【2020年高考必備】全國版高考數(shù)學(xué)必刷題：第十三單元空間幾何中的平行與垂直

1、第十三單元空間幾何中的平行與垂直點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷1.（2016 年浙江卷）已知互相垂直的平面a，B交于直線I,若直線mn滿足ma門丄B則（）.Am/IB.m/nCn丄IDm丄n【解析】TaQB=l,.l? B. Tn丄B,.n丄I.【答案】C2.（2015 年安徽卷）已知mn是兩條不同直線,a，B是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（）.A. 若a,B垂直于同一平面，則a與B平行B. 若mn平行于同一平面，則m與n平行C. 若a,B不平行，則在a內(nèi)不存在與B平行的直線D. 若mn不平行，則m與n不可能垂直于同一平面【解析】A 項(xiàng)，a，B可能相交，故錯(cuò)誤；B 項(xiàng)，直線mn的位置關(guān)系不確定，

2、可能相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；C 項(xiàng)，若m?a,aQB=n,rr/ n,則 m/B,故錯(cuò)誤；D 項(xiàng)假設(shè)mn垂直于同一平面，則必有 m/n所以原命題正確.故 D 項(xiàng)正確.【答案】D3.（2015 年廣東卷）若直線Ii和I2是異面直線,|i在平面a內(nèi),|2在平面B內(nèi)是平面a與平面B的交線，則下列命題正確的是（）.A.I與I1,I2都不相交B.I與I1,I2都相交C.I至多與丨訂2中的一條相交D.I至少與丨12中的一條相交考點(diǎn)一【解析】由直線I1和I2是異面直線可知|1與I2不平行也不相交，故I1,I2中至少有一條與I相交.【答案】D4.（2017 年全國皿卷）在正方體ABCDAiBGD中,E為棱C

3、D的中點(diǎn) 則（）.AAiE丄DC BAE丄BDCAE丄BG DAE丄AC【解析】連接BQ由題意得BG丄BC.AiB丄平面BBCC且BG?平面BBCC.AiB丄BC, AiBnBC=B,. BC丄平面AECBWE?平面AECB.AiE丄BC.故選C【答案】C5.（2016 年上海卷）如圖，在正方體ABCD-AGD中,E、F分別為BC BB的中點(diǎn)，則下列直線中與直線EF相交的是（）.A直線AAB.直線ABC.直線AiDD.直線BiC【解析】根據(jù)異面直線的概念可以看出直線AA,AB,AD都和直線EF為異面直線，直線BC和直線EF在同一平面內(nèi)，且這兩條直線不平行，.直線BC和直線EF相交,即選項(xiàng) D

4、正確.【答案】D考點(diǎn)二求異面直線所成的角6.(2017 年全國皿卷)a,b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC勺直角邊AC所在直線與a,b都 垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：1當(dāng)直線AB與a成 60角時(shí),AB與b成 30角；2當(dāng)直線AB與a成 60角時(shí),AB與b成 60角；3直線AB與a所成角的最小值為 45 ;4直線AB與a所成角的最大值為 60.【解析】依題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)等腰直角三角形ABC的直角邊長為 1.由題意知點(diǎn)B在平面xOy中形成的軌跡是以C為圓心,1 為半徑的圓.設(shè)直線a的方向向量為a=(0,1,0),直線b的方向向量為b=(1,

5、0,0),以O(shè)x軸為始邊沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的 旋轉(zhuǎn)角為9,9 0,2n)，則B(cos9,sin9,0),=(cos9,sin9，-1),|=_.設(shè)直線AB與a所成的角為a,貝Ucosa =-=|sin9|,.45 a 90正確，錯(cuò)誤.設(shè)直線AB與b所成的角為B,則 cosB=- =|cos9|.當(dāng)直線AB與a的夾角為 60，即卩a=60時(shí)，貝U|sin9|=cosa=cos 60 ,.|cos9|=一. /.cosB=|cos9|=-.0w B 90B=60 ,即直線AB與b的夾角為 60正確，錯(cuò)誤.其中正確的是_ .(填寫所有正確結(jié)論的編號(hào))【答案】7.（2016 年全國I卷）平面a過正方體

