第三章中值定理導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用模板

1、第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié) 微分中值定理一、費(fèi)馬（Fermat）定理設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，且在點(diǎn)可導(dǎo)如果恒有成立，則注：Fermat定理的幾何意義是：如果在點(diǎn)的值不小于鄰近的函數(shù)值（或不大于鄰近的函數(shù)值），只要在點(diǎn)曲線有切線，其切線必為水平的二、羅爾(Rolle)定理如果函數(shù)滿足：（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)；（3）則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使注：（）Rolle定理的幾何意義是：如果每一點(diǎn)都有切線的連續(xù)曲線AB：，在A，B兩點(diǎn)有相同的縱坐標(biāo)，則A，B之間至少存在一點(diǎn)P，曲線在點(diǎn)P有水平切線（）Rolle定理的條件是充分而非必要，即當(dāng)定理的條件不滿足時(shí)，結(jié)論也可能成立如在內(nèi)可導(dǎo)，盡管在上

2、不連續(xù)，但還是有【例】設(shè)，證明有三個(gè)實(shí)根提示：且在三個(gè)區(qū)間和上都滿足Rolle定理的條件在內(nèi)分別至少存在一點(diǎn)使即至少有三個(gè)實(shí)根又是三次方程，最多只有三個(gè)實(shí)根綜上可得：有三個(gè)實(shí)根【例】設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且，證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使分析：要證明只需證明只需證明只需證明只需證明即可提示：令，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，在上連續(xù)且在內(nèi)可導(dǎo)由可得即在上滿足Rolle定理的條件，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使，由得【例】設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使提示：令，可驗(yàn)證在上滿足Rolle定理的條件，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使即思考題：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使提示：令三、拉格朗日（Lagran

3、ge）中值定理如果函數(shù)滿足：（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使注：（）Lagrange定理的幾何意義是：如果連續(xù)曲線：每一點(diǎn)都有切線，則A，B之間至少存在一點(diǎn)P，曲線在點(diǎn)P的切線平行A，B兩點(diǎn)的連線（）Lagrange定理的條件是充分而非必要即當(dāng)定理的條件不滿足時(shí)，結(jié)論也可能成立如在內(nèi)可導(dǎo)，盡管在上不連續(xù)，但在內(nèi)還是存在滿足定理的結(jié)論推論1：如果在內(nèi)，則在內(nèi)為一常數(shù)推論：若在內(nèi)則（常數(shù)）【例】若，證明提示：設(shè)它在上滿足Lagrange定理的條件，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使由于，由可得【例】若證明提示：令它在或上滿足Lagrange定理的條件當(dāng)時(shí)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使當(dāng)時(shí)，則在內(nèi)

4、至少存在一點(diǎn)，使 綜上可得：當(dāng)，有.四、柯西（Cauchy）中值定理如果函數(shù)和滿足:（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)且則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使注：（）在柯西（Cauchy）中值定理中令就得到拉格朗日（Lagrange）中值定理（）柯西（Cauchy）中值定理的條件是充分而非必要，即當(dāng)定理的條件不滿足時(shí)，結(jié)論也可能成立【例】設(shè)證明：提示：在處可導(dǎo)，在處連續(xù)，由Lagrange定理得：在0與之間至少存在一點(diǎn)使得由得單調(diào)增加當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上可得：【例】已知在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且證明：在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)提示：?jiǎn)握{(diào)增加，又從而在內(nèi)最多有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，由已知得在上滿足Lagrange定理的條件，在0與之間

5、至少存在一點(diǎn)使得由此，又由零點(diǎn)定理可知，在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)綜上可得：在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)【例】假設(shè)在上存在二階導(dǎo)數(shù)，并且證明：（）在內(nèi)（）在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得提示：（）假設(shè)使則由Rolle定理，使再由Rolle定理，使與在內(nèi)矛盾所以，在內(nèi)（）要證只需證明在內(nèi)存在零點(diǎn)令則在上滿足Rolle定理的條件，使得作業(yè)：習(xí)題第二節(jié)洛必達(dá)（）法則若在的某一個(gè)變化過程中，函數(shù)與同時(shí)趨于0或同時(shí)趨于，這時(shí)極限可能存在，也可能不存在，通常把這種極限稱為型或型的不定式如:一、型不定式定理：設(shè)函數(shù)與滿足：（）在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)且（）（）存在（或）則也存在（或）且【例】計(jì)算：提示：原式提示：原式注：(1)此法則對(duì)于

