概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章教案

1、第一節(jié) 隨機(jī)事件 一、隨機(jī)現(xiàn)象在自然界和人類社會(huì)生活中普遍存在著兩類現(xiàn)象：一類是在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱為確定性現(xiàn)象。例如：(1) 一物體從高度為（米）處垂直下落，則經(jīng)過（秒）后必然落到地面，且當(dāng)高度一定時(shí)，可由公式得到，（秒）。(2) 異性電荷相互吸引，同性電荷相互排斥。另一類則是在一定條件下我們事先無法準(zhǔn)確預(yù)知其結(jié)果的現(xiàn)象，稱為隨機(jī)現(xiàn)象。例如：(1) 在相同條件下拋擲同一枚硬幣，我們無法事先預(yù)知將出現(xiàn)正面還是反面。(2) 將來某日某種股票的價(jià)格是多少。概率論就是以數(shù)量化方法來研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。 二、 隨機(jī)試驗(yàn)為了對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)行研究,就需要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行

2、重復(fù)觀察， 我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，并簡稱為試驗(yàn)，記為。 例如，觀察某射手對(duì)固定目標(biāo)進(jìn)行射擊； 拋一枚硬幣三次,觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)；記錄某市120急救電話一晝夜接到的呼叫次數(shù)等均為隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)具有下列特點(diǎn)：(1) 可重復(fù)性；試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；(2) 可觀察性；試驗(yàn)結(jié)果可觀察,所有可能的結(jié)果是明確的；(3) 不確定性： 每次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)知。 三、樣本空間盡管一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)將要出現(xiàn)的結(jié)果是不確定的, 但其所有可能結(jié)果是明確的, 我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能的結(jié)果稱為一個(gè)樣本點(diǎn), 記為（或）；它們的全體稱為樣本空間, 記為(或). 例如：(1) 在拋擲一枚

3、硬幣觀察其出現(xiàn)正面或反面的試驗(yàn)中有兩個(gè)樣本點(diǎn)：正面、反面. 樣本空間為S=正面，反面或正面，反面)。(2) 在將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面H、反面T出現(xiàn)情況的試驗(yàn)中，有8個(gè)樣本點(diǎn)，樣本空間：。(3) 在拋擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的試驗(yàn)中，有6個(gè)樣本點(diǎn)：1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)，4點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)，樣本空間可簡記為1，2，3，4，5，6。(4) 觀察某電話交換臺(tái)在一天內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，其樣本點(diǎn)有無窮多個(gè)：次， =0,1,2,3，樣本空間可簡記為0，1，2，3， 。(5) 在一批燈泡中任意抽取一個(gè)，測試其壽命，其樣本點(diǎn)也有無窮多個(gè)(且不可數(shù))：小時(shí)，樣本空間可簡記為|=0,+ ¥。注：同一個(gè)隨

4、機(jī)試驗(yàn)，試驗(yàn)的樣本點(diǎn)與樣本空間是要根據(jù)要觀察的內(nèi)容來確定的。四、隨機(jī)事件在概率論中，把具有某一可觀察特征的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果稱為事件，事件可分為以下三類：(1) 隨機(jī)事件：在試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情。(2) 必然事件：在每次試驗(yàn)中都必然發(fā)生的事件。(3) 不可能事件：在任何一次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生的事件。顯然，必然事件和不可能事件都是確定性事件，為討論方便，今后將它們看作是兩個(gè)特殊的隨機(jī)事件，并將隨機(jī)事件簡稱為事件。 五、事件的集合表示任何一個(gè)事件都可以用的某一子集來表示,常用字母等表示。稱僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件為基本事件；含有兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本點(diǎn)的事件為復(fù)合事件。顯然，樣本空間作為事件是必然

5、事件，空集作為一個(gè)事件是不可能事件。 六、 事件的關(guān)系與運(yùn)算事件之間的關(guān)系與運(yùn)算可按集合之間的關(guān)系和運(yùn)算來處理.為了方便，給出下列對(duì)照表：表1.1注：兩個(gè)互為對(duì)立的事件一定是互斥事件；反之，互斥事件不一定是對(duì)立事件，而且，互斥的概念適用于多個(gè)事件，但是對(duì)立概念只適用于兩個(gè)事件。 七、事件的運(yùn)算規(guī)律由集合的運(yùn)算律，易給出事件間的運(yùn)算律：（1） 交換律；（2） 結(jié)合律；（3） 分配律；（4） 自反律；（5） 對(duì)偶律。例1甲，乙，丙三人各射一次靶，記“甲中靶” “乙中靶” “丙中靶” 則可用上述三個(gè)事件的運(yùn)算來分別表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： (2) “甲中靶而乙未中靶”： (3) “三

