等比數(shù)列的概念及性質(zhì)

1、精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義講義編號11sh11sx00學(xué)員編號: 年 級： 課 時 數(shù)：3學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師： 課 題等比數(shù)列的概念及性質(zhì)授課日期及時段 教學(xué)目標1、理解并掌握等比數(shù)列的概念，等比中項的概念；2、掌握等比數(shù)列通項公式的求法；3、掌握等比數(shù)列前項和公式；4、掌握等比數(shù)列的幾種等價形式；5、理解并掌握等比數(shù)列的重要性質(zhì)。教學(xué)內(nèi)容、知識點梳理一、等比數(shù)列（1）等比數(shù)列的定義 一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù)，這樣的數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用小寫字母表示.【注意】公比，也即等比數(shù)列中任意一項都不為0。（2）

2、等比中項 與等差中項的概念類似，如果成等比數(shù)列，那么G叫做的等比中項. 等比中項的性質(zhì)： 如果三個數(shù)成等比數(shù)列，那么等比中項的平方等于另兩項的乘積. 在一個等比數(shù)列中，從第二項起，每一項（有窮數(shù)列的末項除外）都是它前一項與后一項的等比中項. 以G為等比中項的三個數(shù)可表示為：，體現(xiàn)了和諧性與對稱性。 例1、在數(shù)列中，如果數(shù)列為等比數(shù)列，求公比及，并用計算器計算、. 例2、在2與9之間插入兩個數(shù)，使前三個數(shù)依次成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，試求出這個數(shù)列. 例3、有四個數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和為37，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為36，求這四個數(shù).【小結(jié)】合

3、理利用等差中項與等比中項的性質(zhì)，可使本題求四個量轉(zhuǎn)化為求兩個量.二、等比數(shù)列的通項公式，* （可用累乘法推導(dǎo)） 例4、一個等比數(shù)列第三項與第四項分別是12與18，求它的第1項和第2項。 例5、己知、是項數(shù)相同的等比數(shù)列，且公比分別為 求證：.也是等比數(shù)列，并求它的公比三、等比數(shù)列的性質(zhì)：由通項公可以推導(dǎo)出許多性質(zhì)： 時遞增;時遞減;為常數(shù)列. 時, 是擺動數(shù)列； ； 若.則， 特別地：；若 是有窮數(shù)列,則與首末兩項等距離的兩項的積相等,且等于首末兩項的積； 項數(shù)成等差數(shù)列的項組成等比數(shù)列； 也是等比數(shù)列,公比均為； 、是項數(shù)相同的等比數(shù)列，且公比分別為，則.也是等比數(shù)列，并且它的公比=.【思考

4、】 、是項數(shù)相同的等比數(shù)列，且公比分別為（1）為常數(shù)且都不為0）也是等比數(shù)列嗎？如果是，公比為_；如果不是，請說明理由.（2）為常數(shù)且都不為0）也是等比數(shù)列嗎？如果是，公比為_；如果不是，請說明理由. 例6、已知等比數(shù)列（1）若，求的值.（2）若求的值.（3）若，求的值. 例7、各項為正數(shù)的等比數(shù)列的公比且成等差數(shù)列,則的值是( ) A、 B、 C、 D、 例8、等比數(shù)列中, 則( ) A、 B、 C、 D、 例9、一個直角三角形的三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列,求其中最小的角的正弦值. 例10、如果數(shù)列an滿足是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則等于 （ ） A、 B、 C、 D、四、等比數(shù)列的前項

5、和公式若等比數(shù)列的公比為，它的前項和為，則（1）當時，=_（2）當時，=_ =_ （可用錯位相減法推導(dǎo)）【注意】（1）和各已知三個可求第四個；（2）注意求和公式中是，通項公式中是不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時，必要時應(yīng)討論的情況. 例11、求等比數(shù)列的前8項的和. 例12、在等比數(shù)列中，（1），=_（2）, =_（3）等比數(shù)列1，2，4，8，從第5項到第10項的和為_五、等比數(shù)列每的和仍然是一個等比數(shù)列，即數(shù)列為等比數(shù)列假設(shè)等比數(shù)列的公比為,則等比數(shù)列每項的和組成的新數(shù)列的公比=_如果設(shè)等比數(shù)列的前項和為，則新數(shù)列可表示為所以有： 例13、已知等比數(shù)列的前項和為，若=10，=70，求。 例14

6、、某商場第一年銷售計算機5000臺，如果平均每年的銷售量比上一年增加10%，那么從第一年起，約幾年可使總銷售量達到30000臺？（保留到個位） 例15、求和 （）.小練習(xí)： 求和 （）?！拘〗Y(jié)】 對含字母的題目一般要分別考慮q=1和q1兩種情況：例16、在等比數(shù)列an中，a1an=66，a2·an1=128，且前n項和=126，求n及公比q 例17、在等比數(shù)列an中，已知對nN*，a1a2an2n1，求a12a22an2六、等比數(shù)列的幾種等價形式為等比數(shù)列（常數(shù)）（p,q為常數(shù)）（m,q為常數(shù)m、q都不為0）課后練習(xí)： 1、若兩數(shù)的等差中項是6,等比中項是5,則以這兩數(shù)為兩根的一元二

7、次方程為 ( ) A、 B、 C、 D、 2、等比數(shù)列的前10項的和為32,前20項的和為56,那么前30項的和為 ( ) A、72 B、73 C、74 D、88 3、在各項為正數(shù)的等比數(shù)列中,則( ) A、8 B、10 C、12 D、 4、等比數(shù)列的前項和為,則公比 5、已知成等差數(shù)列, 成等比數(shù)列,則 6、設(shè)數(shù)列滿足,且則= 7、設(shè)是公比為q的等比數(shù)列，是它的前n項和。若是等差數(shù)列，則q = _ 8、已知是等比數(shù)列，求的值. 9、數(shù)列an是等比數(shù)列，其中Sn=48，S2n=60，求S3n 10、某城市1990年底人口為50萬，人均住房面積為16 m2，如果該市每年人口平均增長率為1%，每年平均新增住房面積為30萬 m2，求2000年底該市人均住房的面積數(shù)(已知1.0151.05，精確到0.01 m2) 11、已知數(shù)列滿足a1=1，()（1）