6、時(shí)的型亦適用如：(2)并不是任何的型不定式都能用洛必達(dá)（）法則.當(dāng)洛必達(dá)法則條件不滿足時(shí)，就不能使用如:而用洛必達(dá)法則，那么不存在.(3)由于數(shù)列沒有導(dǎo)數(shù),所以,數(shù)列的極限不能用洛必達(dá)（）法則.如:這種求法是錯(cuò)誤的.我們可以使用洛必達(dá)（）法則求相應(yīng)的函數(shù)的極限可以推之?dāng)?shù)列極限(4)不能用法則證明極限.因?yàn)樵谶@個(gè)過程中運(yùn)用了導(dǎo)數(shù)公式,而的推導(dǎo)又用到了,從而在邏輯上產(chǎn)生了惡性循環(huán). 所以,不能用法則證明極限.(4)只要滿足法則的條件, 在同一個(gè)題中可以多次使用法則.二、型不定式定理：設(shè)函數(shù)與滿足：（）在內(nèi)可導(dǎo)且（）（）存在（或）則也存在（或）且注:(1)此法則對(duì)于時(shí)的型亦適用(2)并不是任何的型不

7、定式都能用洛必達(dá)（）法則.當(dāng)洛必達(dá)法則條件不滿足時(shí)，就不能使用(3)只要滿足法則的條件, 在同一個(gè)題中可以多次使用法則.例如:求極限如,如果用法則來求,那么不存在,這就錯(cuò)了.【例】計(jì)算：提示：（）原式 （2）原式三、其他型不定式：1型：化為型或求解.【例】2型:通分化為型或求解.【例】3型:屬于冪指函數(shù),通過取對(duì)數(shù),化為型或求解.【例】由前面的例題可得原式4型: 屬于冪指函數(shù),通過取對(duì)數(shù),化為型或求解.【例】5型: 屬于冪指函數(shù),通過取對(duì)數(shù),化為型或求解.【例】注：洛必達(dá)法則與其他方法結(jié)合使用，可以減少運(yùn)算量.作業(yè)：習(xí)題第題的偶數(shù)題；第三節(jié) 泰勒（）公式一、定理若函數(shù)在含有點(diǎn)的某開區(qū)間內(nèi)有直到

8、階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)在內(nèi)時(shí)，有其中（在與之間）稱為拉格朗日余項(xiàng)稱為皮亞諾余項(xiàng)注：（1）在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)時(shí)，可以用表示 （2）當(dāng)時(shí)，公式變?yōu)槔窭嗜罩兄刀ɡ怼纠繉⒄归_為的多項(xiàng)式提示：取可求出代入公式可得【例】將展開為的多項(xiàng)式，并利用展開式的前五項(xiàng)計(jì)算的值提示：其中（在與之間）從而其中取代入得誤差二、麥克勞林（Maclaurin）公式在定理中令得麥克勞林（Maclaurin）公式：其中 （在與之間）或 【例】寫出的麥克勞林展開式提示：【例】寫出的麥克勞林展開式提示：作業(yè)：習(xí)題第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一、函數(shù)單調(diào)性的判定定理：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，若有（或），則在內(nèi)單調(diào)增加（或單調(diào)減少）

9、注：（）導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是增減區(qū)間的分界點(diǎn)如在處的導(dǎo)數(shù)不存在，但的左方函數(shù)單調(diào)減少，右方函數(shù)單調(diào)增加（）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：第一步：求定義域；第二步：求的根（駐點(diǎn)）和不存在的點(diǎn)；第三步：用第二步中求出的點(diǎn)將劃分為幾個(gè)小區(qū)間；第四步：判定在每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)；第五步：確定單調(diào)區(qū)間【例】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（1）提示：（）函數(shù)的定義域?yàn)橛傻民v點(diǎn)這兩個(gè)駐點(diǎn)將定義域分成三個(gè)區(qū)間當(dāng)時(shí)單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)單調(diào)減少；當(dāng)時(shí)單調(diào)增加提示：函數(shù)的定義域?yàn)橛僧?dāng)和時(shí)函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)和時(shí)函數(shù)單調(diào)減少【例】證明：當(dāng)時(shí)，證明：令（）所以在內(nèi)單調(diào)增加，從而即：【例】討論方程有幾個(gè)實(shí)根？提示：令則則方程根的個(gè)數(shù)為的圖像與軸交