6、ABCD-BGD的頂點(diǎn)A,a/平面CBD,a Q平面ABCD=mQ平面ABEA=n則mn所成角的正弦值為（）.A.二B二C.二D. _【解析】設(shè)平面CBDn平面ABCD=m.平面a/ 平面CBD,.mi/m.又平面ABCD平面ABIGD,且平面CBDn平面ABCD=BD,/BiD /m.BiD/m.平面ABBAi/ 平面DCCD,且平面CBDn平面DC=CD同理可證CD/n.因此直線m與n所成的角即直線BD與CD所成的角.在正方體ABCD-/BCD中,CBD是正三角形，故直線BiD與CD所成角為 60 ,其正弦值為一.【答案】A8.（2017 年全國H卷）已知直三棱柱ABC-ABC中,/ABC

7、=20 ,AB=2,BC=CC1，則異面直線AB與BC所成角的余弦值為（）.【解析】A. B.C.D.為將直三棱柱ABC-ABG補(bǔ)形為直四棱柱ABCD-AiGD，如圖所示，連接AD,BD,BD.由題意知 /ABC=20 ,AB：2,BC=CC1,所以AD=BC=_,AB=DAB60.在厶ABD中，由余弦定理知BD=22+12-2X2X1Xcos 60 =3,所以BD=一,所以BD=又直線AB與AD所成的角即為異面直線AB與BG所成的角9,所以 cos 9 =- =.故選 C【答案】C9.（2014 年全國H卷）直三棱柱ABC-ABC中,/BCA=0 ,MN分別是AB,AC的中點(diǎn)，BC=CA=C

8、C BM與AN所成角的余弦值為（）.A._ B._ C. D.【解析】如圖，取BC的中點(diǎn)D連接MNNDAD由于MN -BC BD因此有ND BM則ND與NA所成的角即為異面直線BM與AN所成的角.設(shè)BC2,則BM=ND匚,AN=,AD=一,因此 cos /AND=-.【答案】C考點(diǎn)三求線面角或二面角的正弦值、余弦值等10.(2017 年全國皿卷)如圖，四面體ABC中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形，/ABDYCBDAB=BD.(1)證明：平面ACCL平面ABC.過AC的平面交BD于點(diǎn)E若平面AEUE四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D-AE-C的余弦值.【解析】(1)由題設(shè)可得

9、ABDACBI從而AD=CD.又厶ACD是直角三角形，所以/ADC90.取AC的中點(diǎn)Q連接DBO貝UDQLACDQ=AQ.又因?yàn)锳BC是正三角形所以BQLAC所以/DO助二面角D-AC-B的平面角.在 Rt AQB ,BQ+AQ=AB,又AB=B(所以BQ+D&BQ+AQ=AB=BD,故/DQB90.所以平面ACEL平面ABC.(2)由題設(shè)及(1)知 ,Qy?QDM兩垂直，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，的方向?yàn)閥軸正方 向，的方向?yàn)閦軸正方向|為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Q-xyz,則A(1,0,0),B(0,0),C-1,0,0),D(0,0,1).由題設(shè)知，四面體

10、ABC啲體積為四面體ABCD勺體積的-,從而E到平面ABC勺距離為D到平面ABC勺距離的-,即E為DB的中點(diǎn)，得E故=(-1,0,1),=(-2,0,0),=-二一.設(shè)n =(x,y,z)是平面DAE勺法向量，則即 一可取n= .設(shè)m是平面AEC的法向量則同理可取m=0,-1,_),貝 U cos=所以二面角D-AE-C的余弦值為一.11.(2015 年全國n卷)如圖，長方體ABCD-A1CD中,AB=6,BC=0,AA=8,點(diǎn)EF分別在AB,DC上,AE=EF=4.過 點(diǎn)E,F的平面a與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由);(2)求直線AF與

11、平面a所成角的正弦值【解析】(1)交線圍成的正方形EHGI如圖所示.作EMIL AB垂足為MUAM=1E=4,EM=AA8.1 1.公理 1 1：如果一條直線上的在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)因?yàn)樗倪呅蜤HGf為正方形所以EH=EF=BC0.于是MH=-=6 所以AH=O.以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則AJ0,0,0)H10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).設(shè)n =(x,y,z)是平面EHGF勺法向量，則即_所以可取n =(0,4,3).又=(-10,4,8),故|cosv n,

12、|=-=一.所以直線AF與平面EHG所成角的正弦值為一.高頻考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷；證明平行關(guān)系和垂直關(guān)系；求異面直線所成的角、線面角和二面角.命題特點(diǎn)：點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷和異面直線所成的角一般是一個(gè)選擇題和一個(gè)解答題，其中解答題的第一問是平行、垂直關(guān)系的證明，第二問是線面角、二面角的求解，從考查分值看，在 17 分左右,題目注重 思維能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬中檔題. 13.1空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系平面的基本性質(zhì)X/2.2.公理 2:2:的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面3.3._ 公理 3:3:如果兩個(gè)不重合的平面有公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.空間中兩直線的

