線性方程組的理論和解法

1、 求線性方程組的方法摘要：線性方程組是線性代數(shù)的一個(gè)重要組成部分，也在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的運(yùn)用，在電子工程、軟件開發(fā)、人員管理、交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域都起著重要作用。在一些學(xué)科領(lǐng)域的研究中，線性方程組也有著不可撼動(dòng)的輔助性作用，在實(shí)驗(yàn)和調(diào)查后期利用線性方程組對(duì)大量的數(shù)據(jù)處理是很方便簡(jiǎn)潔的選擇。本文主要圍繞如何解線性方程組來進(jìn)行講解，對(duì)于不同類型的線性方程組的不同方法，并簡(jiǎn)述線性方程組的一些實(shí)際應(yīng)用。關(guān)鍵詞：齊次線性方程組，非齊次線性方程組，克萊姆法則，消元法，矩陣，矩陣的秩，特解，通解。 英文題目 The solution of linear equation

2、Linear equations linear algebra is one of the important component parts, and in real life has extensive production use，and it plays an important role in electronic engineering, software development, personnel management, transportation, etc. In some discipline study, it also has the reigns of linear

3、 equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice. This article, focusing on how to solve linear equations to explain, for different types of linear equations of different methods, and briefly

4、introduces some of the practical application of linear equations. Key words:Homogeneous linear equations, Non homogeneous linear equation,Clems law,Elimination method,Matrix,Rank of matrix,Special solution,General solution.正文：1 引言：在對(duì)實(shí)際問題的思考中，我們免不了要用到我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來解決身邊所遇到的問題，建立線性方程組來求解未知數(shù)是我們最常見的一類問題。而事實(shí)上

5、我們遇到的實(shí)際問題種類不一，形式各不相同。因此，就要要求我們了解和掌握更多更有效的方法來求解線性方程組。2 線性方程組2.1線性方程組的定義2.1.1一般線性方程組 所謂一般線性方程組是指形如 （1.1）的方程組，其中 代表n個(gè)未知量，m是該方程組所包含的方程的個(gè)數(shù)， 稱為方程組的系數(shù)， 稱為常數(shù)項(xiàng)。常數(shù)項(xiàng)一般寫在等式的右邊，一個(gè)方程組完全由常數(shù)項(xiàng)與系數(shù)所確定。 2.1.2齊次線性方程組 所謂齊次線性方程組是指對(duì)于一般線性方程組而言，常數(shù)項(xiàng)全為零。即齊次線性方程組是指形如的方程組。 2.1.3 非齊次線性方程組 所謂非齊次線性方程組是指對(duì)于一般線性方程組而言，常數(shù)項(xiàng)不全為零。 2.2線性方程組

6、的解法 2.2.1解齊次線性方程組的基本解法設(shè)有齊次線性方程組(為階矩陣)，及矩陣為齊次線性方程組的系數(shù)矩陣)。首先對(duì)齊次方程組系數(shù)矩陣的秩進(jìn)行判定；當(dāng)時(shí)，方程組只有零解；當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，此時(shí)方程組有個(gè)獨(dú)立未知量，個(gè)獨(dú)立方程，有個(gè)自由未知量，有個(gè)線性無(wú)關(guān)解向量。其次，根據(jù)解的性質(zhì):i設(shè)是齊次方程組的解，則，仍是齊次方程組的解。ii元齊次線性方程組的全體解所構(gòu)成的集合是一個(gè)向量空間，當(dāng)系數(shù)矩陣的秩時(shí)，解空間的維數(shù)為。iii若是的解，且滿足：(i) 線性無(wú)關(guān)；(ii)任何的解向量均可由線性表出，則向量組稱為的基礎(chǔ)解系。最后得出的通解：，其中是的基礎(chǔ)解系，是任意實(shí)數(shù)。下面介紹基礎(chǔ)解系的求法。

7、對(duì)施以行初等變換(必要時(shí)重新排列未知量的順序)可得，對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組 與原方程組同解，其中為自由未知量，分別取 為 (共個(gè))得的個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。即為基礎(chǔ)解系。2.2.2解非齊次線性方程組的基本方法設(shè)有非齊次線性方程組及系數(shù)矩陣與增廣矩陣，首先進(jìn)行判定當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解；當(dāng)時(shí)，方程組有惟一解；當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解。再求出非齊次方程組的一個(gè)特解，其導(dǎo)出組的一個(gè)解，則仍是非齊次線性方程組的解。根據(jù)以上的性質(zhì)，最后求出非齊次線性方程組的通解，其中是非齊次方程組的一個(gè)特解，是其導(dǎo)出組的通解。2.2.3克萊姆法則 定理 如果含有n個(gè)方程的n元線性方程組 的系數(shù)矩陣 的行列式，那么線性方程組（2）有唯一