10、點(diǎn)的個(gè)數(shù)在單調(diào)增加，在單調(diào)減少(1)當(dāng)即時(shí)，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)方程有兩個(gè)實(shí)根；（2）當(dāng)即時(shí)，與軸有一個(gè)交點(diǎn)方程有一個(gè)實(shí)根；（3）當(dāng)即時(shí)，與軸無交點(diǎn)方程無實(shí)根二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)1 定義：若曲線弧位于其每一點(diǎn)處的切線的上方，則稱此曲線弧是凹??；若曲線弧位于其每一點(diǎn)處的切線的下方，則稱此曲線弧是凸弧 ，2判定：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么（1）在內(nèi)在上是凹的；（2）在內(nèi)在上是凸的注：【1】連續(xù)曲線上凹凸弧的分界點(diǎn)（即的點(diǎn)）稱為曲線的拐點(diǎn)【2】二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是拐點(diǎn)如：盡管不存在，但的左右兩邊的符號(hào)不同，所以是的拐點(diǎn)求曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的基本步驟：第一步：求函數(shù)的定義域和.第二

11、步:求的實(shí)根和不存在的點(diǎn).第三步:判斷第二步中求出的每一個(gè)點(diǎn)左右兩邊二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào).第四步:確定拐點(diǎn)和凹凸區(qū)間.【例】求下列曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).提示:(1)函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以,曲線的凹區(qū)間為凸區(qū)間為拐點(diǎn)為(2)函數(shù)的定義域?yàn)?.當(dāng)時(shí)當(dāng)或時(shí).所以,曲線的凹區(qū)間為凸區(qū)間為拐點(diǎn)為【例】利用函數(shù)圖形的凹凸性證明不等式證明:令則曲線是凹的,因此,有即證明:令則曲線是凹的,因此,有即(3)證明:令,則曲線是凹的,因此有,即作業(yè)：習(xí)題第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值一、函數(shù)的極值及其求法 1極值的概念設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，（1）若有為極大值，為極大值點(diǎn)（2）若有為極小值，為極小值點(diǎn)注:極

12、值是一個(gè)局部概念,其定義中的究竟有多大無關(guān)緊要.2極值判別法（1）必要條件定理：設(shè)在點(diǎn)有極值且存在，則注: 若則稱為駐點(diǎn)駐點(diǎn)是可能極值點(diǎn)如：是和的駐點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，但不是的極值點(diǎn).（2）充分條件定理(第一充分條件):設(shè)在處連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)（1）若為極大值；（2）若為極小值.注：（1）不存在的點(diǎn)也可能為極值點(diǎn).如：在處不可導(dǎo)，但在處有極小值.（2）用第一充分條件求極值的步驟為：第一步：求出的根和不存在的點(diǎn)；第二步：判斷在這些點(diǎn)的兩側(cè)符號(hào)變化情況，確定極值點(diǎn)；第三步：求出極值.【例】求的極值.提示:當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)不存在.0+不存在-0+增極大值減極小值增從而定理(第二充分條件):設(shè)在處具有二階導(dǎo)數(shù)且則

13、（）當(dāng)時(shí)，為極大值；（）當(dāng)時(shí)，為極小值注:(1)若則可能是極值點(diǎn),也可能不是極值點(diǎn)，用第二充分條件就無法判定，此時(shí)需要用極值的定義或第一充分條件判定 (2)此定理可推廣:設(shè)則:為偶數(shù)時(shí)在處取極值，當(dāng)時(shí)取極小值；當(dāng)時(shí)取極大值.為奇數(shù)時(shí)在處不取極值.【例】求的極值提示: 又由由于而所以在處無極值.二、最大值最小值問題1定義:設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),若存在使得恒有則稱為在上的最小值；恒有則為在上的最大值.注：“最值”是整體概念，是在一個(gè)區(qū)間上來比較的；極值是一個(gè)局部概念，是在一個(gè)點(diǎn)的附近來比較的最值的求法第一步:求出方程的根和不存在的點(diǎn).第二步:算出第一步中各點(diǎn)處的函數(shù)值和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值.第三步:

14、將第二步中所算出的值進(jìn)行比較,其中最大的一個(gè)值為量大值,最小的一個(gè)值為最小值.【例】求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值.提示：由 又所以，在上函數(shù)的最大值為12，最小值為-71.提示:由導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為 又所以，在上函數(shù)的最大值為，最小值為0.【例】設(shè)求:(1)在上的最大值; (2) .提示: (1) 由.在上的最大值注:在實(shí)際問題中,如果在內(nèi)只有一個(gè)根,而從實(shí)際含義分析知在內(nèi)有最大值或最小值存在,那么,就是所要求的最大值或最小值，不必再算了.【例】制造一個(gè)容積為50的圓柱形鍋爐,問鍋爐的高和底半徑取多大值時(shí)用料最省?提示:用料最省就是要求鍋爐的表面積最小鍋爐的表面積由已知容積代入上式得：由因容器