13、位置關(guān)系1.1. 空間中兩條直線的位置關(guān)系共面直線異面直線 不同在_ 一個(gè)平面內(nèi)2.2. 異面直線所成的角（1 1）定義: :設(shè)a, ,b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)0作直線a/a, ,b/b, ,把a(bǔ)與b所成的銳角（或直角）叫作異面直線a與b所成的角（或夾角）.（2 2）范圍:_.3.3. 公理 4:4:平行于_ 的兩條直線互相平行4.4.等角定理: :空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角 _.三空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系1.1._ 直線與平面的位置關(guān)系有、三種情況.2.2._ 平面與平面的位置關(guān)系有 、兩種情況.X/?左學(xué)右考1下面的說法是否正確？請(qǐng)說明理由.兩個(gè)

14、平面a ,B有一個(gè)公共點(diǎn)A,就說a，B相交于點(diǎn)A記作aA B=A.2四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有（）.A 4 個(gè)B 3 個(gè)C 2 個(gè)D. 1 個(gè)3已知直線a和平面a,B,anp=1,a?a,a?B，且a在a,p內(nèi)的射影分別為直線b和c,則直線b和c的位 置關(guān)系是（）.A相交或平行B 相交或異面C 平行或異面D 相交、平行或異面4在正方體ABCD-A1CD中,MN分別為棱ABi,BB的中點(diǎn)，則異面直線AM與CN所成角的余弦值為 _.5下面的說法是否正確？請(qǐng)說明理由.已知平面a和B，直線a和b, a/B ,m/n,若m/ a，則n/B.6 a是一個(gè)平面，mn是兩條直線,A是一個(gè)

15、點(diǎn) 若m?a,n?a，且AmAa，則mn的位置關(guān)系不可能是（）.A.平行B.相交C 異面D 垂直知識(shí)清單一、1.兩點(diǎn)2.過不在一條直線上3. 一個(gè)二、1.平行相交任何2.-3.同一條直線4.相等或互補(bǔ)三、1.相交平行在平面內(nèi) 2.平行相交基礎(chǔ)訓(xùn)練1. 【解析】錯(cuò)誤.由公理 3 可知兩個(gè)平面相交于一條公共直線.2.【解析】如空間四邊形每兩條相交線都確定一個(gè)平面，故最多可確定 4 個(gè)平面.【答案】A3.【解析】依題意可得b和C的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面.【答案】D4. 解析】利用平移法，結(jié)合余弦定理即可得出.【答案】-5. 解析】錯(cuò)誤.n可以平行于3，也可以在平面B內(nèi).6. 解析】/a是一個(gè)

16、平面，mn是兩條直線,A是一個(gè)點(diǎn)，m?a,n?a,.n在平面a上,m與平面a相交./A mAa,.A是m和平面a相交的點(diǎn).m和n異面或相交，一定不平行.故選 A.答案】A篩搭搭能陽品於器搭陽陽鍵晅1刪題型一空間兩條直線的位置關(guān)系例 1】a,b,c是空間中互不重合的三條直線，下面給出五個(gè)命題1若a/b,b/c,則a/c;2若a丄b,b丄c,則a/c;3若a與b相交,b與c相交，則a與c相交；4若a?平面a,b?平面3，則a,b一定是異面直線；若a,b與c成等角，則a/b.上述命題中正確的 _.（只填序號(hào)）【解析】由公理 4 知正確當(dāng)a丄b,b丄c時(shí),a與c可以相交、平行，也可以異面，故不正確;當(dāng)

17、a與b相交,b與c相交時(shí),a與c可以相交、平行，也可以異面，故不正確;a?a,b?p，并不能說明a與b“不同在 任何一個(gè)平面內(nèi)”，故不正確;當(dāng)a,b與c成等角時(shí),a與b可以相交、平行，也可以異面，故不正確.故答案 為.【答案】要判斷線線、線面、面面的位置關(guān)系，應(yīng)熟練掌握空間線面關(guān)系及面面關(guān)系的定義、幾何特征及判斷方法,特別注意要考慮全面.【變式訓(xùn)練 1】若空間中四條兩兩不同的直線|1,丨2,|3,|4滿足|1丄|2,|2丄|3,|3丄丨4,則下列結(jié)論一定正確的 是（）A|i丄丨4B.|1/|4CI1與|4既不垂直也不平行D.|1與|4的位置關(guān)系不確定【解析】11丄|2,|2丄丨3,二11與|3

