電大微積分初步考試小抄【最新完整版小抄】

1、電大微積分初步考試精品小抄一、填空題函數(shù)的定義域是（，5）50 51，已知，則=若，則微分方程的階數(shù)是三階 6.函數(shù)的定義域是（-2，-1）U（-1，)7.28.若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，則(0) = -6y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2-x)(x2-5x+6)=x4-5x3+6x2-x3+5x2-6x=x4-6x3+11x2-6x , （把0帶入X）9.或10.微分方程的特解為y=ex. 又y(0)=1 (x=0 , y=1)11.函數(shù)的定義域是12.若函數(shù),在處連續(xù)，則1 (在處連續(xù)) （無窮小量x有界函數(shù)）13.曲線在點(diǎn)處的切線方程是 ， 14.sinx+

2、c15.微分方程的階數(shù)為三階16.函數(shù)的定義域是（2,3）U（3，）17.1/218.已知，則=27+27ln319.=ex2+c20.微分方程的階數(shù)為四階二、單項(xiàng)選擇題設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（偶函數(shù)）函數(shù)的間斷點(diǎn)是（）分母無意義的點(diǎn)是間斷點(diǎn)下列結(jié)論中（在處不連續(xù)，則一定在處不可導(dǎo)）正確可導(dǎo)必連續(xù)，伹連續(xù)并一定可導(dǎo)；極值點(diǎn)可能在駐點(diǎn)上，也可能在使導(dǎo)數(shù)無意義的點(diǎn)上如果等式，則（ ）下列微分方程中，（）是線性微分方程 6.設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（奇函數(shù)）7.當(dāng)（2 ）時(shí)，函數(shù)在處連續(xù).8.下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)減少的是（） 9.以下等式正確的是（）10.下列微分方程中為可分離變量方程的是（）11.設(shè)，則

3、（）12.若函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則(，但)是錯(cuò)誤的 13.函數(shù)在區(qū)間是（先減后增）14.(）15.下列微分方程中為可分離變量方程的是（）16.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（）17.當(dāng)（）時(shí)，函數(shù)在處連續(xù).18.函數(shù)在區(qū)間是（先單調(diào)下降再單調(diào)上升）19.在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點(diǎn)（1, 4）的曲線為（y = x2 + 3）20.微分方程的特解為（）三、計(jì)算題計(jì)算極限解:設(shè)，求.解：，u= -2x·(-2x)=eu·（-2）= -2·e-2xy= -2e-2x+dy=(-2·e-2x+)dx計(jì)算不定積分解：令u=,u=·2du=2(-

4、cos)+c= -2cos計(jì)算定積分u=x，v=ex,v= ex vdx=uv原式=25.計(jì)算極限6.設(shè)，求解：y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx y1=dy=()dx7.計(jì)算不定積分解：令u=1-2x , u= -2 8.計(jì)算定積分解：u=x,=9.計(jì)算極限10.設(shè)，求y1=sin3x y1=sinu , u=3x , y=2xln2+3cos3x dy=(2xln2+3cos3x)dx11.計(jì)算不定積分 u=x , v=cosx , v=sinx12.計(jì)算定積分令u=lnx, u=, du=dx , 1xe 0lnx1原式=1+5·=13.計(jì)算極限解：14.設(shè)，求解：

5、() , , , )15.計(jì)算不定積分解： u=2x-1 ,=2 du=2dx16.計(jì)算定積分解： u=x , ,四、應(yīng)用題（本題16分） 用鋼板焊接一個(gè)容積為4的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方米10元，焊接費(fèi)40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費(fèi)最低？最低總費(fèi)是多少？解：設(shè)水箱的底邊長為x，高為h,表面積為s，且有h=所以S(x)=x2+4xh=x2+令（x）=0，得x=2因?yàn)楸締栴}存在最小值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯一，所以x=2，h=1時(shí)水箱的表面積最小。此時(shí)的費(fèi)用為S（2）×10+40=160元欲用圍墻圍成面積為216平方米的一塊矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土

6、地的長和寬各選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最??？ 設(shè)長方形一邊長為x，S=216 另一邊長為216/x總材料y=2x+3·216/x=2x +y=2+648·(x-1)=2+648·(-1·)=2 - y=0得2 =x2=324 x=18一邊長為18，一邊長為12時(shí)，用料最省.欲做一個(gè)底為正方形，容積為32立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最??？設(shè)底邊長為a 底面積為a2a2h=v=32 h=表面積為a2+4ah= a2+4a·= a2+y= a2+ , y=2a+128·( -)=2a-y=0 得 2a=a3=64 a=4底面邊

7、長為4， h=2設(shè)矩形的周長為120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形的邊長為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。解：設(shè)矩形一邊長為x ，另一邊為60-x以AD為軸轉(zhuǎn)一周得圓柱，底面半徑x，高60-xV=得：矩形一邊長為40 ，另一邊長為20時(shí)，Vmax三、計(jì)算題計(jì)算極限解:設(shè)，求.解：，u= -2x·(-2x)=eu·（-2）= -2·e-2xy= -2e-2x+dy=(-2·e-2x+)dx計(jì)算不定積分解：令u=,u=·2du=2(-cos)+c= -2cos計(jì)算定積分u=x，v=ex,v= ex vdx=uv原式=25.計(jì)算極