15、有最小面積,和為所求.作業(yè)：習(xí)題第題的偶數(shù)題第六節(jié)函數(shù)圖形的描繪一、漸近線1若則直線為的垂直漸近線.2若則直線為的水平漸近線.3若則直線為的斜漸近線.【例】求的漸近線.提示：（1）由為垂直漸近線； （2）由由 從而為斜漸近線二、函數(shù)作圖舉例第一步：確定函數(shù)的定義域；第二步：討論函數(shù)的對(duì)稱性和周期性；第三步：求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間；第四步：確定漸近線；第五步：求出極值點(diǎn)、拐點(diǎn)及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；第六步：列表、描圖【例】作出函數(shù)的圖形.提示:函數(shù)的定義域?yàn)?+0-0+減凸增凸極大值減凸拐點(diǎn)減凹為水平漸近線.為鉛直漸近線.函數(shù)的圖像如圖3-28（P169）作業(yè)：習(xí)題第七節(jié) 曲率一、曲率的定義：一

16、條曲線的彎曲程度稱為曲線的曲率二、曲線的計(jì)算公式若曲線的方程為則曲率若曲線的方程為則曲率例：求曲線在點(diǎn)處的曲率提示：例：拋物線上哪一點(diǎn)處的曲率最大？提示：當(dāng)即時(shí)，最大，也就是說拋物線在頂點(diǎn)處的曲率最大注：直線的曲率為0；圓的曲率為圓的半徑的倒數(shù)三、曲率圓與曲率半徑設(shè)曲線在點(diǎn)處的曲率為在點(diǎn)處曲線的法線上凹的一側(cè)取一點(diǎn)使以為圓心，為半徑的圓稱為曲線在點(diǎn)處的曲率圓；為曲線在點(diǎn)處的曲率中心；稱為曲線在點(diǎn)處的曲率半徑作業(yè)：習(xí)題習(xí)題課1求極限：提示：令則原式分析：當(dāng)時(shí)，此項(xiàng)應(yīng)單獨(dú)提出來提示：原式分析：首先考察這是一個(gè)冪指函數(shù)，可以考慮使用重要極限或羅必達(dá)法則求出值后，將換成可得提示：其中從而若求提示：又從

17、而3設(shè)試補(bǔ)充定義使得在上連續(xù)分析：要使在上連續(xù)，必須使得提示：所以，只需定義就可以使在上連續(xù)即設(shè)函數(shù)在上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得提示：由于在上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其中在之間當(dāng)時(shí)，兩式相減得由于的連續(xù)性，在上有最大值和最小值m則即再由介值定理，至少存在一點(diǎn)使得5設(shè)時(shí)，與是同階無窮小，求正整數(shù)提示：要使與是同階無窮小，只有（）式等于一個(gè)非零常數(shù)，從而設(shè)時(shí)，是比高階的無窮小，而是比高階的無窮小，求正整數(shù)提示：當(dāng)時(shí)，由又由綜上可得：設(shè)函數(shù)在內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且如果在時(shí)是比高階的無窮小，試確定的值方法一（用羅必達(dá)法則）：由得由得由（）（）得方法二（用導(dǎo)數(shù)的定義）由設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)時(shí)，都有則（）（）都有（）都有（）函數(shù)單調(diào)增加（）函數(shù)單調(diào)增加提示：當(dāng)時(shí)，從而，函數(shù)單調(diào)增加注：?jiǎn)握{(diào)增加函數(shù)在增區(qū)間內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)不一定恒大于可能不存在，如在上是單調(diào)增加的，但在處沒有導(dǎo)數(shù)；也可能等于0，如設(shè)是恒大于的可導(dǎo)函數(shù)，且則當(dāng)時(shí)，有（）（）（）（）（）提示：在內(nèi)單調(diào)遞減應(yīng)選（）若在內(nèi)則在內(nèi)有（）（）（）（）（）方法一：由在內(nèi)可知，為奇函數(shù)且在內(nèi)單調(diào)增加且是凹的由奇函數(shù)的圖像關(guān)于（，）點(diǎn)對(duì)稱可得，在內(nèi)單調(diào)增加且是凸的，從而應(yīng)選（）方法二：對(duì)等式兩邊求導(dǎo)得兩邊再求導(dǎo)得因?yàn)樵趦?nèi)當(dāng)時(shí)，即：在內(nèi)應(yīng)選（）則在