18、的位置關(guān)系不確定，又14丄|3,二11與|4的位置關(guān)系不確定.故 A、B、C 錯(cuò)誤,D 正確.【答案】D題型二異面直線所成的角【例2】已知長方體ABCD-AQD中,AA=AB=：AD=,則異面直線BC和GD所成角的余弦值為（）.A. B. G D 【解析】如圖，連接BAAC則BACD：/ABC為異面直線BC和GD所成的角在ABC中,AB=,BC=2,AC=2,.cos / ABC二異面直線BiC和CD所成角的余弦值為一.故選 A.【答案】A求異面直線所成角的一般方法：(1)移:通過中位線或平行四邊形平移.(2)證:證明所作的角是異面直線所 成的角.(3)求:解三角形，注意角的范圍.【變式訓(xùn)練

19、2】如圖，正四面體ABC中,E、F分別是棱BC和AD的中點(diǎn)，則直線AE和CF所成角的余弦值為().【解析】連接ED取ED的中點(diǎn)G連接GFGC./ FGDAE的中位線, FG/ AE.直線AE和CF所成的角即為GF和FC所成的角.設(shè)BC=,則AE=DE=CF=- FG=AE,GC=在厶GFC中 ,cos /GFC=即直線AE和CF所成角的余弦值為-.【答案】B構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造符合題意的直觀模型，然后將問題利用模型直觀地作岀判斷，這樣減少了抽象性，避免了因考慮不全面而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.對(duì)于線面、面面位置關(guān)系（平行、垂直）的判定，可構(gòu)造長方體 或正方體化抽象為直觀去判斷.【突破訓(xùn)練】已知mn是

20、兩條不同的直線，a為兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：1若 mla，np，mLn,則a丄B;2若m/a,n/ B，mLn,則a/B;3若ml a,n/ B,mLn,則a/B；4若ml a,n/B,a/B，則mln.其中正確的命題是_.（填寫所有正確命題的序號(hào)）【解析】對(duì)于，由題意可以得到平面a、B互相垂直，如圖（1）所示，故正確;對(duì)于，平面a、B可能 垂直，如圖所示，故不正確;對(duì)于，平面a、B可能垂直，如圖所示，故不正確對(duì)于，由題意可以得 到直線m n互相垂直，如圖所示，故正確.方法 構(gòu)造模型判斷空間中的線面位置關(guān)系長方體的妙用【答案】1.（2017 福建四校聯(lián)考）設(shè)A BC、D是空間四個(gè)不同的

21、點(diǎn)，下列命題中，不正確的是（）.A若AC與BD共面，則AD與BC共面B.若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線C 若AB=A(DB=DCU AD1 BCD 若AB=A(DB=DCU AD=BC【解析】A 顯然正確;B 正確,因?yàn)槿鬉D與BC共面,則必有AC與BD共面，由原命題與其逆否命題同真同假 可判斷；C正確，用平面幾何與立體幾何的知識(shí)都可證明;D 不正確，如圖所示.故選D.【答案】D2. （2017 太原二模）已知平面a/B，且a與B的距離為d（d0）.若m?a，則在B內(nèi)與直線m平行的直線共 有（）.A 0 條B. 1 條C.2 條D.無數(shù)條【解析】因?yàn)槠矫鎍/B，且a與B的距離為

22、d（d0），n?a，所以在B內(nèi)與直線m平行的直線是過直 線m與平面B相交的平面得到的交線，而距離m為 2d的直線有兩條，故在B內(nèi)與直線m的距離為 2d的直線 共有 2 條.故選 C【答案】C3.（2017 無極縣校級(jí)期中）如果直線a/平面a，那么直線a與平面a內(nèi)的（）.mEI)A. 條直線不相交B.兩條直線不相交C.無數(shù)條直線不相交D.任意一條直線不相交【解析】直線a/平面a,直線a與平面a沒有公共點(diǎn)，從而直線a與平面a內(nèi)任意一條直線都沒 有公共點(diǎn)，即不相交，故選D.【答案】D4.（2017 年江西八校聯(lián)考）已知mn為異面直線，訊平面a,n丄平面3.直線I滿足I丄ml丄n，l?a，i?p，則（

