滬教版9年級數(shù)學(xué)知識點整理

1、第二十四章 相似三角形第一節(jié) 相似形24.1 放縮與相似形1形狀相同的兩個圖形叫做相似的圖形，簡稱相似形2相似的圖形，他們的大小不一定相同，大小相同的兩個相似形是全等形3如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的長度成比例4圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運動，通過放縮運動，兩個相似的圖形可以相互重合（即成為全等形）第二節(jié) 比例線段24.2 比例線段1兩條線段長度的比叫做兩條線段的比2在四條線段中，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段3比例線段有以下性質(zhì)： （1）基本性質(zhì) （2）合比性質(zhì) （3）等比性質(zhì)4黃金分割：如果點P把線

2、段AB分割成AP和PB（APPB）兩段，其中，AP是AB和AP的比例中項，那么這種分割為黃金分割，點P稱為AB的黃金分割點，AP與AB的比值稱為黃金分割數(shù)，它的近似值為0.61824.3 三角形一邊的平行線1定理1：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應(yīng)線段成比例 推論1：平行于三角形的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例2三角形三條中線的焦點叫做三角形的重心，三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊中點的距離的兩倍3定理2：如果一條直線截三角形兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊 推論2：如果一條直線截三角形兩邊

3、的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊4兩條直線被三條平行線所截，截得的對應(yīng)線段成比例 兩條直線被三條平行線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等第三節(jié) 相似三角形24.4相似三角形的判定1如果兩個三角形的三個角對應(yīng)相等、三條邊對應(yīng)成比例，這兩個三角形叫做相似三角形，對應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)），當(dāng)相似比等于1時，這兩個相似三角形是全等三角形2相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似3相似三角形的判定定理1：如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角

4、對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似4相似三角形判定定理2：如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等，那么這兩個三角形相似5相似三角形判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例那么這兩個三角形相似6直角三角形相似的判定定理：如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似7兩個三角形相似，那么它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例24.5相似三角形的性質(zhì)相似三角形具有以下性質(zhì)（1） 相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；（2） 相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線之比和對應(yīng)角平分線的比等于相似比；（3） 相似

5、三角形周長之比等于相似比；（4） 相似三角形面積之比等于相似比的平方第四節(jié) 平面向量的線性運算24.6 實數(shù)與向量相乘1實數(shù)與向量相乘的運算 若k0且0，那么k的長度k=k;k的方向 若k0時，k與同方向 若k0時，k與反方向 若k = 0或=0，那么k=02實數(shù)與向量相乘的運算律 設(shè)m、n為實數(shù)，則（1） m(n )=(mn) （2） (m+n) =m+n（3） m(+b)=m+mb 向量加法、減法、實數(shù)與向量相乘等運算，與多項式的運算類似，但向量運算的結(jié)果仍是向量，是一個有長度與方向的量3平行向量定理：如果向量b與非零向量平行（包括b、在同一直線上）那么存在唯一確定的實數(shù)m，使b=k*24

6、.7 平面向量的分解1向量的加法、減法、實數(shù)與向量相乘，以及他們的混合運算，叫做向量的線性運算。如果、b是兩個不平行的向量，x、y是實數(shù)，那么向量x+yb叫做向量、b的線性組合2 給定兩個不平行的向量、b，對于任一個向量c，都可以確定它關(guān)于、b的分解式，也可作圖法作出這個向量在給定的兩個不平行向量的方向上的分向量。第二十五章 銳角三角比第一節(jié) 銳角的三角比25.1銳角三角比1.理解銳角的三角比的定義及其表示方法和讀法 sinA=對邊/斜邊 cosA=鄰邊/斜邊 tanA=對邊/鄰邊 cotA=鄰邊/對邊2能正確地運用定義并借助直角三角形邊·角之間的關(guān)系解決有關(guān)問題3.定義的前提是個直