8、限6.設(shè)，求解：y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx y1=dy=()dx7.計(jì)算不定積分解：令u=1-2x , u= -2 8.計(jì)算定積分解：u=x,=9.計(jì)算極限10.設(shè)，求y1=sin3x y1=sinu , u=3x , y=2xln2+3cos3x dy=(2xln2+3cos3x)dx11.計(jì)算不定積分 u=x , v=cosx , v=sinx12.計(jì)算定積分令u=lnx, u=, du=dx , 1xe 0lnx1原式=1+5·=13.計(jì)算極限解：14.設(shè)，求解：() , , , )15.計(jì)算不定積分解： u=2x-1 ,=2 du=2dx16.計(jì)算定積分解

9、： u=x , ,四、應(yīng)用題（本題16分） 用鋼板焊接一個(gè)容積為4的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方米10元，焊接費(fèi)40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費(fèi)最低？最低總費(fèi)是多少？解：設(shè)水箱的底邊長為x，高為h,表面積為s，且有h=所以S(x)=x2+4xh=x2+令（x）=0，得x=2因?yàn)楸締栴}存在最小值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯一，所以x=2，h=1時(shí)水箱的表面積最小。此時(shí)的費(fèi)用為S（2）×10+40=160元欲用圍墻圍成面積為216平方米的一塊矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬各選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最??？ 設(shè)長方形一邊長為x，S=216 另一邊長為2

10、16/x總材料y=2x+3·216/x=2x +y=2+648·(x-1)=2+648·(-1·)=2 - y=0得2 =x2=324 x=18一邊長為18，一邊長為12時(shí)，用料最省. 欲做一個(gè)底為正方形，容積為32立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最??？設(shè)底邊長為a 底面積為a2a2h=v=32 h=表面積為a2+4ah= a2+4a·= a2+y= a2+ , y=2a+128·( -)=2a-y=0 得 2a=a3=64 a=4底面邊長為4， h=2設(shè)矩形的周長為120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形的邊長為

11、多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。解：設(shè)矩形一邊長為x ，另一邊為60-x以AD為軸轉(zhuǎn)一周得圓柱，底面半徑x，高60-xV=得：矩形一邊長為40 ，另一邊長為20時(shí)，Vmax作業(yè)（一）函數(shù)，極限和連續(xù)一、填空題（每小題2分，共20分）1.函數(shù)的定義域是答案：2函數(shù)的定義域是答案：3.函數(shù)的定義域是答案：4.函數(shù)，則答案：5函數(shù)，則答案：6函數(shù)，則答案：7函數(shù)的間斷點(diǎn)是答案：8.答案：19若，則答案：210若，則答案：1.5；二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共24分）1設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（）答案：BA奇函數(shù)B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D既奇又偶函數(shù)2設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（）答案：AA奇函數(shù)B偶函數(shù)C非奇非偶

12、函數(shù) D既奇又偶函數(shù)3函數(shù)的圖形是關(guān)于（）對(duì)稱答案：DAB軸C軸 D坐標(biāo)原點(diǎn)4下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（C ）A B C D5函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ┐鸢福篋A B C且 D且6函數(shù)的定義域是（）答案：DA BC D7設(shè)，則（）答案：CA B C D8下列各函數(shù)對(duì)中，（）中的兩個(gè)函數(shù)相等答案：D A， B，C， D9當(dāng)時(shí)，下列變量中為無窮小量的是（）答案：C.AB CD10當(dāng)（）時(shí)，函數(shù)，在處連續(xù). 答案：BA0 B1 C D11當(dāng)（）時(shí)，函數(shù)在處連續(xù) 答案：DA0 B1 CD12函數(shù)的間斷點(diǎn)是（）答案：AA BC D無間斷點(diǎn)三、解答題（每小題7分，共56分）計(jì)算極限解2計(jì)算極限解3.解：原式4計(jì)算極限

13、解5計(jì)算極限解6.計(jì)算極限解7計(jì)算極限解8計(jì)算極限解 一、填空題（每小題2分，共20分）1曲線在點(diǎn)的斜率是 答案：2曲線在點(diǎn)的切線方程是 答案：3曲線在點(diǎn)處的切線方程是 答案：4答案：或5若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，則(0) = 答案：6已知，則= 答案：7已知，則= 答案：8若，則 答案：9函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 答案：10函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，則a應(yīng)滿足 答案：二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共24分）1函數(shù)在區(qū)間是（ ）答案：DA單調(diào)增加 B單調(diào)減少 C先增后減 D先減后增2滿足方程的點(diǎn)一定是函數(shù)的（ ）答案：C.A極值點(diǎn)B最值點(diǎn) C駐點(diǎn)D間斷點(diǎn)3若，則=（ ） 答案：CA.