23、 ）.A.a B且 I/aB.a丄B且 I 丄BCa與B相交,且交線垂直于IDa與B相交,且交線平行于I【解析】由 ml 平面a，直線I滿足I丄m且I?a所以I/a又n丄平面B,1丄n,l?B，所以I/B.由直 線mn為異面直線，且ml平面a,n丄平面B，則a與B相交，否則，若a/B，則推出 m/n,與mn異面矛盾.故a與B相交,且交線平行于I.故選 D【答案】D5.（2017 天津?qū)W業(yè)考試）如圖,長方體ABCD-A1GD中,AA=2AB=2BC2則異面直線AB與AD所成角的余弦值為 ( ).A B.-C.D -【解析】連接BC,AC,則AD/ BC,./ABC為異面直線AB與AD所成的角或其

24、補(bǔ)角.在長方體ABCD-AiCD中，丁AA=2AB=2BC2.AIB=B&一,AC=一 在厶ABG中,由余弦定理得 cos /AB _=.故選D.【答案】D6.(2017 西寧模擬)如圖,四棱錐P-ABC啲底面是一個(gè)正方形，PAL平面ABCPA=AB=E是棱PA的中點(diǎn)，則異面 直線BE與AC所成角的余弦值是().A.一B一C二D二【解析】以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(2,0,0),日0,0,1),A(0,0,0),C(2,2,0),=(-2,0,1),=(2,2,0),設(shè)異面直線BE與AC所成的角為0,_則cos0=- = _ _=

25、.故選B【答案】B7.(2017 武邑縣校級(jí)模擬)正四面體ABC曲,M是棱AD的中點(diǎn)O是點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影，則異面直線BM與AO所成角的余弦值為().A- B - C.- D.-【解析】取BC的中點(diǎn)EDC的中點(diǎn)F,連接DE BF,則由題意得DEH BF=(取OD勺中點(diǎn)N,連接MN則MMAO：/BMN是異面直線BM與AC所成的角(或所成角的補(bǔ)角).設(shè)正四面體ABC的棱長為 2,由BM=DE = ,OD=DE,.AO=-= -,二MNAO=由AOL平面BCCMMAO得MNL平面BCD,cos /BMNdj=_,異面直線BM與AC所成角的余弦值為一.故選 B【答案】B8. （2017 東勝區(qū)校

26、級(jí)模擬）設(shè)有兩條直線mn和三個(gè)平面a,3，丫，給出下面四個(gè)命題:aQ 3=mn/n?n/ a,n/ 3:“丄3,ml3,n?a?nV/aa/3,n?a?m/3a丄3,仏丄丫 ?3Y.其中命題正確的是.【解析】aQ3=mn/m不能得出n/la,n/3，因?yàn)閚可能在a或3內(nèi)，故錯(cuò)誤;a丄3,mL3,n?a, 根據(jù)線面平行的判定定理可得m/a，故正確;a/3,n?a，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得m/3,故正確;a丄3,a丄Y,則Y與3可能平行也可能相交，故錯(cuò)誤.【答案】9. （2017 河南二模）如圖,GH,MN分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示GhMN是異面直線的圖形的序號(hào)為_.【解析】異面

27、直線的判定定理：經(jīng)過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直 線.根據(jù)異面直線的判定定理可知：在圖中，直線GH MN是異面直線.在圖中，由G M均為棱的中點(diǎn)，可知GH/ MN.在圖中，TG、M均為棱的中點(diǎn)，四邊形GMN為梯形，則GH MN相交.【答案】10.（2017 煙臺(tái)一模）若a,3是兩個(gè)不同的平面，mn是兩條不同的直線，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）.A.如果m n,a/3，那么m與a所成的角和n與3所成的角相等B.如果 mln,mLa,n/3，那么a丄3C 如果a/3,n?a，那么 m/3D.如果m山a,n/a，那么 mln【解析】如果m/ n,a/B，那么mn與a所成的角和

28、mn與B所成的角均相等，故 A 正確;如果mln,ml a,n/ B，不能得出a IB，故 B 錯(cuò)誤;如果a/ B,m?a，那么m與B無交點(diǎn)則mB，故 C 正確；如果n/a，那么存在直線I?a，使n/1.由 mLa,可得mll，那么mln,故 D 正確.故選 B.【答案】B11. （2017 南昌模擬）設(shè)四面體的六條棱的長分別為 1,1,1,1, 一和a,且長為a的棱與長為 一的棱異面 則a的取值范圍是（）.A.（0,一）B.（0, -） C （1, -） D.（1,一）【解析】設(shè)四面體的底面是BCDBC=ED=CD頂點(diǎn)為AAD=.在厶BCD中，由兩邊之和大于第三邊可得 0a2.取BC中點(diǎn)E：

