圖像處理與分析-王偉強(qiáng)-作業(yè)題及答案匯總-2016年版

1、【作業(yè)1】1、完成課本習(xí)題3.2(a)(b), 課本中文版處理第二版的113頁(yè)。可以通過(guò)matlab幫助你分析理解。a: s=Tr=11+(mr)Eb:E控制函數(shù)的斜坡，也就是函數(shù)的傾斜程度，E越大，函數(shù)傾斜程度越大，如下圖1，圖2所示：圖1：E=5圖2：E=202、一幅8灰度級(jí)圖像具有如下所示的直方圖，求直方圖均衡后的灰度級(jí)和對(duì)應(yīng)概率，并畫出均衡后的直方圖的示意圖。（計(jì)算中采用向上取整方法，圖中的8個(gè)不同灰度級(jí)對(duì)應(yīng)的歸一化直方圖為0.17 0.25 0.21 0.16 0.07 0.08 0.04 0.02）【解答】直方圖均衡采用公式Sr=Gw=0rPrw-1式中，G為灰度級(jí)數(shù)，取8，pr(

2、w)為灰度級(jí)w的概率，Sr為變換后的灰度，計(jì)算過(guò)程如下表所示：灰度級(jí)r各級(jí)概率Pr(r)累積概率w=0rPrw累積概率×81向上取整sr00.170.170.36110.250.422.36320.210.634.04530.160.795.32640.070.865.88650.080.946.52760.040.986.84770.02177則新灰度級(jí)的概率分別是：Ps(0) = 0Ps(1) = Pr(0) = 0.17Ps(2) = 0Ps(3) = Pr(1) = 0.25Ps(4) = 0Ps(5) = Pr(2) = 0.21Ps(6) = Pr(3) + Pr(4)

3、= 0.23Ps(7) = Pr(5) = Pr(6) = Pr(7) = 0.14編寫matlab程序并繪制直方圖：s=0:1:7;p=0 0.17 0 0.25 0 0.21 0.23 0.14;bar(s,p);axis(-1 8 0 0.3);可以看出，此圖較題目原圖更加“均勻”?！咀鳂I(yè)2】1、完成課本數(shù)字圖像處理第二版114頁(yè)，習(xí)題3.10。【解答】由圖可知prr=-2r+2,0r1pzz=2z,0z1將兩圖做直方圖均衡變換s1=T1r=0rprwdw=0r-2w+2dw=-r2+2rs2=T2z=0zpzwdw=0z2wdw=z2令上面兩式相等，則z2=-r2+2r因?yàn)榛叶燃?jí)非負(fù)，

4、所以z=-r2+2r2、請(qǐng)計(jì)算如下兩個(gè)向量與矩陣的卷積計(jì)算結(jié)果。（1） 1 2 3 4 5 4 3 2 1 * 2 0 -2 （2）-101-202-101*1320410323041052321431042【解答】（1）設(shè)向量a= 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ，下標(biāo)從-4到4，即a(-4)=1，a(-3)=2a(4)=1；設(shè)向量b= 2 0 -2 ，下標(biāo)從-1到1，即b(-1)=2，b(0)=0，b(1)=-2；設(shè)向量c=a*b，下標(biāo)從-5到5。根據(jù)卷積公式可知cx=t=-atbx-t=t=-44atbx-t其中，-5x5，則c(-5)=a(-4)b(-1)=1*2=2c(-4)=a

5、(-4)b(0)+a(-3)b(-1)=1*0+2*2=4c(-3)=a(-4)b(1)+a(-3)b(0)+a(-2)b(-1)=1*(-2)+2*0+3*2=4c(-2)=a(-3)b(1)+a(-2)b(0)+a(-1)b(-1)=2*(-2)+3*0+4*2=4c(-1)=a(-2)b(1)+a(-1)b(0)+a(0)b(-1)=3*(-2)+4*0+5*2=4c(0)=a(-1)b(1)+a(0)b(0)+a(1)b(-1)=4*(-2)+5*0+4*2=0c(1)=a(0)b(1)+a(1)b(0)+a(2)b(-1)=5*(-2)+4*0+3*2=-4c(2)=a(1)b(1)