14、 2 B.1 C.-1D.24設(shè)，則（ ） 答案：BABCD5設(shè)是可微函數(shù)，則（ ） 答案：D AB C D6曲線在處切線的斜率是（ ） 答案：CA B C D7若，則（ ）答案：CABCD8若，其中是常數(shù)，則（ ）答案CABCD9下列結(jié)論中（ A ）不正確 答案：C A在處連續(xù)，則一定在處可微. B在處不連續(xù)，則一定在處不可導(dǎo). C可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上. D若在a，b內(nèi)恒有，則在a，b內(nèi)函數(shù)是單調(diào)下降的.10若函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則( )是錯(cuò)誤的 答案：B A函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處有定義 B，但 C函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處連續(xù) D函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可微 11下

15、列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增加的是（ ）答案：BAsinxBe xCx 2 D3 x12.下列結(jié)論正確的有（ ） 答案：AAx0是f (x)的極值點(diǎn)，且(x0)存在，則必有(x0) = 0Bx0是f (x)的極值點(diǎn)，則x0必是f (x)的駐點(diǎn)C若(x0) = 0，則x0必是f (x)的極值點(diǎn) D使不存在的點(diǎn)x0，一定是f (x)的極值點(diǎn) 三、解答題（每小題7分，共56分）1設(shè)，求 解 或2設(shè)，求. 解 3設(shè)，求. 解 4設(shè)，求.解 或5設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求. 解 對(duì)方程兩邊同時(shí)對(duì)x求微分，得6設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求.解原方程可化為， 7設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求.解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求微分

16、，得.8設(shè)，求解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求微分，得一、填空題（每小題2分，共20分）1若的一個(gè)原函數(shù)為，則。 答案：（c為任意常數(shù)）或2若的一個(gè)原函數(shù)為，則。 答案：或3若，則 答案：或4若，則 答案：或5若，則答案：6若，則 答案：7答案：8 答案：9若，則答案：10若，則 答案：二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共16分）1下列等式成立的是（）答案：AABCD3若，則（ ）. 答案：AA. B. C. D.4若，則（ ）. 答案：A A. B. C. D.5以下計(jì)算正確的是（ ） 答案：AABCD6（ ）答案：AA. B. C. D. 7=（ ） 答案：CABCD8如果等式，則（） 答案BA. B. C

17、. D. 三、計(jì)算題（每小題7分，共35分）1解 或2解 3解 45解四、極值應(yīng)用題（每小題12分，共24分）1設(shè)矩形的周長為120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形的邊長為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。1解： 設(shè)矩形的一邊厘米，則厘米，當(dāng)它沿直線旋轉(zhuǎn)一周后，得到圓柱的體積令得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.是函數(shù)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).此時(shí)答：當(dāng)矩形的邊長分別為20厘米和40厘米時(shí)，才能使圓柱體的體積最大.2欲用圍墻圍成面積為216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最?。?. 解：設(shè)成矩形有土地的寬為米，則長為米，于是

18、圍墻的長度為令得易知，當(dāng)時(shí)，取得唯一的極小值即最小值，此時(shí)答：這塊土地的長和寬分別為18米和12米時(shí)，才能使所用的建筑材料最省.五、證明題（本題5分）1函數(shù)在（是單調(diào)增加的一、填空題（每小題2分，共20分）1答案：2 答案：或23已知曲線在任意點(diǎn)處切線的斜率為，且曲線過，則該曲線的方程是。答案：或4若 答案：2 或45由定積分的幾何意義知，= 。答案： 6. 答案：07=答案：8微分方程的特解為. 答案：1或9微分方程的通解為. 答案：或10微分方程的階數(shù)為答案：2或4二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共20分）1在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點(diǎn)（1, 4）的曲線為（）答案：AAy = x2

19、+ 3By = x2 + 4CD2若= 2，則k =（ ） 答案：AA1B-1 C0D3下列定積分中積分值為0的是（） 答案：AABCD4設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分（ ）答案：D5（）答案：DA0BCD6下列無窮積分收斂的是（）答案：BABCD7下列無窮積分收斂的是（）答案：BABCD8下列微分方程中，（ ）是線性微分方程答案：D AB C D9微分方程的通解為（ ）答案：CA B C D10下列微分方程中為可分離變量方程的是（） 答案：BA.；B. ； C. ；D. 三、計(jì)算題（每小題7分，共56分）1解或2解3解利用分部積分法456求微分方程滿足初始條件的特解 即通解7求微分方程的通解。

20、即通解為.四、證明題（本題4分）證明等式。作業(yè)（一）函數(shù)，極限和連續(xù)一、填空題（每小題2分，共20分）1.函數(shù)的定義域是答案：2函數(shù)的定義域是答案：3.函數(shù)的定義域是答案：4.函數(shù)，則答案：5函數(shù)，則答案：6函數(shù)，則答案：7函數(shù)的間斷點(diǎn)是答案：8.答案：19若，則答案：210若，則答案：1.5；二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共24分）1設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（）答案：BA奇函數(shù)B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D既奇又偶函數(shù)2設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（）答案：AA奇函數(shù)B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D既奇又偶函數(shù)3函數(shù)的圖形是關(guān)于（）對(duì)稱答案：DAB軸C軸 D坐標(biāo)原點(diǎn)4下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（C ）A B C D5函數(shù)的定

