文稿教程第三章

1、第第 三三 章章 矩陣的初等變換線性代數(shù) 矩陣這一數(shù)學(xué)概念能夠與工程技術(shù)問題相結(jié)合，矩陣這一數(shù)學(xué)概念能夠與工程技術(shù)問題相結(jié)合，成為表達(dá)手段，主要依賴于它的種種手段和變換。成為表達(dá)手段，主要依賴于它的種種手段和變換。上一章我們介紹了矩陣的基本運(yùn)算，但用來解決的上一章我們介紹了矩陣的基本運(yùn)算，但用來解決的實(shí)際問題很有限。這一章我們來學(xué)習(xí)矩陣的一種重實(shí)際問題很有限。這一章我們來學(xué)習(xí)矩陣的一種重要的變換初等變換。利用初等變換可以求矩陣要的變換初等變換。利用初等變換可以求矩陣的秩、求解線性方程組、求逆矩陣、化簡(jiǎn)二次型等。的秩、求解線性方程組、求逆矩陣、化簡(jiǎn)二次型等。3.1 矩陣的秩矩陣的秩一、子式一、子

2、式回憶回憶：在行列式中，余子式的概念：在行列式中，余子式的概念定義定義3.1 在在 mn 的矩陣的矩陣A中，任取中，任取k行與行與k列列( )( )，位于這些行和列交叉處的位于這些行和列交叉處的 個(gè)元素個(gè)元素,按原來的次序所組成的按原來的次序所組成的k階行列式，稱為階行列式，稱為A的一個(gè)的一個(gè)k階階子式子式.),min(nmk 2kkD記做記做 . 對(duì)于給定的對(duì)于給定的k， mn 階的矩陣階的矩陣A不同的不同的k階子式階子式共有共有 個(gè)個(gè).knkmCC例如，對(duì)矩陣?yán)纾瑢?duì)矩陣443112112013A有一階子式有一階子式 12個(gè)個(gè)有二階子式有二階子式 個(gè)個(gè)182324CC有三階子式有三階子式

3、個(gè)個(gè)43334CC沒有四階沒有四階 子式子式二、矩陣的秩二、矩陣的秩定義定義3.2在在 mn 階階的矩陣的矩陣A中，若中，若0rD 有某個(gè)有某個(gè)r階子式階子式 ；01rD 所有的所有的r+1階子式階子式 ( (如果存在的話如果存在的話) )；則稱則稱r為為A的秩的秩.rArank記做記做 ，或者，或者 .r)r(A規(guī)定規(guī)定：零矩陣的秩為：零矩陣的秩為0,即即 .0rankO 矩陣秩的含義矩陣秩的含義A的所有的所有r1階子式都為階子式都為0A的所有的所有r2階子式也都為階子式也都為0A的所有大于的所有大于r2階的子式也都為階的子式也都為0數(shù)數(shù)r=rankA是是矩陣矩陣A中子式不為中子式不為0子式

4、的最高階數(shù)子式的最高階數(shù)112322461123A?2rD性質(zhì)性質(zhì)；),min(rank. 1nmA；時(shí)，AArank)rank(0. 2kk；AArankrank. 3T0. 4rD中某個(gè)A；rArank0. 51中所有rDA；rArank例例1已知矩陣已知矩陣 ，求，求A的秩的秩.443112112013A解解在這個(gè)矩陣中，存在一階子式在這個(gè)矩陣中，存在一階子式033存在二階子式存在二階子式041113下面計(jì)算它的三階子式下面計(jì)算它的三階子式.，0431211013，0431111213，0441121203，0443121201在矩陣在矩陣A中，所有的三階子式都為中，所有的三階子式都為0

5、，存在不為，存在不為0的二的二階子式，所以階子式，所以rank(A)=2.443112112013A 特殊矩陣特殊矩陣定義定義3.3 設(shè)設(shè)A是是mn矩陣矩陣 若若rankA=m (A的行數(shù)的行數(shù))，則稱，則稱A為為行滿秩矩陣行滿秩矩陣； 若若rankA=n (A的列數(shù)的列數(shù))，則稱，則稱A為為列滿秩矩陣列滿秩矩陣；設(shè)設(shè)A是是nn階方陣階方陣 若若rankA=n，則稱，則稱A為為滿秩矩陣滿秩矩陣； 若若rankAn，則稱，則稱A為降秩矩陣為降秩矩陣.例如例如311004201050001AA有一個(gè)三階子式有一個(gè)三階子式01100010001所以所以A是行滿秩矩陣是行滿秩矩陣再如再如100530022201BB中有一個(gè)三階子式中有一個(gè)三階子式06100530022所以所以B是一個(gè)列滿秩矩陣是一個(gè)列滿秩矩陣.443032001