6、+a(2)b(0)+a(3)b(-1)=4*(-2)+3*0+2*2=-4c(3)=a(2)b(1)+a(3)b(0)+a(4)b(-1)=3*(-2)+2*0+1*2=-4c(4)=a(3)b(1)+a(4)b(0)=2*(-2)+1*0=-4c(5)=a(4)b(1)=1*(-2)=-2所以卷積結(jié)果為： 2 4 444 0 -4 -4 -4 -4 -2 （2）設(shè)矩陣b=-101-202-101下標(biāo)從(-1,-1)到(1,1)，即b(-1,-1)=-1，b(-1,0)=0b(1,1)=1；設(shè)矩陣a=1320410323041052321431042下標(biāo)從(-2,-2)到(2,2)，即a(-2

7、,-2)=3，a(-2,-1)=2a(2,2)=4；設(shè)矩陣c=a*b=b*a，下標(biāo)從(-3,-3)到(3,3)。根據(jù)卷積公式可知cx,y=s=-t=-as,tbx-s,y-t=s=-22t=-22as,tbx-s,y-t其中，-3x3，-3y3，則c(-3,-3)=a(-2,-2)b(-1,-1)=3*(-1)=-3c(0,0)=a(-1,-1)b(1,1)+a(-1,0)b(1,0)+a(-1,1)b(1,-1)+a(0,-1)b(0,1)+a(0,0)b(0,0)+a(0,1)b(0,-1)+a(1,-1)b(-1,1)+a(1,0)b(-1,0)+a(1,1)b(-1,-1)=3*1+4

8、*2+0*1+2*0+1*0+3*0+1*(-1)+0*(-2)+2*(-1)=8c(3,3)=a(2,2)b(1,1)=4*1=4所以卷積結(jié)果為： -1 -3 -1 3 -2 0 4 -3 -6 -4 4 -4 2 11 -3 -7 -6 3 -6 4 15 -3 -11 -4 8 -10 3 17 -7 -11 2 5 -10 6 15 -8 -5 6 -4 -6 9 8 -3 -1 3 -3 -2 4 2【作業(yè)3】1、高斯型低通濾波器在頻域中的傳遞函數(shù)是Hu,v=Ae-u2+v222根據(jù)二維傅里葉性質(zhì)，證明空間域的相應(yīng)濾波器形式為hx,y=A22e-222x2+y2這些閉合形式只適用于連

9、續(xù)變量情況。在證明中假設(shè)已經(jīng)知道如下結(jié)論：函數(shù)e-x2+y2的傅立葉變換為e-u2+v2【解答】IDFTHu,v=-Ae-u2+v222ej2ux+vydudv=-Ae-u222+j2uxe-v222+j2vydudv=-Ae-122u2-j42uxe-122v2-j42vydudv=-Ae-122u2-j42ux-424x2+424x2e-122v2-j42vy-424y2+424y2dudv=-Ae-u-j22x222e-222x2e-v-j22y222e-222y2dudv令r=u-j22x，s=v-j22y，則du=dr，dv=ds，上式寫成：=-Ae-r222e-222x2e-s22

10、2e-222y2drds=Ae-222x2+y2-e-r222dr-e-s222ds=Ae-222x2+y22212-e-r222dr12-e-s222ds因?yàn)楹髢身?xiàng)是高斯分布，在-到積分為1，故上式等于：=A22e-222x2+y2=hx,y命題得證。2、第二版課本習(xí)題4.6（a）【解答】先來(lái)證明結(jié)論-1x+y=ejx+y根據(jù)歐拉公式展開(kāi)等式右邊ejx+y=cosx+y+jsinx+y因?yàn)閤，y均為整數(shù)，故sinx+y=0，當(dāng)x+y為奇數(shù)時(shí)，cosx+y=-1當(dāng)x+y為偶數(shù)時(shí)，cosx+y=1故-1x+y=ejx+y再來(lái)證明題中等式DFTfx,y-1x+y=DFTfx,yejx+y=1MNx