21、義域?yàn)椋ǎ┐鸢福篋A B C且 D且6函數(shù)的定義域是（）答案：DA BC D7設(shè)，則（）答案：CA B C D8下列各函數(shù)對(duì)中，（）中的兩個(gè)函數(shù)相等答案：D A， B，C， D9當(dāng)時(shí)，下列變量中為無窮小量的是（）答案：C.AB CD10當(dāng)（）時(shí)，函數(shù)，在處連續(xù). 答案：BA0 B1 C D11當(dāng)（）時(shí)，函數(shù)在處連續(xù) 答案：DA0 B1 CD12函數(shù)的間斷點(diǎn)是（）答案：AA BC D無間斷點(diǎn)三、解答題（每小題7分，共56分）計(jì)算極限解2計(jì)算極限解3.解：原式4計(jì)算極限解5計(jì)算極限解6.計(jì)算極限解7計(jì)算極限解8計(jì)算極限解 一、填空題（每小題2分，共20分）1曲線在點(diǎn)的斜率是 答案：2曲線在點(diǎn)的切線

22、方程是 答案：3曲線在點(diǎn)處的切線方程是 答案：4答案：或5若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，則(0) = 答案：6已知，則= 答案：7已知，則= 答案：8若，則 答案：9函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 答案：10函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，則a應(yīng)滿足 答案：二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共24分）1函數(shù)在區(qū)間是（ ）答案：DA單調(diào)增加 B單調(diào)減少 C先增后減 D先減后增2滿足方程的點(diǎn)一定是函數(shù)的（ ）答案：C.A極值點(diǎn)B最值點(diǎn) C駐點(diǎn)D間斷點(diǎn)3若，則=（ ） 答案：CA. 2 B.1 C.-1D.24設(shè)，則（ ） 答案：BABCD5設(shè)是可微函數(shù)，則（ ） 答案：D AB C D6曲線在處切線的斜率是

23、（ ） 答案：CA B C D7若，則（ ）答案：CABCD8若，其中是常數(shù)，則（ ）答案CABCD9下列結(jié)論中（ A ）不正確 答案：C A在處連續(xù)，則一定在處可微. B在處不連續(xù)，則一定在處不可導(dǎo). C可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上. D若在a，b內(nèi)恒有，則在a，b內(nèi)函數(shù)是單調(diào)下降的.10若函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則( )是錯(cuò)誤的 答案：B A函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處有定義 B，但 C函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處連續(xù) D函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可微 11下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增加的是（ ）答案：BAsinxBe xCx 2 D3 x12.下列結(jié)論正確的有（ ） 答案：AAx0是f

24、(x)的極值點(diǎn)，且(x0)存在，則必有(x0) = 0Bx0是f (x)的極值點(diǎn)，則x0必是f (x)的駐點(diǎn)C若(x0) = 0，則x0必是f (x)的極值點(diǎn) D使不存在的點(diǎn)x0，一定是f (x)的極值點(diǎn) 三、解答題（每小題7分，共56分）1設(shè)，求 解 或2設(shè)，求. 解 3設(shè)，求. 解 4設(shè)，求.解 或5設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求. 解 對(duì)方程兩邊同時(shí)對(duì)x求微分，得6設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求.解原方程可化為， 7設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求.解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求微分，得.8設(shè)，求解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求微分，得一、填空題（每小題2分，共20分）1若的一個(gè)原函數(shù)為，則。 答案：（c為任意常數(shù)）或2若

25、的一個(gè)原函數(shù)為，則。 答案：或3若，則 答案：或4若，則 答案：或5若，則答案：6若，則 答案：7答案：8 答案：9若，則答案：10若，則 答案：二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共16分）1下列等式成立的是（）答案：AABCD3若，則（ ）. 答案：AA. B. C. D.4若，則（ ）. 答案：A A. B. C. D.5以下計(jì)算正確的是（ ） 答案：AABCD6（ ）答案：AA. B. C. D. 7=（ ） 答案：CABCD8如果等式，則（） 答案BA. B. C. D. 三、計(jì)算題（每小題7分，共35分）1解 或2解 3解 45解四、極值應(yīng)用題（每小題12分，共24分）1設(shè)矩形的周長為12

26、0厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形的邊長為多少時(shí)，才能使圓柱體的體積最大。1解： 設(shè)矩形的一邊厘米，則厘米，當(dāng)它沿直線旋轉(zhuǎn)一周后，得到圓柱的體積令得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.是函數(shù)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).此時(shí)答：當(dāng)矩形的邊長分別為20厘米和40厘米時(shí)，才能使圓柱體的體積最大.2欲用圍墻圍成面積為216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最??？2. 解：設(shè)成矩形有土地的寬為米，則長為米，于是圍墻的長度為令得易知，當(dāng)時(shí)，取得唯一的極小值即最小值，此時(shí)答：這塊土地的長和寬分別為18米和12米時(shí)，才能使所用的建筑材料最省.五

