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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2008年華中科技大學招收碩士研究生.入學考試自命題試題數(shù)學分析一、 求極限 解: 一方面顯然另一方面，且由迫斂性可知。注：可用如下兩種方式證明1） 令，則即，從而2） 由有。二、證明為某個函數(shù)的全微分，并求它的原函數(shù)。證明：記，則，是某個函數(shù)的全微分設(shè)原函數(shù)為，則三、設(shè)是空間區(qū)域且不包含原點，其邊界為封閉光滑曲面：用表示的單位外法向量，和，證明：證明：設(shè)的方向余弦為。因為的方向余弦為，所以，由于原點不在空間區(qū)域，根據(jù)高斯公式，有注：當原點也在該區(qū)域時，結(jié)論也成立，詳細參考課本P296第8題答案。四、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，證明：證明：記，由于為連續(xù)函數(shù)，故在上連續(xù)，從而在上可

2、積。而對每個，存在，從而累次積分也存在，同理也存在。于是即五、設(shè)，證明收斂并求其極限。證明：一方面由歸納法易知，即有界。另一方面于是單調(diào)，從而收斂。設(shè)，則解得六、設(shè)反常積分絕對收斂且，證明收斂。證明：由于，故，當時，此時再由絕對收斂知，對，有取，則故收斂。注：這里還差0不是 的瑕點這一條件，若不然討論由下題可知絕對收斂，但發(fā)散。這是因為發(fā)散；收斂。七、討論反常積分的斂散性（包括絕對收斂、條件收斂和發(fā)散），其中為常數(shù)。解：記1） 先討論（可以用瑕積分收斂判別的推論）由可知，當時，是定積分，只需考慮當時，由收斂知收斂，且絕對收斂；當時，由發(fā)散知發(fā)散。2） 再討論當時，由收斂知絕對收斂當時，條件收斂，這是由于對任意，有，而單調(diào)趨于0，由狄利克雷判別法知收斂。另外，其中滿足狄利克雷條件，是收斂的。但是發(fā)散的。所以當時，是條件收斂的。綜上所述， 當時，條件收斂；當時，絕對收斂；當時，發(fā)散。八、將函數(shù)展開為余弦級數(shù)。解：對作偶式周期延拓，則的傅里葉系數(shù)為：即，（）九、證明函數(shù)在上可微證明：對，收斂記，則。與在上均連續(xù)由于對，因此即在上收斂故在上可微且十、設(shè)在上二階可導，且在上成立

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