11、=0M-1y=0N-1fx,yejx+ye-j2uxM+vyN=1MNx=0M-1y=0N-1fx,ye-j2-xM2M-yN2Ne-j2uxM+vyN=1MNx=0M-1y=0N-1fx,ye-j2xu-M2M+yv-N2N=Fu-M2,v-N23、觀察如下所示圖像。右邊的圖像這樣得到：(a)用左側(cè)圖像乘以-1x+y；(b)計(jì)算離散傅里葉變換(DFT)；(c)對(duì)變換取復(fù)共軛；(d)計(jì)算離散傅里葉反變換；(e) 結(jié)果的實(shí)部再乘以-1x+y。用數(shù)學(xué)方法解釋為什么會(huì)產(chǎn)生右圖的效果。（忽略中間和右側(cè)的黑白條紋，原題沒(méi)有）【解答】已知IDFTFu,v=1MNu=0M-1v=0N-1Fu,vej2uxM

12、+vyN=fx,y則傅里葉變換的共軛復(fù)數(shù)進(jìn)行傅里葉反變換的結(jié)果如下：IDFTF*u,v=1MNu=0M-1v=0N-1Fu,ve-j2uxM+vyN=1MNu=0M-1v=0N-1Fu,vej2u-xM+v-yN=f-x,-y設(shè)原始圖像為fx,y，經(jīng)過(guò)(a)變換后得到-1x+yfx,y經(jīng)過(guò)(b)變換后得到Fu,v=1MNu=0M-1v=0N-1-1x+yfx,ye-j2uxM+vyN經(jīng)過(guò)(c)變換后得到F*u,v=1MNu=0M-1v=0N-1-1x+yfx,yej2uxM+vyN經(jīng)過(guò)(d)變換后得到IDFTF*u,v=1MNu=0M-1v=0N-11MNu=0M-1v=0N-1-1x+yfx

13、,yej2uxM+vyNej2uxM+vyN其實(shí)部為-1x+yf-x,-y，經(jīng)過(guò)(e)變換后得到-1x+y-1x+yf-x,-y=f-x,-y最終效果是將原圖像上下顛倒，左右顛倒，實(shí)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)180度的效果。【作業(yè)4】1、請(qǐng)用公式列舉并描述出你所知道的有關(guān)傅里葉變換的性質(zhì)。【解答】1、時(shí)移性2、頻移性3、均值4、共軛對(duì)稱性5、對(duì)稱性6、周期性7、線性8、微分特性9、卷積定理10、相關(guān)定理11、相似性12、幾種特殊函數(shù)的傅里葉變換2、中文課本173頁(yè)習(xí)題4.21【解答】沒(méi)有區(qū)別。補(bǔ)0延拓的目的是在DFT相鄰隱藏周期之間建立一個(gè)“緩沖區(qū)”。如果把左邊的圖像無(wú)限復(fù)制多次，以覆蓋整個(gè)平面，那么將形成一個(gè)

14、棋盤，棋盤中的每個(gè)方格都是本圖片和黑色的擴(kuò)展部分。假如將右邊的圖片做同樣的處理，所得結(jié)果也是一樣的。因此，無(wú)論哪種形式的延拓，都能達(dá)到相同的分離圖像的效果。3、（1）假設(shè)我們有一個(gè)0,1上的均勻分布隨機(jī)數(shù)發(fā)生器U(0,1)，請(qǐng)基于它構(gòu)造指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，推導(dǎo)出隨機(jī)數(shù)生成方程。（2）若我們有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器N(0,1)，請(qǐng)推導(dǎo)出對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)生成方程。【解答】（1）設(shè)U(0,1)可生成隨機(jī)數(shù)w，用它來(lái)生成具有指數(shù)CDF的隨機(jī)數(shù)z，其CDF具有下面的形式Fz=1-e-az0,z0,z<0令F(z)=w，當(dāng)z0時(shí)，解方程1-e-az=w得z=-1aln1-w由于w0,