27、、證明題（本題5分）1函數(shù)在（是單調(diào)增加的一、填空題（每小題2分，共20分）1答案：2 答案：或23已知曲線在任意點(diǎn)處切線的斜率為，且曲線過，則該曲線的方程是。答案：或4若 答案：2 或45由定積分的幾何意義知，= 。答案： 6. 答案：07=答案：8微分方程的特解為. 答案：1或9微分方程的通解為. 答案：或10微分方程的階數(shù)為答案：2或4二、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共20分）1在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點(diǎn)（1, 4）的曲線為（）答案：AAy = x2 + 3By = x2 + 4CD2若= 2，則k =（ ） 答案：AA1B-1 C0D3下列定積分中積分值為0的是（） 答案：AA

28、BCD4設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分（ ）答案：D5（）答案：DA0BCD6下列無窮積分收斂的是（）答案：BABCD7下列無窮積分收斂的是（）答案：BABCD8下列微分方程中，（ ）是線性微分方程答案：D AB C D9微分方程的通解為（ ）答案：CA B C D10下列微分方程中為可分離變量方程的是（） 答案：BA.；B. ； C. ；D. 三、計(jì)算題（每小題7分，共56分）1解或2解3解利用分部積分法456求微分方程滿足初始條件的特解 即通解7求微分方程的通解。 即通解為.四、證明題（本題4分）證明等式。微積分初步物理學(xué)研究的是物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因此我們經(jīng)常遇到的物理量大多數(shù)是變量，而我們要研

29、究的正是一些變量彼此間的聯(lián)系。這樣，微積分這個(gè)數(shù)學(xué)工具就成為必要的了。我們考慮到，讀者在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)物理課時(shí)若能較早地掌握一些微積分的初步知識(shí)，對(duì)于物理學(xué)的一些基本概念和規(guī)律的深入理解是很有好處的。所以我們?cè)谶@里先簡單地介紹一下微積分中最基本的概念和簡單的計(jì)算方法，在講述方法上不求嚴(yán)格和完整，而是較多地借助于直觀并密切地結(jié)合物理課的需要。至于更系統(tǒng)和更深入地掌握微積分的知識(shí)和方法，讀者將通過高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)去完成。§1函數(shù)及其圖形本節(jié)中的不少內(nèi)容讀者在初等數(shù)學(xué)及中學(xué)物理課中已學(xué)過了，現(xiàn)在我們只是把它們聯(lián)系起來復(fù)習(xí)一下。11函數(shù)  自變量和因變量  絕對(duì)常量和任意常量

30、在數(shù)學(xué)中函數(shù)的功能是這樣定義的：有兩個(gè)互相聯(lián)系的變量x和y，如果每當(dāng)變量x取定了某個(gè)數(shù)值后，按照一定的規(guī)律就可以確定y的對(duì)應(yīng)值，我們就稱y是x的函數(shù)，并記作y=f（x），                       （A1）其中x叫做自變量，y叫做因變量，f是一個(gè)函數(shù)記號(hào)，它表示y和x數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系。有時(shí)把y=f（x）也記作y=y（x）。如果在同一個(gè)問題中遇到幾個(gè)不同形式的函數(shù)

31、，我們也可以用其它字母作為函數(shù)記號(hào)，如j（x）、（x）等等。常見的函數(shù)可以用公式來表達(dá)，例如ex等等。在函數(shù)的表達(dá)式中，除變量外，還往往包含一些不變的量，如上面切問題中出現(xiàn)時(shí)數(shù)值都是確定不變的，這類常量叫做絕對(duì)常量；另一類如a、b、c等，它們的數(shù)值需要在具體問題中具體給定，這類常量叫做任意常量。在數(shù)學(xué)中經(jīng)常用拉丁字母中最前面幾個(gè)（如a、b、c）代表任意常量，最后面幾個(gè)（x、y、z）代表變量。當(dāng)y=f（x）的具體形式給定后，我們就可以確定與自變量的任一特定值x0相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x0）。例如：（1）若y=f（x）=3+2x，則當(dāng)x=-2時(shí)y=f（-2）=3+2×（-2）=-1一般地說，

32、當(dāng)x=x0時(shí)，y=f（x0）=3+2x012函數(shù)的圖形在解析幾何學(xué)和物理學(xué)中經(jīng)常用平面上的曲線來表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，這種方法對(duì)于我們直觀地了解一個(gè)函數(shù)的特征是很有幫助的。作圖的辦法是先在平面上取一直角坐標(biāo)系，橫軸代表自變量x，縱軸代表因變量（函數(shù)值）y=f（x）這樣一來，把坐標(biāo)為（x，y）且滿足函數(shù)關(guān)系y=f（x）的那些點(diǎn)連接起來的軌跡就構(gòu)成一條曲線，它描繪出函數(shù)的面貌。圖A-1便是上面舉的第一個(gè)例子y=f（x）=3+2x的圖形，其中P1，P2，P3，P4，P5各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2，-1）、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各點(diǎn)連接成一根直線。圖A-2是第二個(gè)例子各點(diǎn)

