)為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程,我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析,可以得到下面方程: (2-5) (2-6)力矩平衡方程如下: (2-7)注意:此方程中力矩的方向,由于,故等式前面有負號。合并這兩個方程,約去和,得到第二個運動方程: (2-8)微分方程建模設,當擺桿與垂直向上方向之間的夾角與1(單位是弧度)相比很小,即 時,則可以進行近似處理:,。為了與控制理論的表達習慣相統(tǒng)一,即一般表示控制量,用來代表被控對象的輸入力,線性化后得到該系統(tǒng)數(shù)學模

7、型的微分方程表達式: (2-9)傳遞函數(shù)建模對方程組(2-9)進行拉普拉斯變換,得到 (2-10)注意:推導傳遞函數(shù)時假設初始條件為0。由于輸出為角度,求解方程組(2-10)的第一個方程,可以得到 (2-11) (2-12)如果令,則有: (2-13)把上式代入方程組(2-10)的第二個方程,得到 (2-14)整理后得到以輸入力為輸入量,以擺桿擺角為輸出量的傳遞函數(shù) (2-15)其中 狀態(tài)空間數(shù)學模型由現(xiàn)代控制理論原理可知,控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫成如下形式: (2-16)方程組(2-9)對解代數(shù)方程,得到如下解: (2-17)整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程: (2-18)由(2-9)的第一個方

8、程為:對于質(zhì)量均勻分布的擺桿有:于是可以得到:化簡得到: (2-19)設,則有: (2-20)2.2 實際系統(tǒng)模型建立實際系統(tǒng)參數(shù)如下,求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間方程,并進行脈沖響應和階躍響應的Matlab仿真。M小車質(zhì)量0.5kgm擺桿質(zhì)量為0.2kgb小車摩擦系數(shù) 0.1N/m/secl 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度(本實驗為0.3m)0.3mI 擺桿慣量0.006kg*m*mF 加在小車上的力 x 小車位置T采樣頻率0.005秒 擺桿與垂直向下方向的夾角1)擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù) 2)擺桿角度和小車加速度的傳遞函數(shù) 3)擺桿角度和小車外作用力的傳遞函數(shù)4) 以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)

9、狀態(tài)方程:5) 以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程3系統(tǒng)定性、定量分析3.1系統(tǒng)開環(huán)階躍響應狀態(tài)空間法:狀態(tài)空間法可以進行單輸入多輸出系統(tǒng)設計,在此我們圖4:狀態(tài)空間的開環(huán)階躍響應將嘗試同時對擺桿角度和小車位置進行控制。在這里我們首先給小車一個階躍輸入信號,以外作用力為輸入。我們用 Matlab 求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程各矩陣。并觀察一下系統(tǒng)的開環(huán)階躍響應??梢钥闯?,在單位階躍響應作用下,小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的Matlab程序如下:M = 0.5;m = 0.2;b = 0.1;I= 0.006;g = 9.8;l = 0.3;>> p = I*(M+m)+M*m*l2; A

10、= 0 1 0 0; 0 -(I+m*l2)*b/p (m2*g*l2)/p 0; 0 0 0 1; 0 -(m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0B = 0; (I+m*l2)/p; 0;m*l/pC = 1 0 0 0;0 0 1 0D = 0; 0T=0:0.005:10;U=0.2*ones(size(T);Y,X=lsim(A,B,C,D,U,T);plot(T,Y)axis(0 2.5 0 100)Matlab給出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的A,B,C和D矩陣,并繪出了在給定輸入為一個0.2 m的階躍信號時系統(tǒng)的響應曲線。3.2系統(tǒng)穩(wěn)定性與可控性分析3.2.1穩(wěn)定性分析我們先看一看

11、系統(tǒng)的穩(wěn)定性,將數(shù)據(jù)代入狀態(tài)方程中,利用matlab程序可以求出系統(tǒng)的零極點。源代碼如下:sysc=ss(A,B,C,D);sysd=c2d(sysc,0.005);da db dc dd=ssdata(sysd);z p gain=ss2zp(da,db,dc,dd,1)z = -0.9997 -0.9997 1.0251 1.0000 0.9756 1.0000p = 1.0000 1.0282 0.9993 0.9724gain = 1.0e-004 * 0.2272 0.5680由得到的p(極點)可知,有的極點在單位圓外,所以可知原系統(tǒng)是不穩(wěn)定3.2.2能控性分析我們可以利用matla

12、b來得到系統(tǒng)的能控性,源代碼如下:ud=ctrb(da,db);rank(ud)ans =4由得到的rank(ud)的值可知,原系統(tǒng)的能控性矩陣為4,所以我們可知原系統(tǒng)是能控的。4 設計狀態(tài)觀測器4.1狀態(tài)空間分析圖5:狀態(tài)方程結構圖狀態(tài)方程為:式中:為狀態(tài)向量(維),為控制向量(純量),為維常數(shù)矩陣,為維常數(shù)矩陣。選擇控制信號:求解上式,得到方程解為:可以看出,如果系統(tǒng)狀態(tài)完全可控,選擇適當,對于任意的初始狀態(tài),當趨于無窮時,都可以使趨于0。4.2 極點配置的設計步驟(1) 檢驗系統(tǒng)的可控性條件。(2) 從矩陣的特征多項式來確定的值。(3) 確定使狀態(tài)方程變?yōu)榭煽貥藴市偷淖儞Q矩陣:其中為可控

