第十一章微分方程(教師用)

1、第十一章 微分方程 177頁第一節(jié)微分方程的基本概念 177頁階常微分方程:，或初值問題（柯西問題）求方程滿足已給初始條件的特解叫初值問題.一階微分方程的初值問題，其幾何意義是求微分方程的通過點(diǎn)的那條積分曲線。二階微分方程的初值問題，記作：幾何意義是求通過點(diǎn)且在該點(diǎn)處的切線斜率為的積分曲線。補(bǔ)例 求下列曲線族所應(yīng)滿足的微分方程(1)； (2) .分析：要求的微分方程其階數(shù)應(yīng)和曲線族中參數(shù)的個數(shù)一致.解：(1)，對求導(dǎo)，有：；，；故所求的微分方程是：(2) ；對求一階，二階導(dǎo)數(shù)有：；(已不含參數(shù))； 所求微分方程是：習(xí)題11-1- 微分方程的基本概念 183頁5. 寫出由下列條件確定的曲線所滿足

2、的微分方程：(1)在點(diǎn)處的切線與該點(diǎn)向徑垂直；5(1)（2）圖解:補(bǔ)充1：指出下列各題中的函數(shù)是否為所給微分方程的解：（2），是。補(bǔ)充3：在下列各題中確定函數(shù)關(guān)系式中所含的參數(shù)，使函數(shù)滿足所給的初始條件（3），.,由,得練習(xí)冊2設(shè)微分方程為(1)驗證為任意常數(shù)）是方程的通解；(2)由通解求滿足初始條件的特解。(3)說明上述通解和特解的意義。解：（1）所以結(jié)論成立。（2）又因為（3）通解是滿足的一簇曲線。特解是過（0，1）的一條曲線。3社微分方程的通解為為任意常數(shù)，求此微分方程。解：求導(dǎo)： 即或者：第二節(jié) 一階微分方程 184頁一變量可分離變量方程若一階微分方程能寫成：或：的形式，稱為變量可分離

3、變量方程.分離變量積分： （4）就得通解.補(bǔ)例1： 求解：解：其中是任意常數(shù)。補(bǔ)例2:放射性元素鈾由于不斷的有原子放射出微粒子而變成其它元素，鈾的含量就不斷減少，這種現(xiàn)象叫衰變，由原子物理學(xué)知，鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變的原子含量成正比，已知時鈾的含量為求在衰變過程中鈾的含量變化的規(guī)律。解：鈾的衰變速度即，由題意有：補(bǔ)例3： 是可分離變量方程，得：；兩邊積分得：，記作，得；故通解：歸納：積分過程中，原函數(shù)出現(xiàn)對數(shù)函數(shù)時，真數(shù)可以不加絕對值，任意常數(shù)也寫為lnc。二. 齊次方程：185頁方程 （6） 稱齊次方程.解法：令（為未知函數(shù)），原方程化為： 這是可分離變量方程，解此方程，求出通解后，換回原

4、變量得原方程通解.注：方程形如，可令即，原方程化為：三 可化為齊次方程的微分方程187頁（不講）四 一階線性微分方程 188頁 稱為一階線性方程. 當(dāng)時稱為齊次線性方程，的通解為：這就是一階線性方程通解的公式，另法：，兩邊同乘,即得：有時方程關(guān)于不是線性的，但視為自變量，是函數(shù)時，方程關(guān)于是線性的，此時有：方程： 的通解為：.補(bǔ)例2：不是一階線性方程，但可改寫為：。即 是方程的通解.二. 貝努利方程： 方程 稱為貝努力方程.解法：引入代換化為線性方程.，代回有：這就是一階線性方程，求出通解后換回原變量，就得原方程通解.補(bǔ)例3：設(shè)，且與路徑無關(guān)，求，并求時的積分.解：積分與路徑無關(guān)，故，所以有即

