破解直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的最值問題

1、破解圓錐曲線中的最值或范圍問題圓錐曲線的最值問題一直是近幾年高考的熱點，也是絕大多數(shù)考生難以破解的難點事實上，直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的最值問題的求解策略常分為兩類：一類是幾何法，亦即靈活地利用圓錐曲線的定義和有關(guān)幾何性質(zhì)來求解；二是代數(shù)法，需將圓錐曲線中的最值問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)的最值問題，然后利用單調(diào)性、均值不等式等知識求解.策略1：回歸定義法圓錐曲線定義反應(yīng)了其本質(zhì)，理解定義、活用定義是簡捷的解決圓錐曲線中最值問題的關(guān)鍵.當(dāng)題目中涉及到曲線上的點到焦點或到準(zhǔn)線等距離時，往往優(yōu)選定義法靈活地求解.例1 已知點是雙曲線的左焦點，定點的坐標(biāo)為，點是雙曲線右支上動點，則的最小值為_.分析：利用雙曲

2、線的第一定義，將問題進行轉(zhuǎn)化.由題意得，（為雙曲線右焦點），由此可得，進而把所求的最小值轉(zhuǎn)化為最小值.解析：如圖所示，設(shè)為雙曲線右焦點，根據(jù)雙曲線定義，即，所以，又，所以，所以，等號當(dāng)且僅當(dāng)三點共線，即為圖中的點時成立，故的最小值為.點評：這類問題的解決，是借助圓錐曲線的定義，通過適當(dāng)?shù)膯栴}轉(zhuǎn)化，利用平幾性質(zhì)，得到直觀解決.而點都是相應(yīng)的線段或直線與曲線的交點.因此，尋找交點的位置，也正是此類問題解決的關(guān)鍵所在.策略2：數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合就是通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.圓錐曲線中，我們往往可以通

3、過點的移動、直線的平移等方法找到最優(yōu)解，最優(yōu)解又往往會出現(xiàn)在特殊的位置上，這時我們就可以利用圖形找到特殊位置，再利用代數(shù)的方法確定特殊位置時的點的坐標(biāo)或直線的方程，使問題迎刃而解.例2 若點為拋物線上的動點，求點到直線的距離的最小值和對應(yīng)坐標(biāo).分析：利用幾何知識，將直線平移至與拋物線相切時，則切點與直線的距離即為點到直線的距離的最小值.解析：直線與拋物線相離，將直線平移至與拋物線相切時，則切點與直線的距離即為拋物線上的動點與直線的距離的最小值. 設(shè)切點為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，所以，切點坐標(biāo)為，所以到直線的距離的最小值為，此時，滿足條件的點坐標(biāo)為.點評：在求有關(guān)圓錐曲線中的最值問題時，使用數(shù)形結(jié)

4、合方法求最值時，往往需要先對問題進行適當(dāng)?shù)幕瘹w與轉(zhuǎn)化，再利用數(shù)形結(jié)合的思想來求解.當(dāng)焦點在軸上的拋物線易于求導(dǎo)，學(xué)生運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以非常簡單地求出切點，比使用聯(lián)立方程組，再研究 的方法更加簡捷.策略3：構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)法在處理解析幾何中很多最值的求解問題時，我們都要用到代數(shù)中常用的函數(shù)與方程的思想方法，當(dāng)條件中的某個參數(shù)與所研究的目標(biāo)有明顯的函數(shù)關(guān)系時，我們可以構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值的問題去解決，常用的方法有二次函數(shù)求最值、均值不等式求最值、單調(diào)法求最值等.例3 若點和點分別為橢圓的中心和左焦點，點為橢圓上的任意一點，則的最大值為 .分析：向量的數(shù)量積有一種坐標(biāo)表示，可以引入橫、

5、縱坐標(biāo)兩個變量，如果我們能把兩個變量轉(zhuǎn)換一個變量，那么，數(shù)量積的坐標(biāo)就是關(guān)于這個變量的函數(shù).解：由題意，設(shè)點，則有，解得，因為，所以.因為，所以當(dāng)時，取得最大值6.點評：在求變量的最值或變量的取值范圍時，構(gòu)造函數(shù)法是一種行之有效的方法.此題用坐標(biāo)將數(shù)量積轉(zhuǎn)化關(guān)于的二次函數(shù)，最值引刃而解.例4 已知點，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點.（1）求的方程；（2）設(shè)過點的動直線與相交于兩點，當(dāng)面積最大時，求的方程.分析：第（2）問思路：首先設(shè)，由圖象可得，考慮聯(lián)立直線與橢圓方程并利用點到直線距離公式和弦長公式用表示出，從而用進行表示.解析：（1）設(shè)，因為，所以，因為，所以，故的

6、方程； （2）設(shè)直線，聯(lián)立方程可得：，整理后可得： ，此時，解得：或，因為，所以 ，由均值不等式可得：，等號成立時，即，此時，所以，等號成立時，此時的方程為或.點評：巧妙引入?yún)?shù)，建立函數(shù)，再利用均值不等式即可得到最大值.而直線與橢圓相交，在隱含條件的限制條件下，保證等號成立的條件即為的值.圓錐曲線中的最值問題通常有兩種類型：一種是求長度的最值問題；一種是求面積的最值問題. 求解這類問題的基本策略是“大處著眼、小處著手”，即從整體上把握問題給出的綜合信息與相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，并恰當(dāng)?shù)剡\用定義法、數(shù)形結(jié)合法、目標(biāo)函數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法.【真題演練】練習(xí)1 （2011新課標(biāo)高考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點在直線上，點滿足，點的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）為上的動點，為在點處的切線，求點到距離的最小值。解析：() ；()設(shè)為曲線上一點，因為，所以的斜率為. 因此直線的方程為，即，則點到的距離，當(dāng)時取等號，故點到距離的最小值為2.練習(xí)2（2016年浙江高考）如圖，設(shè)拋物線的焦點為F，拋物線上的點A到y(tǒng)軸的距離等于.（1）求p的值；（2）若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，AN與x軸交于點M.求M的橫坐標(biāo)的取值范圍.解析：（1