8、解：其中是把矩陣中第列換成線性方程組的常數(shù)項(xiàng)所成的矩陣的行列式，即此外，還可以敘述為，如果含有n個(gè)未知數(shù)、n個(gè)方程的線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式，則線性方程組一定有解，且解是唯一的. 例: 解線性方程組 解 由已知可得系數(shù)行列式,因此線性方程組有唯一解.又因故線性方程組的解為.克萊姆法則主要給出了解與系數(shù)的明顯關(guān)系，但只能應(yīng)用于系數(shù)矩陣的行列式不為零的線性方程組，并且它進(jìn)行計(jì)算是不方便的.高斯（Gauss）消去法高斯消去法是高斯首次發(fā)現(xiàn)并使用的。它的基本思想是：在線性代數(shù)方程組中，如果某方程中某未知量的系數(shù)非零，則可以利用它消去所有其它方程中該未知量的系數(shù)，從而使方程組得到簡(jiǎn)化。消去法是對(duì)線性

9、方程組實(shí)行三種變換(統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換)：對(duì)換方程組中某兩個(gè)方程的位置； 以非零常數(shù)乘以方程組中某個(gè)方程； 用數(shù)乘方程組中某個(gè)方程后加到另一個(gè)方程上去。定理3： 線性方程組經(jīng)過初等變換后所得到的新方程組與原方程組同解。為了便于討論，現(xiàn)將消去法的一般步驟規(guī)范如下：設(shè)線性代數(shù)方程組為(1)利用第一方程第一未知量的非零系數(shù)消去其他方程的第一未知量的系數(shù)。.不失一般性,設(shè)。這是因?yàn)槿绻?，可以通過互換兩個(gè)方程或互換兩個(gè)未知量的位置，使變換后的第一方程第一未知量的系數(shù)非零，即使。.若第一方程第一未知量的系數(shù)，則可以通過互換兩個(gè)方程的位置或第一方程兩邊同時(shí)乘以非零常數(shù)，使第一方程第一未知量的系數(shù)化為

10、。.第方程加上第一方程的倍，則消去第方程的第一未知量的系數(shù)，得同解方程組形如：(2)利用第二方程第二未知量的非零系數(shù)消去其它方程的底二未知量的系數(shù)。.不失一般性，設(shè)。這是因?yàn)槿绻?，可以通過互換除第一方程之外的任意兩個(gè)方程的位置，或互換除第一未知量之外的任意兩個(gè)未知量的位置，使變換后的第二方程第二未知量的系數(shù)非零，即使。.若第二方程第二未知量的系數(shù)，則可以通過互換除第一方程之外的任意兩個(gè)方程或第二方程兩邊同時(shí)乘以非零常數(shù)，使第二方程第二未知量的系數(shù)化為。.第方程加上第二方程的倍，則消去第方程的第二未知量的系數(shù)，使得同解方程形如：依此類推，直到這個(gè)過程不能再進(jìn)行為止。消去的結(jié)果是把原線性方程組變換

11、為如下形式同解的方程組，我們稱其為最簡(jiǎn)方程組：(i)第一形式最簡(jiǎn)方程組此時(shí)，方程組有唯一解，即(ii)第二形式最簡(jiǎn)方程組其中，此時(shí)，方程組有無(wú)窮多組解。實(shí)際上，對(duì)于任意常數(shù)，均為方程組的解。(iii)第三形式最簡(jiǎn)方程組其中。或者 其中。此時(shí)，方程組中均包含有矛盾方程，因而方程組無(wú)解。注：在應(yīng)用消去法解線性方程組時(shí)不必拘泥于上述步驟，可以根據(jù)具體情況具體分析的原則靈活運(yùn)用。2.3.1解的判定方法推論1 線性方程組有唯一解的充分必要條件是= 。推論2 線性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件是 。 2.3.2判定方法的應(yīng)用判別下列方程組是否有解？若有解，是有唯一解還是有無(wú)窮多解？(1) (2) (3)解：(1) 用初等行變換將增廣矩陣化成階梯陣，即A B =因?yàn)?4,=3,兩者不等，所以方程組無(wú)解。(2) 用初等行變換將增廣矩陣化成階梯陣，即A B =因?yàn)?2n（= 3），所以方程組有無(wú)窮多解。(3) 用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即A B =因?yàn)? 3 = n，所以方程組有唯一解。3 結(jié)束語(yǔ)解線性方程組的方法很多，這里只是介紹了一些常見的方法，把它們整理到了一起，以便于在解線性方程組時(shí)選擇最合適、最簡(jiǎn)潔的方法，使解決問題更輕松、更準(zhǔn)確