15、1，由上式可知z0，因而不存在z<0的情況。所以隨機(jī)數(shù)生成方程為：z=-1aln1-U0,1（2）設(shè)N(0,1)可生成隨機(jī)數(shù)w，用它來(lái)生成具有對(duì)數(shù)正態(tài)分布CDF的隨機(jī)數(shù)z，其CDF具有下面的形式Fz=0z12be-lnv-a22b2dv令F(z)=w，解方程0z12be-lnv-a22b2dv=w得z=ebw+a所以隨機(jī)數(shù)生成方程為：z=ebN0,1+a當(dāng)b=1，a=0時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)生成方程為：z=eN0,14、對(duì)于公式fx,y=s,tSxygs,tQ+1s,tSxygs,tQ給出的逆諧波濾波回答下列問(wèn)題：（a）解釋為什么當(dāng)Q是正值時(shí)濾波對(duì)去除“胡椒”噪聲有效？（b）解釋為

16、什么當(dāng)Q是負(fù)值時(shí)濾波對(duì)去除“鹽”噪聲有效？【解答】將原公式變形fx,y=s,tSxygs,tQ+1s,tSxygs,tQ=s,tSxygs,tQgs,ts,tSxygs,tQ=s,tSxygs,tQs,tSxygs,tQgs,t上式可看做求(x,y)鄰域內(nèi)所有(s,t)點(diǎn)的加權(quán)平均值，權(quán)重的分母s,tSxygs,tQ是個(gè)常數(shù)，只需考慮分子gs,tQ的大小。（a）當(dāng)Q>0時(shí)，gs,tQ對(duì)gs,t有增強(qiáng)作用，由于“胡椒”噪聲值較小，對(duì)加權(quán)平均結(jié)果的影響較小，所以濾波后噪聲點(diǎn)處(x,y)取值和周圍其他值更接近，有利于消除“胡椒”噪聲。（b）當(dāng)Q<0時(shí)，gs,tQ對(duì)gs,t有削弱作用，由于

17、“鹽”噪聲值較大，取倒數(shù)后較小，對(duì)加權(quán)平均結(jié)果的影響較小，所以濾波后噪聲點(diǎn)處(x,y)取值和周圍其他值更接近，有利于消除“鹽”噪聲?！咀鳂I(yè)5】1、請(qǐng)證明帶通與帶阻的頻域關(guān)系公式，即課本中的關(guān)系公式Hbpu,v=1-Hbru,v【解答】證法一設(shè)D0是帶寬的徑向中心，W是帶寬，D是D(u,v)距濾波器中心的距離。理想帶通濾波器的頻域公式為：Hbpu,v=1,D0-W2DD0+W20,others理想帶阻濾波器的頻域公式為：Hbru,v=0,D0-W2DD0+W21,others由此可知Hbpu,v=1-Hbru,v圖形化表示即為：圖中黑色代表0，白色代表1，左圖是帶阻濾波器，右圖是帶通濾波器。可以

18、發(fā)現(xiàn)兩圖是“互補(bǔ)”的，若將對(duì)應(yīng)點(diǎn)數(shù)值相加，則全為1。證法二一張圖像f (x, y)可拆分為帶阻部分fr (x, y)和帶通部分fp (x, y)，即fx,y=frx,y+fpx,y也可看做由帶阻濾波器和帶通濾波器分別卷積后疊加所得：fx,y=fx,y*hbrx,y+fx,y*hbpx,y等式兩邊取傅里葉變換得Fu,v=Fu,vHbru,v+Fu,vHbpu,vFu,v=Fu,vHbru,v+Hbpu,vHbru,v+Hbpu,v=1Hbpu,v=1-Hbru,v2、復(fù)習(xí)理解課本中最佳陷波濾波器進(jìn)行圖像恢復(fù)的過(guò)程，請(qǐng)推導(dǎo)出w(x,y)最優(yōu)解的計(jì)算過(guò)程，即從公式到的推導(dǎo)過(guò)程?！窘獯稹恳?yàn)?x,y=

19、12a+12b+1s=-aat=-bbgx+s,y+t-wx,yx+s,y+t-gx,y-wx,yx,y2所以對(duì)w(x, y)求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于02x,ywx,y=wx,y12a+12b+1s=-aat=-bbgx+s,y+t-gx,y+wx,yx,y-x+s,y+t2=0令a=x,y-x+s,y+t，b=gx+s,y+t-gx,y，N=2a+12b+1，則上式可簡(jiǎn)寫成2x,ywx,y=wx,y1Ns=-aat=-bbawx,y+b2=1Ns=-aat=-bbawx,y+b2wx,y=0已知awx,y+b2wx,y=2awx,y+ba=0的解為wx,y=-ba所以wx,y=1Ns=-aat=