7、角，故如果題目中無直角條件時，應(yīng)設(shè)法構(gòu)造一個直角4.若角A為銳角，則sinA cosA tanA cotA 的取值范圍分別是： 0<sinA <1; 0< cosA<1; tanA>0 ; cotA>05.同一個銳角的正切和余切互為倒數(shù)，即tanA · cotA=125.2特殊銳角的三角比的值1.三角函數(shù)角角度sincostan30°45°160°2.理解同角，互余的兩角的三角比之間的關(guān)系 倒數(shù)關(guān)系 tanA=1/cotA平方關(guān)系 sin²A+cos²A=1積商關(guān)系 tanA=sinA/cosA；c

8、otA=cosA/sinA余角和余函數(shù)的關(guān)系：如果=90°，那么sinA=cosB；tanA=cotB (正弦和余弦，正切和余切被稱為余函數(shù)關(guān)系)3使用計算器求銳角的三角比的值第二節(jié) 解直角三角形253 解直角三角形1在直角三角形中，除直角外，還有5個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知兩元素（其中至少有一條邊），求出其他所有位置元素的過程，叫做解直角三角形2當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時，應(yīng)恰當(dāng)?shù)淖龈?，化斜三角形為直角三角形，再求?解直角三角形的類型有兩種情況： 已知兩條邊 已知一條邊和一個銳角254 解直角三角形的應(yīng)用1、仰角和俯角 視線與水平線所成的角中

9、，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角2坡角、坡度： 坡面與水平面的夾角叫做坡角，坡面的鉛垂高度h與水平寬度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用i表示，即i=h:l，通常坡度要寫成i:m的形式；坡角的正切是坡面的坡度3方向角：一般以觀測者的位置為中心將正北或正南方向為始邊旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的銳角4解直角三角形應(yīng)用題應(yīng)注意的問題： 認清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念的意義； 認真分析題意，畫出并找出要求解得直角三角形，有些圖形雖然不是直角三角形，但可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形） 選擇合適的邊角關(guān)系式，使運算簡便，并且不易出錯 按

10、照題目中已知數(shù)的精確度進行近似計算，檢驗是否符合實際，并按照題目中要求的精確度確定答案并注明單位第二十六章 二次函數(shù)1.定義：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì)(1)拋物線的頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是軸.(2)函數(shù)的圖像與的符號關(guān)系.當(dāng)時拋物線開口向上頂點為其最低點；當(dāng)時拋物線開口向下頂點為其最高點3.二次函數(shù) 的圖像是對稱軸平行于(包括重合)軸的拋物線.4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；.6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.決定拋物線的開口方向：當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相

11、同.平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法(1)公式法：，頂點是，對稱軸是直線.(2)配方法：運用配方法將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是.(3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失9.拋物線中，的作用(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.

12、(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線,故：時，對稱軸為軸；(即、同號)時,對稱軸在軸左側(cè)；(即、異號)時,對稱軸在軸右側(cè).(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置.當(dāng)時，拋物線與軸有且只有一個交點(0，)：，拋物線經(jīng)過原點; ,與軸交于正半軸；,與軸交于負半軸.以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則 .10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)當(dāng)時開口向上當(dāng)時開口向下(軸)(0,0)(軸)(0, )(,0)(,)()11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 (1)一般式：.已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.

13、(2)頂點式：.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式. (3)交點式：已知圖像與軸的交點坐標(biāo)、，通常選用交點式：.12.直線與拋物線的交點 (1)軸與拋物線得交點為() (2)與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,). (3)拋物線與軸的交點二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點拋物線與軸相交；有一個交點(頂點在軸上)拋物線與軸相切；沒有交點拋物線與軸相離.(4)平行于軸的直線與拋物線的交點同(3)一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為

14、，則橫坐標(biāo)是的兩個實數(shù)根.(5)一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; 方程組只有一組解時與只有一個交點；方程組無解時與沒有交點.(6)拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故 13二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：(1)一元二次方程就是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)y的值為0時的情況(2)二次函數(shù)的圖象與軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、沒有交點；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有交點時，交點的橫坐標(biāo)就是當(dāng)時自變量的值，即一元二次方程的根(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點時，則一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)二次