13、性矩陣,(4) 利用所期望的特征值,寫出期望的多項式并確定的值。(5) 需要的狀態(tài)反饋增益矩陣由以下方程確定:4.3極點配置的Matlab計算前面我們已經(jīng)得到了直線一級倒立擺的狀態(tài)空間模型,以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程為:對于如上所述的系統(tǒng),設計控制器,要求系統(tǒng)具有較短的調(diào)整時間(約5秒)和合適的阻尼(阻尼比)。倒立擺極點配置原理圖如圖所示圖6:倒立擺極點配置原理圖極點配置步驟如下:(1)檢驗系統(tǒng)可控性(以證)(2)計算特征值根據(jù)要求,并留有一定的裕量(設調(diào)整時間為3秒),我們選取期望的閉環(huán)極點,其中:其中,是一對具有的主導閉環(huán)極點,位于主導閉環(huán)極點的左邊,因此其影響較小,因此期望的特征

14、方程為:因此可以得到:由系統(tǒng)的特征方程:因此有系統(tǒng)的反饋增益矩陣為:(3)確定使狀態(tài)方程變?yōu)榭煽貥藴市偷淖儞Q矩陣:式中:于是可以得到:(4) 狀態(tài)反饋增益矩陣為:得到控制量為:l 零輸入響應圖7:極點配置零輸入響應在零輸入響應下,即不加擾動時小車和擺桿最終都回到平衡位置。程序見下:A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0;B=0 1 0 2.5'C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0 0'J=-15 0 0 0;0 -15 0 0;0 0 -1-0.8*i 0;0 0 0 -1+0.8*i;pa=poly(A)pj=poly(J)M=B A*

15、B A2*B A3*BW=pa(4) pa(3) pa(2) 1;pa(3) pa(2) 1 0;pa(2) 1 0 0;1 0 0 0T=M*WK=pj(5)-pa(5) pj(4)-pa(4) pj(3)-pa(3) pj(2)-pa(2)*inv(T)Ac=(A-B*K)Bc=B;Cc=C;Dc=D; sys=ss(Ac,Bc,Cc,Dc)t=0:0.005:10;x0=0.05; 0; 0.0175; 0;y1,x=initial(sys,x0,t);plot(t,y1(:,1),'red',t,y1(:,2),'green')l 當有擾動時即它的單位階

16、躍響應是:圖8:極點配置的階躍響應上圖是極點配置的單位階躍響應,由圖中也可以觀察到在4秒左右小車和擺桿都達到平衡狀態(tài),滿足題目要求的擺動時間小于5秒。其次也可看到穩(wěn)態(tài)時擺桿與垂直方向的夾角小于0.1度。仿真程序如下:A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0;B=0 1 0 2.5'C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0 0'J=-15 0 0 0;0 -15 0 0;0 0 -1-0.8*i 0;0 0 0 -1+0.8*i;pa=poly(A)pj=poly(J)M=B A*B A2*B A3*BW=pa(4) pa(3) pa(2) 1;

17、pa(3) pa(2) 1 0;pa(2) 1 0 0;1 0 0 0T=M*WK=pj(5)-pa(5) pj(4)-pa(4) pj(3)-pa(3) pj(2)-pa(2)*inv(T)Ac=(A-B*K)Bc=B;Cc=C;Dc=D; sys=ss(Ac,Bc,Cc,Dc)Tc=0:0.005:10;y,Tc,X=step(sys,Tc);plot(Tc,X(:,1),'green');hold on; plot(Tc,X(:,3),'red');hold on; 4.4極點配置的simulink電路仿真4.4.1無狀態(tài)反饋仿真圖9:無極點配置的電路圖圖

18、10:無極點配置的小車位移和擺桿角度波形由圖中可知無狀態(tài)反饋時,小車位置與擺桿角度都是發(fā)散的 因而無法達到動態(tài)的平衡。但通過計算可知系統(tǒng)是可控的,因而只要加入合適的狀態(tài)反饋,給系統(tǒng)配置到期望的極點上,我們就能使系統(tǒng)穩(wěn)定,達到動態(tài)平衡,所以,接下來我設計了有狀態(tài)反饋的仿真電路。4.4.2有狀態(tài)反饋的仿真圖11:有極點配置的電路圖圖12:有幾點配置的小車位移和擺桿角度波形圖我設計了有狀態(tài)反饋的電路圖,示波器顯示的波形與用Matlab計算出來的波形一致,由響應曲線可知狀態(tài)反饋系統(tǒng)為穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)。狀態(tài)向量在零輸入作用下將漸漸衰減為0,這時擺桿和小車都會回到原先的位置,當施加控制后由于仍能基本滿足要求,且都在5s內(nèi)達到了穩(wěn)定,故設計有效。4.5極點配置的綜合分析由實驗結果可以看出:極點配置法成功實現(xiàn)了同時對倒立擺擺角和小車的位置的控制,但是在極點配置時,希望極點的選取,需要考慮、研究它們對系統(tǒng)品質(zhì)的影響以及它們與零點分布狀況的關系,還需要顧及抗干擾性能方面的要求;在對性能的影響方面,我們通常只考慮主極點的影響,但非主導極點的影響有時不可忽略,這樣我們很難較好地選擇所有的極點。極點配置法,雖然利用現(xiàn)代狀態(tài)空間的形式,但仍保留了古典控制的思想。 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的主要優(yōu)點是極點的任意配置,無論開環(huán)極點和零點在什么位置,都可以任意配置期望的閉環(huán)極點。這為我們提供了控制系統(tǒng)

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