6、人中只有丙未中靶”： (4) “三人中恰好有一人中靶”： (5)“ 三人中至少有一人中靶”： (6)“三人中至少有一人未中靶”： 或(7)“三人中恰有兩人中靶”： (8)“三人中至少兩人中靶”： (9)“三人均未中靶”： (10)“三人中至多一人中靶”： (11)“三人中至多兩人中靶”： 或注：用其它事件的運(yùn)算來表示一個(gè)事件, 方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)實(shí)際上是同一事件，應(yīng)學(xué)會(huì)用不同方法表達(dá)同一事件, 特別在解決具體問題時(shí),往往要根據(jù)需要選擇一種恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒āＵn堂練習(xí)1. 設(shè)當(dāng)事件與同時(shí)發(fā)生時(shí)也發(fā)生, 則 ( ).(A) 是的子事件; (B)或(C) 是的子事件; (D) 是

7、的子事件.2. 設(shè)事件甲種產(chǎn)品暢銷, 乙種產(chǎn)品滯銷, 則的對(duì)立事件為 ( ).(A) 甲種產(chǎn)品滯銷,乙種產(chǎn)品暢銷;(B) 甲種產(chǎn)品滯銷;(C) 甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷;(D) 甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷.課后作業(yè)P6, 1，2，4第二節(jié) 隨機(jī)事件的概率一、頻率及其性質(zhì)定義1 若在相同條件下進(jìn)行次試驗(yàn), 其中事件發(fā)生的次數(shù)為, 則稱為事件發(fā)生的頻率。頻率的基本性質(zhì):(1) (2) (3) 設(shè)是兩兩互不相容的事件, 則. 定義2在相同條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，若事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大而穩(wěn)定地在某個(gè)常數(shù)(附近擺動(dòng)，則稱為事件的概率，記為。 例1從某魚池中取100條魚， 做上記號(hào)后再放入該魚

8、池中。 現(xiàn)從該池中任意捉來40條魚， 發(fā)現(xiàn)其中兩條有記號(hào)， 問池內(nèi)大約有多少條魚？ 二、概率的公理化定義定義3 設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn), 是它的樣本空間,對(duì)于的每一個(gè)事件賦予一個(gè)實(shí)數(shù), 記為, 若滿足下列三個(gè)條件:(1) 非負(fù)性：對(duì)每一個(gè)事件,有 ;(2) 完備性：;(3) 可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，則有則稱為事件的概率. 三、 概率的性質(zhì) 性質(zhì)1 性質(zhì)2 (有限可加性) 若事件兩兩互不相容，則有性質(zhì)3 對(duì)任一事件，有性質(zhì)4 ；特別地，若，則有（1），（2）性質(zhì)5 對(duì)任一事件，性質(zhì)6 對(duì)任意兩個(gè)事件，有注：推廣到對(duì)任意三個(gè)事件，則有例2 已知 , 求 (1) ; (2) ; (3) ; (4)

9、 .課堂練習(xí)1.設(shè) , 求事件的逆事件的概率.2.設(shè) 求.3.設(shè)都出現(xiàn)的概率與都不出現(xiàn)的概率相等, 且, 求.課后作業(yè)P10 3、4第三節(jié) 古典概型一、古典概型1、我們稱具有下列兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判汀?1) 隨機(jī)試驗(yàn)只有有限個(gè)可能的結(jié)果;(2) 每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性大小相同.古典概型又稱為等可能概型.在概率論的產(chǎn)生和發(fā)展過程中，它是最早的研究對(duì)象，且在實(shí)際中也最常用的一種概率模型。2、古典概率二、 計(jì)算古典概率的方法1.基本計(jì)數(shù)原理：(1) 加法原理：設(shè)完成一件事有種方式,其中第一種方式有種方法，第二種方式有種方法，,第種方式有種方法，無論通過哪種方法都可以完成這件事,則完成這件

10、事的方法總數(shù)為.(2) 乘法原理：設(shè)完成一件事有個(gè)步驟,其中第一個(gè)步驟有種方法，第二個(gè)步驟有種方法，第個(gè)步驟有種方法；完成該件事必須通過每一步驟才算完成，則完成這件事的方法總數(shù)為 .2. 排列組合方法(1)1排列公式：(2) 組合公式。例1 一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小相同的球, 其中3個(gè)黑球, 7個(gè)白球, 求(1) 從袋子中任取一球, 這個(gè)球是黑球的概率;(2) 從袋子中任取兩球, 剛好一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率以及兩個(gè)球全是黑球的概率.例2 將3個(gè)球隨機(jī)放入4個(gè)杯子中, 問杯子中球的個(gè)數(shù)最多為1, 2, 3的概率各是多少?例3 在12000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù), 問取到的整數(shù)既不能被6整除, 又