5、 一階線性方程又 得 ,下面求的積分能用變量替換化為可積型的方程：補(bǔ)例4：解方程：解：變形：這是一階線性微分方程。；也可用變量代換法來解所給方程：令，代入原方程得：，以代回即得：五. 全微分方程 193頁若方程的左端，恰是某二元函數(shù)的全微分，即，則稱此方程為全微分方程或恰當(dāng)微分方程. 是全微分方程的充分必要條件是. 取路徑通解 ；或取路徑 ： 是通解補(bǔ)例1：解解：這里：，是全微分方程，取，取路徑，由公式有：通解：補(bǔ)例2：求解： 解：， 是全微分方程，取路徑 ：； 通解： 含積分因子的方程：若對方程，存在函數(shù)，使得是全微分方程，則稱是原方程的積分因子.通常用下面的全微分式子來找積分因子：； ；例

6、如：方程不是全微分方程，但是，可知是一個積分因子，（不難驗證：也都是積分因子，事實上：）；乘上其中任何一個積分，便得通解:又如,也不是全微分方程，但將其各項重新合并得：，容易看出為積分因子，方程就變?yōu)椋貉a(bǔ)例：. 判別方程是否全微分方程，并求通解.解:是全微分方程. 通解：習(xí)題11-2一階微分方程 194頁1. 求下列微分方程的通解解：得從而有：即：.2. 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解.(1)得(2)，；解：分離變量得：；積分：， ，得，所求特解為 （3），解：積分得：由初始條件得：特解為：（4）3. 一曲線通過點(diǎn)(2,3)，它在兩坐標(biāo)軸間的任一切線段均被切點(diǎn)所平分，求這曲線方程.6圖解

7、：設(shè)切點(diǎn)為則切線的截距分別為即：通解為：由得：故曲線方程為4某車間體積為12000開始時空氣中含有0.1的二氧化碳，為了降低空氣中二氧化碳的含量，用一臺風(fēng)量為每分鐘2000的鼓風(fēng)機(jī)通入含0.03的二氧化碳的新鮮空氣，同時以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出，問鼓風(fēng)機(jī)開動6分鐘后，車間內(nèi)二氧化碳的百分比降低到了多少？解：以表二氧化碳的濃度，則；即：故=0.56。5. 求下列齊次方程的通解：（1）解：令：，回代得; 解：變形：補(bǔ)充：解：，代回原變量得：。6. 求齊次方程滿足所給初始條件的特解.解：令，則回代得，又：所以，特解： 7 設(shè)有連結(jié)點(diǎn)和的一段向上凸的曲線段，對于上任一點(diǎn)，曲線弧與直線段所圍圖形

8、的面積為，求曲線弧的方程.解：設(shè)，由條件得：對求導(dǎo)得：又故：，回代：；通解為：由得：故：.8（不要求）9. 求下列微分方程的通解（1）解：先求解：，常數(shù)變易法，令，代入非齊次方程，得：法2，用公式：得：解：(3)。解：變形得：,（4），因為：故補(bǔ)充1：補(bǔ)充2：; 補(bǔ)充3：解：，補(bǔ)充4：注不易解。解：10求下列微分方程滿足所給初始條件的特解.補(bǔ)充1：補(bǔ)充2：補(bǔ)充1：求一曲線的方程，這曲線過原點(diǎn)，并且它在點(diǎn)處的切線斜率等于.補(bǔ)充2：設(shè)曲線積分在右半平面內(nèi)與路徑無關(guān)，其中可導(dǎo)，且.求.條件，,，,由得,.14. 判別下列方程哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解.，通解。通解。；通解：不是，變形有當(dāng)

9、時，是全微分方程，解為：2. 利用觀察法求出下列方程的積分因子，并求其通解：（1）(2) ；變：通解積分因子：通解：補(bǔ)充1：補(bǔ)充2：解：變形：,兩邊乘得: 即: 通解,積分因子.練習(xí)冊（可分離變量的微分方程）1求下列微分方程的通解：2求下列微分方程滿足所給初值條件的特解。3若以曲線為底的曲邊梯形的面積與縱坐標(biāo)次冪成正比，且已知求此曲線的方程。齊次方程1求下列齊次方程的通解：2求下列齊次方程滿足所給初始條件的特解。3用適當(dāng)變量替換，求解下列方程一階線性微分方程1求下列微分方程的通解（1）2求下列微分方程滿足所給初始條件的特解3已知在全平面上與路徑無關(guān)，其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且L是起點(diǎn)為（0，0