20、-bbgx+s,y+t-gx,yx+s,y+t-x,y=1Ns=-aat=-bbgx+s,y+t-gx,yx+s,y+t+x,yx+s,y+t-x,yx+s,y+t+x,y令g=gx+s,y+t，=x+s,y+t，則上式等于=1Ns=-aat=-bbg-gx,y+gx,y-gx,yx,y2x+s,y+t-2x,y=gx,yx,y-gx,yx,y+gx,yx,y-gx,yx,y2x,y-2x,y=gx,yx,y-gx,yx,y2x,y-2x,y推導(dǎo)成立。3、考慮在x方向均勻加速導(dǎo)致的圖像模糊問(wèn)題。如果圖像在t = 0靜止，并用均勻加速x0(t) = at2/2加速，對(duì)于時(shí)間T, 找出模糊函數(shù)H(

21、u, v)，可以假設(shè)快門開(kāi)關(guān)時(shí)間忽略不計(jì)。【解答】由定義可知Hu,v=0Te-j2ux0t+vy0tdt將x0t=at22，y0t=0代入得Hu,v=0Te-j2uat22dt=0Te-juat2dt上述積分難以化簡(jiǎn)，故不再推導(dǎo)。4、已知一個(gè)退化系統(tǒng)的退化函數(shù)H(u, v)，以及噪聲的均值與方差，請(qǐng)描述如何利用約束最小二乘方算法計(jì)算出原圖像的估計(jì)?！窘獯稹款l域中原圖像的估計(jì)由下式給出Fu,v=H*u,vHu,v2+Pu,v2Gu,v其中P(u, v)是拉普拉斯算子的傅里葉變換。定義“殘差”向量r=g-Hf，由于Fu,v是的函數(shù)，則f和r都是的函數(shù)。令=rTr=r2，則它是的單調(diào)遞增函數(shù)。再調(diào)整

22、使r2=2±a，a是一個(gè)精確度因子。已知噪聲的均值為mu，方差2，和Hu,v、Pu,v，（1）設(shè)定一個(gè)的初始值，（2）計(jì)算r2，（3）若滿足r2=2±a則執(zhí)行第4步，若不滿足，則調(diào)整大小，然后返回第2步。（4）使用最新的，計(jì)算Fu,v=H*u,vHu,v2+Pu,v2Gu,v（5）再通過(guò)傅里葉反變換即可得到估計(jì)圖像?！咀鳂I(yè)6】1、r, g, b是RGB彩色空間沿R,G,B軸的單位向量，定義向量u=Rxr+Gxg+Bxbv=Ryr+Gyg+Byb將gxx，gyy，gxy定義為這兩個(gè)向量的點(diǎn)乘：gxx=uu=uTu=Rx2+Gx2+Bx2gyy=vv=vTv=Ry2+Gy2+B

23、y2gxy=uv=uTv=RxRy+GxGy+BxBy推導(dǎo)出最大變換率方向和點(diǎn)(x, y)在方向上變化率的值F()?！窘獯稹恳笞畲笞儞Q率方向，即求使ucos+vsin2取最大值的。ucos+vsin2=u2cos2+2uvsincos+v2sin2=12gxx1+cos2+gxysin2+12gyy1-cos2=12gxx+gyy+12gxx-gyycos2+gxysin2將上式對(duì)求偏導(dǎo)得12gxx+gyy+12gxx-gyycos2+gxysin2=-gxx-gyysin2+2gxycos2令上式等于0，解方程求出的值-gxx-gyysin2+2gxycos2=0gxx-gyysin2=2

24、gxycos2tan2=2gxygxx-gyy=12tan-12gxygxx-gyy此即是最大變換率方向，對(duì)應(yīng)的變化率值為F=12gxx+gyy+12gxx-gyycos2+gxysin2【作業(yè)7】1、請(qǐng)根據(jù)課本中Z變換的定義，證明如下結(jié)論。（1）若xn的Z變換為Xz，則-1nxn的Z變換為X-z。（2）若xn的Z變換為Xz，則x-n的Z變換為X(1/z)?！窘獯稹浚?）由Z變換定義可知，xn的Z變換是：Xz=-xnz-n則-1nxn的Z變換為：-1nxnz-n=-1-nxnz-n=-xn-z-n=X-z（2）x-n的Z變換為：-x-nz-n令n'=-n，則上式可寫成：-xn'