29、E是中點(diǎn)，Rt AC降 Rt DCE在厶AED中 ,AE=ED= -.兩邊之和大于第三邊，._2-，解得 ovav -由得0a.故選A【答案】A12.（2017 湖北模擬）已知在四面體ABC叩,E,F分別是ACBD的中點(diǎn)，若AB=2,CD=,EFlAB則EF與CD所成的角的大小為（）.A 30B.45 C 60D. 90【解析】設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接GFGE則GFGE分別為ABM ACD勺中位線.由此可得，GF/ AB且GF=AB=,GECD且GE=CD=, / GEF或其補(bǔ)角即為EF與CC所成的角又EHABGF/ AB 二 EHGF.Rt EFG中 ,GF=,GE=,/GEF30 . /.

30、EF與CC所成的角的大小為 30 ,故選 A.【答案】A13.（2017 惠州期末）如圖，下列四個(gè)正方體中,A B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得 出AB/平面MNP勺圖形的序號(hào)是（）.AB.CD.【解析】對(duì)于,由平面ADBC平面MNPI出直線AB/平面MNP對(duì)于，直線AB和平面MN不平行；對(duì)于，過點(diǎn)M易找到與AB平行的直線，得出AB與平面MNP目交；對(duì)于，直線AB與平面MN內(nèi)的一條直線NP平行,且直線AE?平面MNP：直線AB/平面MNP.綜上，能得出直線AB/平面MNP勺圖形的序號(hào)是.【答案】D14.（2017 海南模擬）在正方體ABCD-AiCD中,E,F分別為棱

31、AA,CC的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線AD,EFCD都相交的直線有_ 條.【解析】在EF上任意取一點(diǎn)M如圖所示.直線AD與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與CD有且僅有 1 個(gè)交點(diǎn)N當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N而直線MN與這三條異面直線都有交點(diǎn).故在空間中與三條直線AD,EFCD都相交的直線有無數(shù)條【答案】無數(shù)15.(2017 延邊州模擬)如圖,在三棱柱ABC-ABC中,ABC為正三角形，側(cè)棱垂直底面，AB=4,AA=6 若E,F分別是 棱BB,CC上的點(diǎn)，且BE=EECF=CC求異面直線AE與AF所成角的余弦值.【解析】以C為原點(diǎn)，CA為x軸,在平面ABC中，過點(diǎn)C且垂

32、直AC的直線為y軸,CC為z軸,建立空間直角 坐標(biāo)系，如圖所示.在三棱柱ABC-ABG中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，AB=4,AA=6,EF分別是棱BB,CC上的點(diǎn)，且BE=EECF=CC,Ai(4,0,6),日 2,2 ,3),F(0,0,4),A( 4,0,0),=(-2,2_,-3),=(-4,0,4),設(shè)異面直線A1E與AF所成的角為9,則 cos9=- =一.異面直線AE與AF所成角的余弦值為.13 2直線、平面平行的判定與性質(zhì)直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言劌罡平面外平行，則該直線平行于此平面a?a,b?a,a/b ? a/aft:質(zhì)罡一條直線和一個(gè)平

33、面 平行，則過這條直線的 任一個(gè)平面與此平面 的 與該直線 平行l(wèi)/ a,l ?B,aAp=b ? l/b平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條_ 與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平 行Z7匚a/B, b/B,aAb=P,a?a,b?a?a/B性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行,則其 中一個(gè)平面內(nèi)的直 線于另一個(gè)平面a/B,a?a? a/B如果兩個(gè)平行平面 同時(shí)和第三個(gè)平面 相交，那么它們的_ 平行a/B，/r?左學(xué)右考1判斷下列結(jié)論是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“V”，錯(cuò)誤的畫“X”.（1）若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，則這條直線和這個(gè)平面平行.（）（2）如果一個(gè)平

34、面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.（）（3）如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.（）2若兩條直線都與一個(gè)平面平行，則這兩條直線的位置關(guān)系是（）.A平行B. 相交C 異面D. 以上均有可能3設(shè)a，B是兩個(gè)不同的平面，口是直線且m?a.“nV/ B”是“a/B”的（）.A充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件知識(shí)清單一、 一條直線與此平面內(nèi)的一條直線交線二、 相交直線平行交線 基礎(chǔ)訓(xùn)練1. 解析】(1)錯(cuò)，也可能在平面內(nèi)；(2)錯(cuò)，應(yīng)該是兩條相交直線，否則未必成立；(3)正確.【答案】(1)X(2)X(3)V2.解析】