33、連接成雙曲線的一支。13物理學(xué)中函數(shù)的實(shí)例反映任何一個(gè)物理規(guī)律的公式都是表達(dá)變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系的。下面我們舉幾個(gè)例子。（1）勻速直線運(yùn)動(dòng)公式s=s0vt，                （A2）此式表達(dá)了物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置s隨時(shí)間t變化的規(guī)律，在這里t相當(dāng)于自變量x，s相當(dāng)于因變量y，s是t的函數(shù)。因此我們記作s=s（t）s0vt，        

34、60;                     （A3）式中初始位置s0和速度v是任意常量，s0與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇有關(guān)，v對(duì)于每個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)有一定的值，但對(duì)于不同的勻速直線運(yùn)動(dòng)可以取不同的值。圖A-3是這個(gè)函數(shù)的圖形，它是一根傾斜的直線。下面我們將看到，它的斜率等于v（2）勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式v=v0at，        

35、;        （A5）兩式中s和v是因變量，它們都是自變量t的函數(shù)，因此我們記作vv（t）v0tat                    （A7）圖A-4a、4b分別是兩個(gè)函數(shù)的圖形，其中一個(gè)是拋物線，一個(gè)是直線。（A6）和（A7）式是勻變速直線運(yùn)動(dòng)的普遍公式，式中初始位置s0、初速v0和加速度a都是任意常量，它們的數(shù)值要根據(jù)討論的

36、問題來具體化。例如在討論自由落體問題時(shí)，如果把坐標(biāo)原點(diǎn)選擇在開始運(yùn)動(dòng)的地方，則s00，v00，ag9.8ms2，這時(shí)（A6）和（A7）式具有如下形式：vv（t）gt                   （A9）這里的g可看作是絕對(duì)常量，式中不再有任意常量了。（3）玻意耳定律PVC           

37、0;    （A10）上式表達(dá)了一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變的條件下，壓強(qiáng)P和體積V之間的函數(shù)關(guān)系，式中的C是任意常量。我們可以選擇V為自變量，P為因變量，這樣，（A10）式就可寫作它的圖形和圖A-2是一樣的，只不過圖中的x、y應(yīng)換成V、P在（A10）式中我們也可以選擇P為自變量，V為因變量，這樣它就應(yīng)寫成由此可見，在一個(gè)公式中自變量和因變量往往是相對(duì)的。（4）歐姆定律UIR                （A13）當(dāng)

38、我們討論一段導(dǎo)線中的電流I這樣隨著外加電壓U而改變的問題時(shí)，U是自變量，I是因變量，R是常量。這時(shí)，（A13）式應(yīng)寫作即I與U成正比。應(yīng)當(dāng)指出，任意常量與變量之間的界限也不是絕對(duì)的。例如，當(dāng)我們討論串聯(lián)電路中電壓在各電阻元件上分配問題時(shí)，由于通過各元件的電流是一樣的，（A13）式中的電流I成了常量，而R是自變量，U是因變量，于是UU（R）IR，                     

39、（A15）即U與R成正比。但是，當(dāng)我們討論并聯(lián)電路中電流在各分支里的分配問題時(shí)，由于各分支兩端具有共同的電壓，（A13）式中的U就成了常量，而R為自變量，I是因變量，于是即I與R成反比?？傊總€(gè)物理公式都反映了一些物理量之間的函數(shù)關(guān)系，但是其中哪個(gè)是自變量，哪個(gè)是因變量，哪些是常量，有時(shí)公式本身反映不出來，需要根據(jù)我們所要討論的問題來具體分析。§2導(dǎo)數(shù)21極限如果當(dāng)自變量x無限趨近某一數(shù)值x0（記作xx0）時(shí)，函數(shù)f（x）的數(shù)值無限趨近某一確定的數(shù)值a，則a叫做xx0時(shí)函數(shù)f（x）的極限值，并記作（A17）式中的“l(fā)im”是英語“l(fā)imit（極限）”一詞的縮寫，（A17）式讀作“當(dāng)

40、x趨近x0時(shí)，f（x）的極限值等于a”。極限是微積分中的一個(gè)最基本的概念，它涉及的問題面很廣。這里我們不企圖給“極限”這個(gè)概念下一個(gè)普遍而嚴(yán)格的定義，只通過一個(gè)特例來說明它的意義。考慮下面這個(gè)函數(shù)：這里除x1外，計(jì)算任何其它地方的函數(shù)值都是沒有困難的。例如當(dāng)?shù)侨魡杧1時(shí)函數(shù)值f（1）？我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這時(shí)（A18）式的說是沒有意義的。所以表達(dá)式（A18）沒有直接給出f（1），但給出了x無論如何接近1時(shí)的函數(shù)值來。下表列出了當(dāng)x的值從小于1和大于1兩方面趨于1時(shí)f（x）值的變化情況：表A-1 x與f（x）的變化值x3x2-x-2x-10.9-0.47-0.14.70.99-0.0497-0.01

41、4.970.999-0.004997-0.0014.9970.9999-0.0004997-0.00014.99971.10.530.15.31.010.5030.015.031.0010.0050030.0015.0031.00010.000500030.00015.0003 從上表可以看出，x值無論從哪邊趨近1時(shí)，分子分母的比值都趨于一個(gè)確定的數(shù)值5，這便是x1時(shí)f（x）的極限值。其實(shí)計(jì)算f（x）值的極限無需這樣麻煩，我們只要將（A18）式的分子作因式分解：3x2-x-2（3x2）（x-1），并在x1的情況下從分子和分母中將因式（x1）消去：即可看出，x趨于1時(shí)函數(shù)f（x）的數(shù)值