10、），終點(diǎn)為（1，1）的有向曲線時，該曲線積分值等于試求函 數(shù)4求下列貝努利方程的通解：補(bǔ)充：求解：全微分方程1驗證下列各方程為全微分方程，并求出方程的通解成立，所以方程為全微分方程，取積分路徑如圖，則通解為：2已知為全微分方程，并求此全微分方程的通解。3利用觀察法求出下列方程的積分因子，并求其通解。解：變形：通解積分因子：補(bǔ)充1：補(bǔ)充2：第三節(jié)、可降價的高階方程（三種最簡類型）196頁型的微分方程特征：缺；求解方法：令，；得關(guān)于的一階方程，設(shè)其通解為因此得到一個一階微分方程：，再積分得：補(bǔ) 例2：；解：方程中缺，令，代入方程得。分離變量，積分：，即，方程通解：.型的微分方程特征；缺；求解方法：

11、令，。得關(guān)于的一階方程，設(shè)解得：，分離變量并積分得：。補(bǔ)例3：求方程的特解。解： 缺，令，將，代入方程得： ；因為，所以不是方程的解，于是有：積分，得 ，即 ， ，得 于是有 ， 即 ， 積分得：，；原方程特解為 習(xí)題11-3 可降階的高階微分方程 199頁1. 求下列各微分方程的通解(1) ； （2）：解：設(shè)，代入有：， (3) ；解:設(shè)則原方程化為解：設(shè)則原方程化為補(bǔ)充1：補(bǔ)充2：2. 求下列微分方程，滿足所給初始條件的特解.；再由：, 故特解：（3）解：令，代回有：在時約去并分離變量得，再分離變量并積分得：由由,故特解解：設(shè)則原方程化為補(bǔ)充. 試求的經(jīng)過點(diǎn)M(0,1)且在此點(diǎn)與直線相切的

12、積分曲線.解:初始條件，對積分：由得：積分：由得：故：練習(xí)冊1求下列微分方程的通解(4) ；解:設(shè)則原方程化為2求下列微分方程滿足所給初始條件的特解。解：，代入有：，第四節(jié)、高階線性微分方程 200頁叫做二階線性微分方程，當(dāng)時叫做二階齊次線性微分方程當(dāng)時稱階齊次線性方程；時稱階非齊次線性方程.二. 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理：設(shè)有二階線性方程 定理1：設(shè)與是齊次線性方程的兩個解，則也是解.疊加起來的解從形式上看含有兩個任意常數(shù)，但它不一定是方程（1）的通解，什么情況下才是方程（1）的通解呢？這就要用到下面的線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念。設(shè)個不全為零的常數(shù)時有恒等式：，那末稱這個函數(shù)在區(qū)間上線性相

13、關(guān)，否則稱為線性無關(guān)對于兩個函數(shù)的情形，它們是否線性相關(guān)，只要看它們之比是否為常數(shù)：如果比為常數(shù)，那么它們就線性相關(guān)，否則就線性無關(guān)定理2：設(shè)與是齊次線性方程的兩個線性無關(guān)解（即常數(shù)），則 是方程的通解.推論：如果階齊次線性方程的個線性無關(guān)解，則此方程的通解為：，其中：為任意常數(shù)。定理3：設(shè)是非齊次線性方程的一個特解，是對應(yīng)齊次線性方程的通解，則是方程的通解.定理4：若是方程的解，是方程的解，則 是方程 的解.習(xí)題11-4 高階線性微分方程 206頁1 驗證及都是方程的解. 并寫出通解.,；是方程的解,同理也是方程的解.因常數(shù),故與線性無關(guān)；通解：3. 驗證及都是方程的解. 并寫出通解.4.