35、平行、相交、異面都有可能.故選 D.答案】D3.解析】滿足面面平行的性質(zhì)定理但不滿足面面平行的判定定理，故是必要不充分條件.故選 B.答案】B圧關(guān)鍵能力題型一直線與平面平行的判定例 1】如圖所示，斜三棱柱ABC-ABG中，點(diǎn)DD分別為ACAG的中點(diǎn).(1)證明：AD/平面BDC證明:BD/平面ABD.解析】(1)T AC AQ,DD分別是ASG的中點(diǎn)， AD CD,：四邊形ADCD是平行四邊形， AD/ DC,又AD?平面BDCDC?平面BDC AD/平面BDC連接DD：四邊形ACCi是平行四邊形，DD分別是ACAG的中點(diǎn)，二 DD AA又AA BB,. DD BB,四邊形DBED是平行四邊形

36、，.BiD/BD又BD?平面ABDBD?平面ABD,： BD/平面ABD.證明線面平行應(yīng)在平面內(nèi)找一條直線與平面外的那條直線平行 平行四邊形.【變式訓(xùn)練 1】如圖，四棱錐P-ABC呼，四邊形ABCD矩形,E為PD的中點(diǎn).證明：PB/平面AEC.【解析】連接BD交AC于點(diǎn)O連接EO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形所以O(shè)為BD的中點(diǎn).又E為PD的中點(diǎn)所以EO/ PB.因?yàn)镋CP 平面AECPE?平面AEC所以PB/平面AEC.題型二直線與平面平行的性質(zhì)，而在平面內(nèi)找直線時(shí)常借助中位線【例 2】如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABC外卜的一點(diǎn)，在四棱錐P-ABC中,皿是PC的 中點(diǎn)，在DM

37、k取一點(diǎn)G過點(diǎn)G和AP作平面交平面BDM于GH求證:AP/ GH.【解析】連接AC交BD于O,連接M0因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以0是AC的中點(diǎn)又因?yàn)镸是PC的中點(diǎn)，所以MO PA.又因?yàn)镸0平面BDIA?平面BDM所以PA/平面BDM.又因?yàn)榻?jīng)過PA與點(diǎn)G的平面交平面BDMF GH所以AP/ GH.證明線線平行常需轉(zhuǎn)化為線面平行，再由線面平行的性質(zhì)定理得岀【變式訓(xùn)練 2】如圖，四棱錐P-ABCD勺底面是邊長為 8 的正方形，四條側(cè)棱長均為 2，點(diǎn)GEF,H分別是棱PBABCDPC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH平面ABCIBC/平面GEFH.(1)證明:GH/ EF.若EB2,求四邊形GE

38、FH勺面積.【解析】(I)： B/ 平面GEF!平面GEFH1 平面ABCD=EBC?平面ABCBC EF,/ EF?平面PBCBC?平面PBC. EF平面PBC.平面GEF押平面PBC=GH EF GH.故四邊形GEFH勺面積S=(GH+EF平面EGtHEn GH=H所以BCL平面EGH.又BC?平面BCI所以平面BCD平面EGH.證明面面垂直的核心是證明線面垂直，而證明線面垂直則需要借助證明線線垂直若 AC=BCt證：PAL平面MNC.【解析】(1)因?yàn)镸N分別為ABPA的中點(diǎn) 所以MMPB.又因?yàn)镸N平面MN,(PB?平面MN,(所以PB/平面MNC.(2)因?yàn)镻AL PBM/PB所以P

39、AL MN.因?yàn)锳C=B(AM=B所以CML AB.因?yàn)槠矫鍼ABL平面ABCCIM平面ABC平面PABH平面ABC=A所以CML平面PAB.因?yàn)镻A?平面PAB所以CMLPA.又M2 CM=|所以PAL平面MNC.方法垂直中的探索性問題求條件探索性問題的主要途徑：先猜后證，即先觀察并嘗試給岀猜想再證明；先通過命題成立的必要 條件探索岀命題成立的條件，再證明充分性.【突破訓(xùn)練】如圖所示，平面ABCL平面BCIE 四邊形ABC為矩形，BC=CJE F為CE的中點(diǎn).(1) 證明:AE/平面BDF.(2) 點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P,使得PMLBE?若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以

