極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)方程

1、一、坐標(biāo)系1、數(shù)軸它使直線上任一點P都可以由惟一的實數(shù)x確定2、平面直角坐標(biāo)系在平面上，當(dāng)取定兩條互相垂直的直線的交點為原點，并確定了度量單位和這兩條直線的方向，就建立了平面直角坐標(biāo)系。它使平面上任一點P都可以由惟一的實數(shù)對x,y確定。3、空間直角坐標(biāo)系在空間中，選擇兩兩垂直且交于一點的三條直線，當(dāng)取定這三條直線的交點為原點，并確定了度量單位和這三條直線方向，就建立了空間直角坐標(biāo)系。它使空間上任一點P都可以由惟一的實數(shù)對x,y,z確a£o二、平面直角坐標(biāo)系的伸縮變換Xx,(0)定義：設(shè)Px,y是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換：,')的作用下，yy(0).點Px,y對應(yīng)到點

2、P'x',y'，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換。三.例題講解例1在平面直角坐標(biāo)系中，求以下方程所對應(yīng)的圖形經(jīng)過丁伸縮變換后的圖形。12x+3y=0;2x2+y2=1三、極坐標(biāo)系1、極坐標(biāo)系的建立：(除去極點)就與極坐標(biāo)在平面上取一個定點O,自點O引一條射線OX同時確定一個單位長度和計算角度的正方向通常取逆時針方向為正方向，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系。其中O稱為極點，射線OX稱為極軸。2、極坐標(biāo)系內(nèi)一點的極坐標(biāo)的規(guī)定對于平面上任意一點M,用表示線段OM的長度，用表示從OX到OM的角度，叫做點M的極徑，叫做點M的極角，有序數(shù)對，就叫做M的極坐標(biāo)。特別強調(diào)：由

3、極徑的意義可知>0;當(dāng)極角的取值范圍是0,2)時，平面上的點，建立一一對應(yīng)的關(guān)系.們約定，極點的極坐標(biāo)是極徑=0,極角是任意角.3、負(fù)極徑的規(guī)定在極坐標(biāo)系中，極徑允許取負(fù)值，極角也可以去任意的正角或負(fù)角當(dāng)0時，點“，位于極角終邊的反向延長線上，且OM二。M,也可以表示為(，2k)或(，(2k1)(kz)4、數(shù)學(xué)應(yīng)用例1寫出以下圖中各點的極坐標(biāo)A4,0B2CDEFG規(guī)定：極點的極坐標(biāo)是=0,可以取任意角。變式訓(xùn)練在極坐標(biāo)系里描出以下各點A3,0B6,2C3,D5,上E3,5_F4,G6,5-2363例2在極坐標(biāo)系中，(1) 已知兩點P55,5，鼠1,),求線段PQ的長度；44(2) 已知M

4、的極坐標(biāo)為，且=§，R，說明滿足上述條件的點M的位置。變式訓(xùn)練一557.1、假設(shè)ABC的的三個頂點為A(5,)，B(8,),C(3,工判斷二角形的形狀.2662、假設(shè)A、B兩點的極坐標(biāo)為(1,i),(2,2)求AB的長以及AOB的面積。為極點例3已知Q，分別按以下條件求出點P的極坐標(biāo)。(1) P是點Q關(guān)于極點O的對稱點；(2) P是點Q關(guān)于直線一的對稱點；2(3) P是點Q關(guān)于極軸的對稱點。變式訓(xùn)練1.在極坐標(biāo)系中，與點(8,1)關(guān)于極點對稱的點的一個坐標(biāo)是()5 5A(8,),B(8,),C(8,),D(8,)6 66652在極坐標(biāo)系中，如果等邊ABC的兩個頂點是A(2,),B(2

5、,一),求第二個頂點C的坐標(biāo)。44四、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化直角坐標(biāo)系的原點O為極點，X軸的正半軸為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位。平面內(nèi)任意一點P的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為(x,y)和(,),則由三角函數(shù)的定義可以得到如下兩組公式：222xcosxyysintan-(x0)x說明1上述公式即為極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式2通常情況下，將點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時，取>0,0<<2o3化公式的三個前提條件1 .極點與直角坐標(biāo)系的原點重合；2 .極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合；3 .兩種坐標(biāo)系的單位長度相同.三、數(shù)學(xué)應(yīng)用極坐標(biāo)。例11把點M的極坐標(biāo)(8,紅)化成直角坐標(biāo)；2