25、zn'=-xn'1z-n'=X1z2、若G1z=-z-2K+1G0-z-1成立，請(qǐng)證明g1n=-1n+1g02K-1-n。【解答】已知g1n的Z變換是G1z，g0n的Z變換是G0z，根據(jù)Z變換的時(shí)間翻轉(zhuǎn)性x-nXz-1可得g0-nG0z-1根據(jù)Z變換的平移性xn-kz-kXz可得g0-n-2K+1z-2K+1G0z-1根據(jù)Z變換的Z域翻轉(zhuǎn)性-1nxnX-z可得-12K-1-ng02K-1-n-z-2K+1G0-z-1-12K-1-1-ng02K-1-n-1-2K+1z-2K+1G0-1-1z-1因?yàn)?K-1為奇數(shù)，所以-12K-1=-1，-1-n=-1n，-2K+1為奇

26、數(shù)，故-1-2K+1=-1，上式繼續(xù)推導(dǎo)得-1n+1g02K-1-n-z-2K+1G0-z-1=G1z所以G1z的Z反變換是-1n+1g02K-1-n又因?yàn)間1n也是G1z的Z反變換，所以g1n=-1n+1g02K-1-n3、假設(shè)課本中給出完美重建濾波器的正交族對(duì)應(yīng)的三個(gè)濾波器間的關(guān)系式是正確的，請(qǐng)以此為基礎(chǔ)，推導(dǎo)h0，h1的關(guān)系?！窘獯稹恳阎猤0n=-1n+1h1ng1n=-1nh0ng1n=-1n+1g02K-1-n將第1、2個(gè)式子代入第3個(gè)式子得到-1nh0n=-1n+1-12K-1-n+1h12K-1-nh0n=-12K-n+1h12K-1-nh0n=-1n+1h12K-1-n若g0n

27、=-1nh1ng1n=-1n+1h0ng1n=-1n+1g02K-1-n則將第1、2個(gè)式子代入第3個(gè)式子得到-1n+1h0n=-1n+1-12K-1-nh12K-1-nh0n=-12K-1-nh12K-1-nh0n=-1n+1h12K-1-n因此，兩種情況的解一致，都是：h0n=-1n+1h12K-1-n4、請(qǐng)證明完美重建濾波器組的雙正交性質(zhì)，即課本282頁(yè)的公式7.1.20?！窘獯稹恳阎獣瞎?.1.9，7.1.10，7.1.18H0zG0z+H1zG1z=2H0-zG0z+H1-zG1z=0H0zG0z+H0-zG0-z=2調(diào)制矩陣Hmz=H0zH0-zH1zH1-z用調(diào)制矩陣的行列式表

28、示G0z和G1zG0z=2detHmzH1-zG1z=-2detHmzH0-z（1）先來(lái)證第1個(gè)公式：g1k,h12n-k=n令Pz=G1zH1z，將式代入得Pz=G1zH1z=-2detHmzH0-zH1z由于detHm-z=-detHmz，則將式兩端同時(shí)乘以H0z得G0zH0z=2detHmzH0zH1-z=P-z因此G0zH0z=G1-zH1-z，代入式得G1zH1z+G1-zH1-z=2根據(jù)Z變換的Z域翻轉(zhuǎn)性-1nxnX-z，對(duì)上式反Z變換得到kg1kh1n-k+-1nkg1kh1n-k=2n由于沖激函數(shù)n在n=0時(shí)等于1，其他情況等于0，且n為奇數(shù)時(shí)，上式奇次方項(xiàng)可以相互抵消，因此只

