第五講分?jǐn)?shù)的拆分問題

1、第五講 分?jǐn)?shù)的拆分問題一、分?jǐn)?shù)拆分的初步知識形式，叫做分?jǐn)?shù)的拆分。怎樣才能把一個分?jǐn)?shù)拆成兩個分?jǐn)?shù)和的形式呢？我們?nèi)砸酝ㄟ^上題可以看出，拆分主要有以下幾個步驟：叫做擴分。注意：為什么要乘以5？因為5正好是分母6的兩個質(zhì)因數(shù)的和。把分子拆成分母的兩個質(zhì)因數(shù)的和，再拆成兩個分?jǐn)?shù)的和。即：把拆開后的兩個分?jǐn)?shù)約分，化成最簡分?jǐn)?shù)。例1 填空：事實上，我們把分母分解質(zhì)因數(shù)后，可以得到這個分母的不同的約數(shù)，只要把分子、分母都乘以這個分母的任意兩個約數(shù)的和，就可以把一個分?jǐn)?shù)拆成兩個分?jǐn)?shù)的和。解：18分解質(zhì)因數(shù)后共有六個約數(shù)：1、2、3、6、9、18，取不同的兩個約數(shù)的和，可以得到不同的解。如：可以看出，由于每次

2、所選用的兩個約數(shù)不同，所得的解也不相同。但是當(dāng)選用的四個約數(shù)成比例時，它們的解就相同。如：選用1和2，3和6，9和18；或選用2和3；6和9時，解就相同。二、把一個分?jǐn)?shù)拆成幾個分?jǐn)?shù)的和以上拆分的方法同樣也適用于把一個分?jǐn)?shù)拆成三個或三個以上分?jǐn)?shù)的和。解：18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18?？梢匀我馊∑渲腥齻€約數(shù)，得到不同的解。答案不只一種。三、把一個分?jǐn)?shù)拆成兩個分?jǐn)?shù)的差能不能把一個分?jǐn)?shù)拆成兩個分?jǐn)?shù)差的形式呢？觀察下面的分?jǐn)?shù)運算，看左右兩邊有什么關(guān)系。觀察下面幾個分?jǐn)?shù)的運算，左右兩邊有什么關(guān)系。以上每個分?jǐn)?shù)的分子d都是分母中兩個因數(shù)的差。當(dāng)n、n+d，都是自然當(dāng)d=1時，公式（2）則轉(zhuǎn)化為公式（

3、1）。利用公式（2）可以把一些分?jǐn)?shù)拆成兩個分?jǐn)?shù)差的形式。例5把下面各分?jǐn)?shù)寫成兩個分?jǐn)?shù)差的形式。觀察下面等式，左右兩邊有什么關(guān)系。通過上面算式，可以得出這樣的結(jié)論：由此可知，一個分?jǐn)?shù)可以根據(jù)需要拆成兩個或若干個分?jǐn)?shù)的和或兩個分?jǐn)?shù)的差的形式。四、拆分方法在分?jǐn)?shù)加法運算中的應(yīng)用例6 計算：解：由公式（2）解：由公式（3）例9 計算：解：由等差數(shù)列求和公式由此，本題中的各個分?jǐn)?shù)可以拆分為：因此，本題解法如下：例11 計算解：根據(jù)公式（4）解：先把同分母的分?jǐn)?shù)相加，看看有什么規(guī)律。上面三個算式表明，分母是2、3、4的如上面這樣的算式，它們的和分別是2、3、4。由此可以推出，分母為K的如上面的算式，所有的分?jǐn)?shù)的和等于K。所以，原式=2+3+4=9例13 計算解：可以利用例12所得出的結(jié)論以及等差數(shù)列求和公式進行計算。原式=1+2+3+1991=（1+1991）×1991÷2=1983036習(xí)題五1