11、不能被8整除的概率是多少? 課堂練習(xí)P14 1、2、3、4、課后作業(yè)P14 6、9、10第四節(jié) 條件概率一、 條件概率的引入引例 一批同型號(hào)的產(chǎn)品由甲、乙兩廠生產(chǎn)，產(chǎn)品結(jié)構(gòu)如下表：廠別數(shù)量等級(jí)甲廠乙廠合計(jì)合格品4756441119次品255681合計(jì)5007001200(1) 從這批產(chǎn)品中隨意地取一件，則這件產(chǎn)品為次品的概率為多少？(2) 當(dāng)被告知取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的時(shí)，那么這件產(chǎn)品為次品的概率又是多大？在事件發(fā)生的條件下，求事件發(fā)生概率，這就是條件概率，記作。二、條件概率的定義1、定義1 設(shè)是兩個(gè)事件, 且, 則稱 (1)為在事件發(fā)生的條件下，事件的條件概率。相應(yīng)地，把稱為無條件概率。一般

12、地，。2、條件概率的性質(zhì) (1) ;(2) ;(3) 設(shè)互不相容，則例1 一袋中裝有10個(gè)球, 其中3個(gè)黑球, 7個(gè)白球, 先后兩次從袋中各取一球(不放回)(1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率;(2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率.注: (1) 用維恩圖表達(dá)(1)式.若事件已發(fā)生,則為使也發(fā)生,試驗(yàn)結(jié)果必須是既在中又在中的樣本點(diǎn),即此點(diǎn)必屬于.因已知已發(fā)生,故成為計(jì)算條件概率新的樣本空間.(2) 計(jì)算條件概率有兩種方法:a) 在縮減的樣本空間中求事件的概率，就得到；b) 在樣本空間中，先求事件和，再按定義計(jì)算。例2 袋中有5個(gè)球, 其中3個(gè)紅

13、球2個(gè)白球. 現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個(gè). 已知第一次取得紅球時(shí), 求第二次取得白球的概率。三、乘法公式由條件概率的定義立即得到: (2)注意到, 及的對(duì)稱性可得到: (3)(2)和(3)式都稱為乘法公式, 利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率.例3 一袋中裝10個(gè)球, 其中3個(gè)黑球、7個(gè)白球, 先后兩次從中隨意各取一球(不放回), 求兩次取到的均為黑球的概率。例4 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡, 第一次落下時(shí)打破的概率為1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率為7/10, 若前兩次落下未打破, 第三次落下打破的概率為9/10. 試求透鏡落下三次而未打破的概率. 四、全概率公式 全概率公

14、式是概率論中的一個(gè)基本公式。它使一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題，可化為在不同情況或不同原因或不同途徑下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題。定理1 設(shè)是一個(gè)完備事件組,且則對(duì)任一事件,有五、貝葉斯公式利用全概率公式,可通過綜合分析一事件發(fā)生的不同原因、情況或途徑及其可能性來求得該事件發(fā)生的概率.下面給出的貝葉斯公式則考慮與之完全相反的問題，即一事件已經(jīng)發(fā)生，要考察該事件發(fā)生的各種原因、情況或途徑的可能性。 定理2 設(shè)是一完備事件組,則對(duì)任一事件,有 注: 公式中,和分別稱為原因的先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率。 特別地，若取，并記, 則,于是公式成為 例5 人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r(shí)期內(nèi)價(jià)格的變化, 往往會(huì)去分析

15、影響股票價(jià)格的基本因素, 比如利率的變化. 現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計(jì)利率下調(diào)的概率為60%, 利率不變的概率為40%. 根據(jù)經(jīng)驗(yàn), 人們估計(jì), 在利率下調(diào)的情況下, 該支股票價(jià)格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下, 其價(jià)格上漲的概率為40%, 求該支股票將上漲的概率.例6 有三個(gè)瓶子，1號(hào)裝有2紅1黑共3個(gè)球，2號(hào)裝有3紅1黑共4個(gè)球，3號(hào)裝有2紅2黑共4個(gè)球，（1）若某人從中隨機(jī)取一瓶，再從該瓶中任意取出一個(gè)球，求取得紅球的概率？（2）若已知某人取出的球是紅球，問取自第一個(gè)瓶子的概率？課堂練習(xí)1、設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為0.8, 活到25年以上的概率為0.4. 問現(xiàn)年20