29、取n為偶數(shù)的情況，用2n代替上式的n可得2kg1kh12n-k=22n=2nkg1kh12n-k=g1k,h12n-k=n（2）再來(lái)證第2個(gè)公式：g0k,h12n-k=0由式可得H0-z=-H1-zG1zG0z得H0-zG0-z-H1zG1z=0將上面兩式合并得-H1-zG1zG0zG0-z-H1zG1z=0H1-zG1zG0-z+H1zG1zG0z=0由于G1z是濾波器，不為0，故可將上式兩端同時(shí)除以G1z得H1-zG0-z+H1zG0z=0根據(jù)Z變換的Z域翻轉(zhuǎn)性-1nxnX-z，對(duì)上式反Z變換得到kg0kh1n-k+-1nkg0kh1n-k=0由于n為奇數(shù)時(shí)，上式奇次方項(xiàng)可以相互抵消，因此

30、只取n為偶數(shù)的情況，用2n代替上式的n可得2kg0kh12n-k=0kg0kh12n-k=g0k,h12n-k=0（3）最后證第3個(gè)公式：g1k,h02n-k=0由式可得H1-z=-H0-zG0zG1z得H1-zG1-z-H0zG0z=0將上面兩式合并得-H0-zG0zG1zG1-z-H0zG0z=0H0-zG0zG1-z+H0zG0zG1z=0由于G0z是濾波器，不為0，故可將上式兩端同時(shí)除以G0z得H0-zG1-z+H0zG1z=0根據(jù)Z變換的Z域翻轉(zhuǎn)性-1nxnX-z，對(duì)上式反Z變換得到kg1kh0n-k+-1nkg1kh0n-k=0由于n為奇數(shù)時(shí)，上式奇次方項(xiàng)可以相互抵消，因此只取n為

31、偶數(shù)的情況，用2n代替上式的n可得2kg1kh02n-k=0kg1kh02n-k=g1k,h02n-k=05、請(qǐng)圍繞本周課堂講授的內(nèi)容編寫至少一道習(xí)題，并給出自己的分析解答。題目形式可以是填空題、選擇題、判斷對(duì)錯(cuò)題、計(jì)算題、證明題。發(fā)揮你的創(chuàng)造力吧?！绢}目】設(shè)計(jì)一個(gè)系統(tǒng)，用下圖的編碼器對(duì)預(yù)測(cè)殘差金字塔進(jìn)行編碼，并畫出框圖。【解答】對(duì)應(yīng)的解碼器如下圖所示。【作業(yè)8】1、哈爾變換可以用矩陣的形式表示為：T=HFHT其中，F(xiàn)是一個(gè)N×N的圖像矩陣，H是N×N變換矩陣，T是N×N變換結(jié)果。對(duì)于哈爾變換，變換矩陣H包含基函數(shù)hkz，它們定義在連續(xù)閉區(qū)間z0,1，k=0,1,

32、2N-1，其中N=2n。為了生成H矩陣，定義整數(shù)k，即k=2p+q-1（這里0pn-1，當(dāng)p=0時(shí)q=0或1；當(dāng)p0時(shí)，1q2p）?？傻霉柣瘮?shù)為：h0z=h00z=1N,z0,1hkz=hpqz=1N2p2,q-12pz<q-0.52p-2p2,q-0.52pz<q2p0,其它，z0,1N×N哈爾變換矩陣的第i行包含了元素hi(z)，其中z=0N,1N,N-1N。計(jì)算當(dāng)N=16時(shí)的H16矩陣?！窘獯稹坑蒒=16可知，k=015，根據(jù)公式k=2p+q-1計(jì)算p、q如下表所示：k0123456789101112131415p0011222233333333q0112123

33、412345678計(jì)算hkz=hpqz，得到H矩陣：2、課本322頁(yè)習(xí)題7.10的（a）與（b）小題?！窘獯稹浚╝）由于展開(kāi)函數(shù)0和1構(gòu)成正交基：0,1=12×12-12×12=00,0=12×12+12×12=11,1=12×12+-12×-12=1所以展開(kāi)系數(shù)0=0T,f=121232=5221=1T,f=12-1232=22可以保證00+11=5221212+2212-12=32=f（b）由于展開(kāi)函數(shù)0和1雙正交：0,1=1×0+0×1=01,0=1×1+1×-1=00,0=1×

