空間限制導(dǎo)致頻譜展寬分析

1、空間限制導(dǎo)致頻譜展寬分析李雪瑩 20071202030 07光信息摘要：本文主要介紹空域到角譜的變換及衍射屏對光波角譜傳播的影響。在入射場中放入衍射屏后，衍射屏就將簡單的入射場變換成了復(fù)雜的衍射場，衍射屏具有一定的空間結(jié)構(gòu)或者光學(xué)結(jié)構(gòu)，可以對入射光波的波面進行調(diào)制（包括振幅調(diào)制和相位調(diào)制等）。衍射屏的復(fù)振幅透過率即是衍射屏對入射光波調(diào)制作用的數(shù)學(xué)描述，是描述衍射屏宏觀光學(xué)性質(zhì)的函數(shù)。假設(shè)衍射屏后的光場為，入射孔徑平面上的光場分布為，衍射屏的復(fù)振幅透過率為t(x,y),則有= t(x,y)。假設(shè)入射光場的角譜為，透射光場的角譜為，則由傅里葉變換的卷積定理知=*， 如果用單位振幅的平面波垂直照射衍

2、射屏， 這時可得，則有=。可以看到，由卷積運算的展寬效應(yīng)，可知在出射光波中，除了包含與入射光波的方向想同的分量之外還增加了一些與入射光波的傳播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空間頻率的平面波成分。通過衍射屏后，由函數(shù)所表征的入射場的角譜變成了孔徑函數(shù)的傅里葉變換，角譜分量增加了。因此，從空域上看，孔徑的作用限制了入射面的大??；從頻域上看，則是展寬了入射光的光譜。由卷積運算的展寬效應(yīng)，可知在出射光波中，除了包含與入射光波的方向相同的分量之外還增加了一些與入射光波的傳播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空間頻率的平面波成分。下面結(jié)合具體例子詳細分析：若令單位振幅的平行光正入射，即，其傅里葉變

3、換為 Pt(x,y)當(dāng)即衍射屏對入射光沒有空間限制時， 此時出射光波相對于入射光波來說頻率分量沒有增加，即頻譜此時沒有展寬（2）當(dāng)時， 可知此時頻譜展開寬度近似為（3）當(dāng)時， 由sinc函數(shù)的圖像知通過衍射屏后的出射光的頻譜得到展寬，近似寬度為 。與上面（2）相比，空間限制由2a變?yōu)閍,限制變得厲害，此時頻譜展寬由變?yōu)?，表明空間受限越厲害頻譜展寬越大（4）當(dāng)衍射屏為振幅型正弦光柵時，其復(fù)振幅透過率函數(shù)為 其中為光柵的基頻，為光柵周期此時 由頻譜圖可看出此時頻譜發(fā)生搬移，除了入射光波原有的頻率分量以外，又增加了兩個頻率分量。從空域看引入了振幅型光柵對入射波面的振幅分布進行了空間調(diào)制，從而使透射波

4、場中產(chǎn)生了向不同方向傳播的平面衍射波，在平面波正入射時，這些衍射波的傳播方向是關(guān)于z軸對稱分布的。（5）當(dāng)時，由上式可知頻譜分別在處得到展寬。此種情況即相當(dāng)于將（3）（4）共同作用，既發(fā)生了頻譜搬移，產(chǎn)生了新的頻率分量，在各個頻率分量處又都產(chǎn)生了一定的頻譜展寬，這也證明了對空間限制越厲害，頻譜展寬就越大。以上分析僅是在x方向上對空間進行限制，因此頻域展寬是在u方向，若同時也對y方向進行空間限制，比如將衍射屏換成二維光柵，則在u和v方向均可得到類似的結(jié)果。其實簡單的從空域和頻域通過傅里葉變換相聯(lián)系，通過傅里葉變換性質(zhì)也可得到以上結(jié)論。假設(shè)空域光波函數(shù)為，則其頻譜函數(shù)為由傅里葉變換坐標(biāo)縮放性質(zhì) 當(dāng)空域光波函數(shù)變?yōu)闀r，其頻譜函數(shù)為 由此也可以看出當(dāng)空域中圖像變窄即空間限制加大時，頻域中頻譜函數(shù)相應(yīng)的