14、證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通解.(4) （任意常數(shù)）是的通解；證明：故所以是方程的解.同理, 也是方程的解.又常數(shù),所以是任意常數(shù)）是方程的通解；練習(xí)冊1. 已知方程的兩個特解為及. 試求該方程滿足初始條件.的特解2已知函數(shù)是二階線性非齊次微分方程所對應(yīng)的齊次方程的兩個特解，而該非齊次線性微分方程本身的一個特解為求此二階線性非齊次微分方程的通解，并寫出這個方程。且此時易驗證是的二特解，是的特解。第五節(jié)常系數(shù)線性方程 206頁 常數(shù)）稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程。，叫做特征方程；其根有三種不同情形：一，不相等的實根：通解為：二：，通解為：。三 兩個共軛復(fù)根，通解補(bǔ)例1： 求解解：通解又，故

15、求導(dǎo)有：又，所以特解：補(bǔ)例2： 求 的積分曲線，使其在點(diǎn)(0,2)與直線相切.解：因所求曲線在點(diǎn)(0,2)與直線相切，問題是的特解.特征方程 ，特征根 ，所以通解是由 求得 ；曲線：階常系數(shù)齊次方程：其中是常數(shù).特征方程 求出特征根，由特征根寫出通解特征方程的根方 程 通 解 中 的 對 應(yīng) 項()單實根給出一項：()一對單復(fù)根給出兩項：() 重實根給出項：() 一對重復(fù)根 給出項：補(bǔ)例：；特征方程：， 通解：二. 二階常系數(shù)非齊次線性方程 210頁 （常數(shù)）由定理2知，此方程的通解 其中是齊次線性方程的通解，前面已解決.是非齊次線性方程的特解，求的關(guān)鍵是由方程左端函數(shù)的形式正確地寫出，中的系

16、數(shù)待定，然后用待定系數(shù)法求出這些系數(shù)，從而得.一型若，則方程具有形如的解。其中，的多項式，而則按不是特征方程的根，是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0、1或2。上述結(jié)論可推廣至階常系數(shù)非齊次線性微分方程。補(bǔ)例1：求：的一個特解。解：；不是特征根，故設(shè)，代入所給方程，得：于是求得一個特解為補(bǔ)例2：求的通解。解：，先求對應(yīng)齊次方程的解：由于是特征方程的單根，故設(shè)：把它代入所給方程，得：因此求得方程的一個特解為：從而所求的通解為：，二 型：則非齊次線性微分方程的特解可設(shè)為：，其中是不同的次多項式系數(shù)待定，而按不是特征方程的根，或是特征方程的單根依次取0或1。補(bǔ)例：方程因，故特征根 是二次多項式

17、，不是特征根， 設(shè).補(bǔ)例：方程因是單根，一次多項式，故設(shè).補(bǔ)例 寫出下列方程特解的形式：(1) ； (2) ；(3) ；(4) ；(5) ；解：(1) 的特征方程為 ，故特征根.，二重特征根，且二次，故 （a,b,c待定） (2) 的特征方程是，特征根，是特征單根，2是零次多項式，故是零次多項式，且不是特根，故 （a,b待定）(3) 的特征方程為，.，恰是特征根(a,b待定) (4) 特征方程為，特征根.，是特征根，且是一次式；故 (a,b,c,d待定)(5)的特征方程為，.又因 ，不是特征根，是二重特征根，（a,b待定）習(xí)題11-5 二階常系數(shù)線性微分方程 215頁1. 求下列微分方程的通解

18、：(2) ；通解為，補(bǔ)充1：.通解2. 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解.補(bǔ)充2：4. 求下列各微分方程的通解解：分解為：（1）對（1）而言：不是特征根，令回代得：。對（2）而言：是特征根，令回代得：補(bǔ)充1：解：;補(bǔ)充2：解：故. 補(bǔ)充3：補(bǔ)充4：5 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解.補(bǔ)充1；，解：特征方程為對應(yīng)齊次解為,不是特征根，設(shè)則得通解為,由得故特解為故6. 設(shè)連續(xù)，且滿足，求.解：初始條件對應(yīng)齊次方程通解為, 不是特征根，設(shè)則得通解為由得故特解為.練習(xí)冊1求下列微分方程的通解補(bǔ)充：求以為通解的微分方程（其中為任意常數(shù)）3求下列微分方程滿足所給初始條件的特解。4一質(zhì)量為M的船，以速度時動力被關(guān)閉，假定水的阻力與船的瞬時速度成正比（比例系數(shù)為K），求時間與經(jīng)過的距離的函數(shù)關(guān)系。1設(shè)為下列情形時，寫出非齊次方程特解的形式（不具體計算）。注：2求下列微分方程的通解3求微分方程4試求