34、1+0×-1=11,1=1×0+1×1=1所以展開(kāi)系數(shù)0=0T,f=1-132=11=1T,f=0132=2可以保證00+11=10+211=32=f3、課本323頁(yè)習(xí)題7.11【解答】令0,0x=x，則1,0x=22x，1,1x=22x-1，三個(gè)函數(shù)的圖像如下所示由上圖可知，0,0x無(wú)法用1,0x和1,1x的線性加權(quán)和表示出來(lái)，因此本題給定的尺度函數(shù)x不滿足多分辨率分析的第2個(gè)要求。4、課本323頁(yè)習(xí)題7.16【解答】（a）因?yàn)楸绢}是單尺度變換，開(kāi)始尺度j0=1，所以j只能是1，相應(yīng)的k=0或1，根據(jù)書上公式（7.3.5）和（7.3.6）計(jì)算M=4的一維DWT系

35、數(shù)。W1,0=1Mn=03fn1,0n=12×1×2+4×2-3×0+0×0=522W1,1=1Mn=03fn1,1n=12×1×0+4×0-3×2+0×2=-322W1,0=1Mn=03fn1,0n=12×1×2-4×2-3×0+0×0=-322W1,1=1Mn=03fn1,1n=12×1×0+4×0-3×2-0×2=-322所以DWT系數(shù)為522,-322,-322,-322，函數(shù)fn的展開(kāi)形

36、式為fn=2451,0n-31,1n-31,0n-31,1n（b）根據(jù)上式結(jié)果f1=245×2-3×0-3×-2-3×0=45、請(qǐng)圍繞本周課堂講授的內(nèi)容編寫至少一道習(xí)題，并給出自己的分析解答。題目形式可以是填空題、選擇題、判斷對(duì)錯(cuò)題、計(jì)算題、證明題。發(fā)揮你的創(chuàng)造力吧?！绢}目】計(jì)算圖像F=3-162的哈爾變換?！窘獯稹扛鶕?jù)公式T=HFHT，取變換矩陣H為H2=12111-1H2T=12111-1T=H2FH2T=12111-13-162111-1=1291-3-3111-1=12108-60=54-30【作業(yè)9】1、課本323頁(yè)習(xí)題7.21【解答】（a）根

37、據(jù)書上公式7.3.5和7.3.6Wj0,k=1Mxfxj0,kxWj,k=1Mxfxj,kx可得當(dāng)尺度J=3，j0=0，M=8，f(n)=1(n=0,1,.7)時(shí)W0,0=18nfn0,0n=1221×1×8=22W0,0=18nfn0,0n=1221×1×4+1×-1×4=0W1,0=18nfn1,0n=1221×2×2+1×-2×2+1×0×4=0W1,1=18nfn1,1n=1221×0×4+1×2×2+1×-2

38、5;2=0W2,0=18nfn2,0n=1222-2+0×6=0W2,1=18nfn2,1n=1220×2+2-2+0×4=0W2,2=18nfn2,2n=1220×4+2-2+0×2=0W2,3=18nfn2,3n=1220×6+2-2=0所以變換系數(shù)為：W0,0,W0,0,W1,0,W1,1,W2,0,W2,1,W2,2,W2,3=22,0,0,0,0,0,0,0（b）當(dāng)輸入變?yōu)閒(n)=1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,(n=0,1,.7)時(shí)，上面8個(gè)公式可以算得：W0,0=18nfn0,0n=1221×1

39、15;4+1×-1×4=0W0,0=18nfn0,0n=1221×1×4+-1×-1×4=22W1,0=18nfn1,0n=1221×2×2+1×-2×2-1×0×4=0W1,1=18nfn1,1n=1221×0×4-1×2×2-1×-2×2=0W2,0=18nfn2,0n=1222-2+0×6=0W2,1=18nfn2,1n=1220×2+2-2+0×4=0W2,2=18nfn2,2n=1220×4-2+2+0×2=0W2,3=18nfn2,3n=1220×6-2+2=0所以變換系數(shù)為：W0,0,W0,0,W1,0,W1,1,W2,0,W2,1,W2,2,W2,3=0,22,0,0,0,0,0,0（c）因?yàn)閃2,2=18nfn2,2n=1220×4+