15、函數(shù)的圖象與軸有一個交點時，則一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸沒有交點時，則一元二次方程沒有實數(shù)根14.二次函數(shù)的應(yīng)用：(1)二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實際上就是求函數(shù)的最大(小)值；(2)二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；運用二次函數(shù)的知識解決實際問題中的最大(小)值15.解決實際問題時的基本思路：(1)理解問題；(2)分析問題中的變量和常量；(3)用函數(shù)表達式表示出它們之間的關(guān)系；(4)利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進行求解；(5)檢驗結(jié)果的合理性，對問題加以拓展等第二十七章 圓與正多邊形27 圓的確定1 圓是到定點的

16、距離等于定長的點的集合。2 圓的兩要素是圓心和半徑。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。3 圓心相同的圓叫做同心圓。半徑相等的圓叫做等圓。4 經(jīng)過一點A可以做無數(shù)個圓。經(jīng)過A、B可以作無數(shù)個圓。經(jīng)過不在同一直線上的三個點A、B、C可以做1個圓。5 三角形的外接圓的圓心叫做外心。6 一個三角形有1個外接圓，一個圓有無數(shù)個內(nèi)接三角形。7 銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心在斜邊的中點，鈍角三角形的外心在三角形的外部。8 經(jīng)過四邊形四個頂點的圓叫做四邊形的外接圓。經(jīng)過多邊形每個頂點的圓叫做多邊形的外接圓。27 2 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系（1）1 聯(lián)接圓上任意兩點間的線段叫做弦

17、。過圓心的弦就是直徑。2 直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。3 從圓心到弦的距離叫做弦心距。27.2 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系（2）1. 在同圓或等圓中，如果圓心角相等，那么所對的劣弧或優(yōu)弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距相等。2. 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條優(yōu)劣弧、兩條弦、或兩條弦心距，這四組量中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余三組量也相等。27.2 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系（3）1. 角平分線上的點到角兩邊的距離相等。27.3垂徑定理（1）1. 垂徑定理：如果圓的直徑垂直于弦，那么這條直徑平分這條弦，并且

18、平分這條弦所對的弧。（推論：弦心距平分弦）27.3垂徑定理（2）1. 如果圓的直徑平分炫（這條弦不是直徑），那么這條直徑垂直這條弦，并且平分這條弦所對弧。2. 如果圓的直徑平分弧，那么這條直徑垂直平分這條弧所 對的弦。3. 如果一條直線是弦的垂直平分線，那么這條直線過圓心，并且平分這條弦所對的弧。4. 如果一條直線平分弦和它所對的一條弧，那么這條直線過圓點，并且垂直這條弦。5. 如果一條直線垂直于弦，并且平分弦所對的一條弧，那么這條直線過圓點，并且平分這條弦。27.3垂徑定理（3）1. 應(yīng)用垂徑定理，就可以把弦半徑弦心距等的計算問題，歸結(jié)為解直角三角形的問題。27.4 直線與圓的位置關(guān)系1.根

19、據(jù)定義（交點的個數(shù)）判斷直線與圓的位置關(guān)系： 直線L與圓相離<=> 直線L與圓沒有公共點； 直線L與圓相切<=> 直線L與圓只有一個公共點； 直線L與圓相交<=> 直線L與圓有兩個公共點。2. 根據(jù)圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系：如果O的半徑為r，圓心到直線L的距離為d,那么直線L與圓相離<=>d>r直線L與圓相切<=>d=r直線L與圓相交<=>d<r27.5 圓與圓的位置關(guān)系(1)1.根據(jù)定義（公共點的個數(shù)）判斷圓與圓的位置關(guān)系：兩圓相離<=>兩圓沒有公共點；兩圓相切<=>兩圓只有一個公共點；兩圓相交<=>兩圓有兩個公共點；2兩圓相離包括外離和內(nèi)含兩種情況； 兩圓相切包括外切和內(nèi)切兩種情況。3. 根據(jù)圓心距d與兩圓的半徑R、r(R>r)判斷圓與圓的位置關(guān)系：兩圓