40、證明 若不存在請(qǐng)說明理由.【解析】 連接AC交BD于點(diǎn)O連接OF如圖.四邊形ABCD是矩形,.O為AC的中點(diǎn),又F為EC的中點(diǎn)，二 0為厶ACE勺中位線, OF/ AE又OF?平面BDFAE?平面BDFAE/平面BDF.當(dāng)P為AE的中點(diǎn)時(shí)，有PML BE證明如下：取BE的中點(diǎn)H連接DPPHCHTP為AE的中點(diǎn)，日為BE的中點(diǎn)， PH/ AB又AB/ CD：PH CDP,HC,D四點(diǎn)共面.平面ABCCL平面BCE平面ABCD平面BCE=BC CD?平面ABCDCDL BCCDL平面BCE又BR平面BCE：CDL BE/BC=C,H為BE的中點(diǎn), CHLBE又CD CH=C. BL平面DPHC又P

41、M?平面DPHC. BLPM即PMLBE.贏曇鼻鼻懇忑.稲練案.1.(2017 明山區(qū)校級(jí)考試)如圖，在三棱柱ABC-ABC中,CG丄底面ABCACL CB點(diǎn)M和N分別是BC和BC的中點(diǎn).求證：(1)MB/平面ACN.(2)ACL MB.【解析】在三棱柱ABC-ABC中,因?yàn)辄c(diǎn)MN分別是BCi,BC勺中點(diǎn)，所以GM/ BNCM=BN所以四邊形MCNB為平行四邊形.所以CN MB.因?yàn)镃N?平面ACNM戰(zhàn)平面AGN,所以MB/平面ACN.(2)因?yàn)镃C丄底面ABC所以AC1CG.因?yàn)锳CL BCB8 CC=C所以ACL平面BCCB.因?yàn)镸平面BCCi所以ACLMB.2.(2017 葫蘆島月考)如

42、圖，在四棱錐P-ABCD中,PAX底面ABCtXABC=0 ,PA=AB=BACLCDEF分別是PCAC的中點(diǎn).證明：(1)BF/平面PCD(2)AEL平面PCD.【解析】(1)TAB=BC是AC的中點(diǎn)，二 BLAC又ACLCD：BF/ CD又BF?平面PCDCD平面PCD：BF/平面PCD.(2)v/ABC=0 ,AB=BCABC是等邊三角形，二 AC=AB又PA=ABPA=/A又E是PC的中點(diǎn), AXPC./ PAL底面ABCDCD?平面ABCDPAL CD又CDL ACPAH AC=ACDL平面PAC又AE?平面PACA AE CD又CD?平面PCPC?平面PCtPCTCD=C AE1平

43、面PCD.3.（2017 七里河區(qū)校級(jí)期中）如圖，在三棱錐V-ABC中,平面VAM平面AB3 VAB為等邊三角形,AC1 BC且AC=BM分別為ABVA的中點(diǎn).（1）求證:VB/平面MOC.求證:平面MOC平面VAB.【解析】（1）因?yàn)镼M分別為ABVA的中點(diǎn)所以O(shè)M VB.又因?yàn)閂B?平面MQ（OM平面MO,（所以VB/平面MQC.因?yàn)锳C=BQ為AB的中點(diǎn)，所以QCL AB.又因?yàn)槠矫鎂ABL平面ABC平面VABH平面ABC=A，且QC?平面ABC所以O(shè)CL平面VAB又QC?平面MQ所以平面MQC平面VAB.4.（2017 南陽模擬）如圖，在三棱柱ABC-ABC中,側(cè)棱垂直底面，/ACB=

44、0 ,AC=BCAA,D是棱AA的中點(diǎn).證明: 平面BDB平面BDC.【解析】由題意知BCL CC,BCL ACCCQAC=C BCL平面ACCA1,又DC?平面ACCA, DC丄BC.由題設(shè)知 /ADC=/ADC45，/CDC=90 ,即DC丄DC又DCTBC=CDC平面BD（又DC?平面BDC平面BDCL平面BDC.Br5.(2015 年江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABC-ABG中，已知AC1 BCBC=G(設(shè)AB的中點(diǎn)為DBCQBC=E.求證:(1)DE/平面AACC(2)BC丄AB.【解析】(1 )由題意知 上為BC的中點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，因此DE AC.因?yàn)镈總平面AAGCAC?平面AAGC所以DE/平面AACC.(2)因?yàn)槿庵鵄BC-ABC是直三棱柱，所以CC