42、趨于3×125。所以根據(jù)函數(shù)極限的定義，  22幾個(gè)物理學(xué)中的實(shí)例  （1）瞬時(shí)速度當(dāng)一個(gè)物體作任意直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的位置可用它到某個(gè)坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離s來描述。在運(yùn)動(dòng)過程中s是隨時(shí)間t變化的，也就是說，s是t的函數(shù)：ss（t）函數(shù)s（t）告訴我們的是這個(gè)物體什么時(shí)刻到達(dá)什么地方。形象一些說，假如物體是一列火車，則函數(shù)s（t）就是它的一張“旅行時(shí)刻表”。但是，在實(shí)際中往往不滿足于一張“時(shí)刻表”，我們還需要知道物體運(yùn)動(dòng)快慢的程度，即速度或速率的概念。例如，當(dāng)車輛駛過繁華的街道或橋梁時(shí)，為了安全，對(duì)它的速率就要有一定的限制；一個(gè)上拋體（如高射炮彈）能夠達(dá)到怎樣的高度，也與

43、它的初始速率有關(guān)，等等。為了建立速率的概念，我們就要研究在一段時(shí)間間隔里物體位置的改變情況。假設(shè)我們考慮的是從tt0到tt1的一段時(shí)間間隔，則這間隔的大小為tt1-t0根據(jù)s和t的函數(shù)關(guān)系s（t）可知，在t0和t1t0+t兩個(gè)時(shí)刻，s的數(shù)值分別為s（t0）和s（t1）s（t0+t），即在t0到t1這段時(shí)間間隔里s改變了ss（t1）s（t0）s（t0+t）s（t0）在同樣大小的時(shí)間間隔t里，若s的改變量s小，就表明物體運(yùn)動(dòng)得慢， 舉例來說，對(duì)于勻變速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)（A4）式有所以體在tt0時(shí)刻的瞬時(shí)速率v，即對(duì)于勻變速直線運(yùn)動(dòng)來說，這就是我們熟悉的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速率公式（A5）。（2

44、）瞬時(shí)加速度一般地說，瞬時(shí)速度或瞬時(shí)速率v也是t的函數(shù)：vv（t）但是在許多實(shí)際問題中，只有速度和速率的概念還不夠，我們還需要知道速度隨時(shí)間變化的快慢，即需要建立“加速度”的概念。類似。在直線運(yùn)動(dòng)中，首先取一段時(shí)間間隔t0到t1，根據(jù)瞬時(shí)速率v和時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系v（t）可知，在tt0和tt1兩時(shí)刻的瞬時(shí)速率分別為v（t0）和v（t1）v（t0+t），因此在t0到t1這段時(shí)間間隔里v改變了v=v（t0+t）-v（t0）舉例來說，對(duì)于勻變速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)（A5）式有所以平均加速度為時(shí)的極限，這就是物體在tt0時(shí)刻的瞬時(shí)加速度a：（3）水渠的坡度任何排灌水渠的兩端都有一定的高度差，這樣才能使水流動(dòng)。

45、為簡單起見，我們假設(shè)水渠是直的，這時(shí)可以把x坐標(biāo)軸取為逆水渠走向的方向（見圖A-5），于是各處渠底的高度h便是x的函數(shù)：h=h（x）知道了這個(gè)函數(shù)，我們就可以計(jì)算任意兩點(diǎn)之間的高度差。 在修建水渠的時(shí)候，人們經(jīng)常運(yùn)用“坡度”的概念。譬如說，若逆水渠而上，渠底在100m的距離內(nèi)升高了20cm，人們就說這水渠的坡度是大小反映著高度隨長度變化的快慢程度。如果用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)，我們就要取一段水渠，設(shè)它的兩端的坐標(biāo)分別為x0和x1，于是這段水渠的長度為xx1-x0根據(jù)h和x的函數(shù)關(guān)系h（x）可知，在x0和x1=x0+x兩地h的數(shù)值分別為h（x0）和h（x1）h（x0+x），所以在x這段長度內(nèi)h

46、改變了hh（x0+x）-h（x0）根據(jù)上述坡度的定義，這段水渠的平均坡度為在前面所舉的數(shù)字例子里，x采用了100米的數(shù)值。實(shí)際上在100米的范圍內(nèi)，水渠的坡度可能各處不同。為了更細(xì)致地把水渠在各處的坡度反就愈能精確地反映出x=x0這一點(diǎn)的坡度。所以在x=x0這一點(diǎn)的坡度k應(yīng)是  23函數(shù)的變化率導(dǎo)數(shù)  前面我們舉了三個(gè)例子，在前兩個(gè)例子中自變量都是t，第三個(gè)例子中自變量是x這三個(gè)例子都表明，在我們研究變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，除了它們數(shù)值上“靜態(tài)的”對(duì)應(yīng)關(guān)系外，我們往往還需要有“運(yùn)動(dòng)”或“變化”的觀點(diǎn)，著眼于研究函數(shù)變化的趨勢、增減的快慢，亦即，函數(shù)的“變化率”概念。當(dāng)變