16、歲的這種動(dòng)物, 它能活到25歲以上的概率是多少?2、對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明, 當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí), 產(chǎn)品的合格率為98%, 而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時(shí), 其合格率為55%. 每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí), 機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%. 試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格時(shí), 機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少?課后作業(yè)P21 7,8第五節(jié) 事件的獨(dú)立性 一、 兩個(gè)事件的獨(dú)立性定義1 若兩事件,滿足 (1)則稱,獨(dú)立, 或稱,相互獨(dú)立。注: (1) 兩事件互不相容與相互獨(dú)立是完全不同的兩個(gè)概念，它們分別從兩個(gè)不同的角度表述了兩事件間的某種聯(lián)系?；ゲ幌嗳菔潜硎鲈谝淮坞S機(jī)試驗(yàn)中兩事件不能同時(shí)發(fā)生， 而相互獨(dú)立是表述在一次隨

17、機(jī)試驗(yàn)中一事件是否發(fā)生與另一事件是否發(fā)生互無影響。(2) 當(dāng),時(shí), ,相互獨(dú)立與,互不相容不能同時(shí)成立。(3) 若,既獨(dú)立又互斥，則至少有一個(gè)是零概率事件。定理1 設(shè),是兩事件, 且,若,相互獨(dú)立, 則. 反之亦然.定理2 設(shè)事件,相互獨(dú)立,則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立: 與,與,與.例1從一副不含大小王的撲克牌中任取一張, 記抽到, 抽到的牌是黑色的, 問事件、是否獨(dú)立?注：從例1可見，判斷事件的獨(dú)立性，可利用定義或通過計(jì)算條件概率來判斷。 但在實(shí)際應(yīng)用中, 常根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立。 二、有限個(gè)事件的獨(dú)立性1、定義2 設(shè)為三個(gè)事件, 若滿足等式則稱事件相互獨(dú)立。定義3 設(shè)是個(gè)事

18、件, 若其中任意兩個(gè)事件之間均相互獨(dú)立, 則稱兩兩獨(dú)立.2、相互獨(dú)立性的性質(zhì)性質(zhì)1 若事件相互獨(dú)立, 則其中任意個(gè)事件也相互獨(dú)立;性質(zhì)2 若個(gè)事件相互獨(dú)立, 則將中任意個(gè)事件換成它們的對(duì)立事件, 所得的個(gè)事件仍相互獨(dú)立; 注：設(shè)是個(gè)隨機(jī)事件，則相互獨(dú)立 兩兩獨(dú)立.即相互獨(dú)立性是比兩兩獨(dú)立性更強(qiáng)的性質(zhì), 例2 已知甲、乙兩袋中分別裝有編號(hào)為1, 2, 3, 4的四個(gè)球. 今從甲、乙兩袋中各取出一球, 設(shè)從甲袋中取出的是偶數(shù)號(hào)球, 從乙袋中取出的是奇數(shù)號(hào)球, 從兩袋中取出的都是偶數(shù)號(hào)球或都是奇數(shù)號(hào)球, 試證兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立.例3 如圖是一個(gè)串并聯(lián)電路系統(tǒng).都是電路中的元件。 它們下方的數(shù)字是它

19、們各自正常工作的概率， 求電路系統(tǒng)的可靠性。例4甲, 乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽, 每局甲勝的概率為p,p1/2. 問對(duì)甲而言,采用三局二勝制有利, 還是采用五局三勝制有利. 設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立.三、伯努利概型設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果: 事件發(fā)生(記為) 或 事件不發(fā)生(記為), 則稱這樣的試驗(yàn)為伯努利(Bermourlli)試驗(yàn). 設(shè)將伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次, 稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為重伯努利試驗(yàn), 或簡稱為伯努利概型.注: 重伯努利試驗(yàn)的特點(diǎn)是：事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率均為,且不受其他各次試驗(yàn)中是否發(fā)生的影響.定理3（伯努利定理） 設(shè)在一次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率為則在重貝努里試驗(yàn)中,事件恰好發(fā)生次的概率為推論 設(shè)在一次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率為 則在重貝努里試驗(yàn)中, 事件在第次試驗(yàn)中的才首次發(fā)生的概率為注意到“事件第次試驗(yàn)才首次發(fā)生”等價(jià)于在前次試驗(yàn)組成的重伯努利試驗(yàn)中“事件在前次試驗(yàn)中均不發(fā)生而第次試驗(yàn)中事件發(fā)生”,再由伯努利定理即推得. 例5 某型號(hào)高炮,每門炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機(jī)的概率為0.6,現(xiàn)若干門炮同時(shí)各射一發(fā), (1)問：欲以99%的把握擊中一架來犯的敵機(jī)至少需配置幾門炮? (2)現(xiàn)有3門炮,欲以99%的把握擊中一架來犯的敵機(jī),問:每門炮的命中率應(yīng)提