6、把點P的直角坐標(biāo)(J6,J2)化成3變式訓(xùn)練在極坐標(biāo)系中，已知A(2,-),B(2,),求A,B兩點的距離66例2假設(shè)以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系.一，.，一5、(1)已知A的極坐標(biāo)(4,),求它的直角坐標(biāo),3(2)已知點B和點C的直角坐標(biāo)為(2,2)和(0,15)求它們的極坐標(biāo).(>0,0W<2)變式訓(xùn)練把以下個點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(限定>0,0w<2)A(1,1),B(0,2),C(3,4),D(3,4)2例3在極坐標(biāo)系中，已知兩點A(6,忍)，B(6,3-).求A,B中點的極坐標(biāo).變式訓(xùn)練在極坐標(biāo)系中，已知三點 M (2,-),N(2,0),

7、P(23,).判斷 M ,N,P6三點是否在一條直線上五、常用曲線的極坐標(biāo)方程1、假設(shè)直線l經(jīng)過M( 0, 0)且極軸到此直線的角為，求直線l的極坐標(biāo)方程。變式訓(xùn)練：直線l經(jīng)過M (3,)且該直線到極軸所成角為 一，求此直線l的極坐標(biāo)方程。242、假設(shè)圓心的坐標(biāo)為 M (0),圓的半徑為r ,求圓的方程。運用此結(jié)果可以推出哪些特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程。3、在圓心的極坐標(biāo)為A(4,0),半徑為4的圓中，求過極點O的弦的中點的軌跡。、穩(wěn)固與練習(xí)在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C(3,)，半徑r361求圓C的極坐標(biāo)方程。2假設(shè)Q點在圓C上運動，P在OQ的延長線上，且OQ:OP3:2,求動點P的軌跡方程。

8、1、圓錐曲線的統(tǒng)一方程設(shè)定點的距離為P,求到定點到定點和定直線的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡的極坐標(biāo)方程分析：建系設(shè)點列出等式用極坐標(biāo)表示上述等式，并化簡得極坐標(biāo)方程說明：為便于表示距離,e表示離心率，2、例題講解取F為極點，垂直于定直線l的方向為極軸的正方向。P表示焦點到準(zhǔn)線距離。例1.2003年10月1517日，我國自主研制的神舟五號載人航天飛船成功發(fā)射并按預(yù)定方案安全、準(zhǔn)確的返回地球，它的運行軌道先是以地球中心為一個焦點的橢圓，橢圓的近地點離地面最近的點和遠地點離地面最遠的點距離地面分別為200km和350km,然后進入距地面約球半徑取6378km，試寫出神舟五號航天飛船運行的橢圓軌道的極

9、坐標(biāo)方程。343km的圓形軌道。假設(shè)地例2.求證：過拋物線的焦點的弦被焦點分成的兩部分的倒數(shù)和為常數(shù)。變式訓(xùn)練設(shè)P、Q是雙曲線2x2a241(0ab)上的兩點，假設(shè)OPOQob21求證：2|OP|21|OQ|2為定值;三、穩(wěn)固與練習(xí)已知拋物線y24x的焦點為F。以F為極點，x軸正方向為極軸的正方向，寫出此拋物線的極坐標(biāo)方程;2斜角。過取F作直線l交拋物線于A、B兩點，假設(shè)|AB|=16,運用拋物線的極坐標(biāo)方程，求直線l的傾基礎(chǔ)訓(xùn)練直線cos()m(kz）的斜率是2.極坐標(biāo)方程表示的曲線是sin3.曲線sin4sin(0,02）的交點坐標(biāo)4.在極坐標(biāo)系中與圓4sin相切的一條直線方程為5.A、sin2B、cos2C、cos4D、cos橢圓54cos二、講解新課：的長軸長例1.求曲線cos10關(guān)于直線一對稱的曲線方程。4例2.求以下兩曲線的交點坐標(biāo)。