47、量由一個(gè)數(shù)值變到另一個(gè)數(shù)值時(shí)，后者減去前者，叫做這個(gè)變量的增量。增量，通常用代表變量的字母前面加個(gè)“”來表示。例如，當(dāng)自變量x的數(shù)值由x0變到x1時(shí)，其增量就是xx1-x0                                   

48、0;                  （A25）與此對(duì)應(yīng)。因變量y的數(shù)值將由y0f（x0）變到y(tǒng)1=f（x1），于是它的增量為yy1-y0=f（x1）f（x0）f（x0+x）f（x0）（A26）應(yīng)當(dāng)指出，增量是可正可負(fù)的，負(fù)增量代表變量減少。增量比可以叫做函數(shù)在xx0到xx0+x這一區(qū)間內(nèi)的平均變化率，它在x0時(shí)的極限值叫做函數(shù)yf（x）對(duì)x的導(dǎo)數(shù)或微商，記作y或f（x），f（x）等其它形式。導(dǎo)數(shù)與增量不同，它代表函數(shù)在一點(diǎn)

49、的性質(zhì)，即在該點(diǎn)的變化率。應(yīng)當(dāng)指出，函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f（x）本身也是x的一個(gè)函數(shù)，因此我們可以再取它對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，這叫做函數(shù)yf（x）據(jù)此類推，我們不難定義出高階的導(dǎo)數(shù)來。有了導(dǎo)數(shù)的概念，前面的幾個(gè)實(shí)例中的物理量就可表示為：  24導(dǎo)數(shù)的幾何意義  在幾何中切線的概念也是建立在極限的基礎(chǔ)上的。如圖A-6所示，為了確定曲線在P0點(diǎn)的切線，我們先在曲線上P0附近選另一點(diǎn)P1，并設(shè)想P1點(diǎn)沿著曲線向P0點(diǎn)靠攏。P0P1的聯(lián)線是曲線的一條割線，它的方向可用這直線與橫坐標(biāo)軸的夾角來描述。從圖上不難看出，P1點(diǎn)愈靠近P0點(diǎn)，角就愈接近一個(gè)確定的值0，當(dāng)P1點(diǎn)完全和P0點(diǎn)重合的時(shí)候，割線

50、P0P1變成切線P0T，的極限值0就是切線與橫軸的夾角。  在解析幾何中，我們把一條直線與橫坐標(biāo)軸夾角的正切tan叫做這條直線的斜率。斜率為正時(shí)表示是銳角，從左到右直線是上坡的（見圖A-7a）；斜率為負(fù)時(shí)表示是鈍角，從左到右直線是下坡的（見圖A-7b）。現(xiàn)在我們來研究圖A-6中割線P0P1和切線P0T的斜率。設(shè)P0和P1的坐標(biāo)分別為（x0，y0）和（x0+x，y0+y），以割線P0P1為斜邊作一直角三角形P0P1M，它的水平邊P0M的長度為x，豎直邊MP1的長度為y，因此這條割線的斜率為如果圖A-6中的曲線代表函數(shù)y=f（x），則割線P0P1的斜率就等于函數(shù)在線P0P1斜率

51、的極限值，即所以導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率。§3導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算  在上節(jié)里我們只給出了導(dǎo)數(shù)的定義，本節(jié)將給出以下一些公式和定理，利用它們可以把常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出來。  31基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式  （1）yf（x）C（常量）（2）y=f（x）x（3）yf（x）=x2（4）yf（x）x3 上面推導(dǎo)的結(jié)果可以歸納成一個(gè)普遍公式：當(dāng)y=xn時(shí)，等等。利用（A33）式我們還可以計(jì)算其它冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（見表A-2）。除了冪函數(shù)xn外，物理學(xué)中常見的基本函數(shù)還有三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)。我們只給出這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（見表A-2）而不推導(dǎo)，讀者可以直接引用。

52、60; 32有關(guān)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的幾個(gè)定理  定理一證：定理二證：表A-2基本導(dǎo)數(shù)公式函數(shù)y=f(x)導(dǎo)數(shù)y=f(x)c(任意常量)0xn(n為任意常量)nxn-1n=1,x1n=2,x22xn=3,x33x2sinxcosxcosx-sinxlnxexex定理三證：定理四證：例題1求y=x2±a2（a為常量）的導(dǎo)數(shù)。例題3求y=ax2（a為常量）的導(dǎo)數(shù)。例題4求y=x2ex的導(dǎo)數(shù)。例題6求ytanx的導(dǎo)數(shù)。 例題7求ycos（axb）（a、b為常量）的導(dǎo)數(shù)。解：令vaxb，yu（v）cosv，則例題9求y=x2eax2（a為常量）的導(dǎo)數(shù)。解：令uev，vax2，則

53、67;4微分和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開  41微分  自變量的微分，就是它的任意一個(gè)無限小的增量x用dx代表x的微分，則dx=x                                                                &#