正常水準(zhǔn)面不平行性及其改正數(shù)計(jì)算

1、5.7 正常水準(zhǔn)面不平行性及其改正數(shù)計(jì)算 如果假定不同高程的水準(zhǔn)面是相互平行的，那么水準(zhǔn)測(cè)量所測(cè)定的高差，就是水準(zhǔn)面間的垂直距離。這種假定在較短距離內(nèi)與實(shí)際相差不大，而在較長(zhǎng)距離時(shí)，這種假定是不正確的。5.7.1 水準(zhǔn)面不平行性 在空間重力場(chǎng)中的任何物質(zhì)都受到重力的作用而使其具有位能。對(duì)于水準(zhǔn)面上的單位質(zhì)點(diǎn)而言，它的位能大小與質(zhì)點(diǎn)所處高度及該點(diǎn)重力加速度有關(guān)。我們把這種隨著位置和重力加速度大小而變化的位能稱為重力位能，并以表示，則有 （5-17）式中，為重力加速度；為單位質(zhì)點(diǎn)所處的高度。圖5-33 我們知道，在同一水準(zhǔn)面上各點(diǎn)的重力位能相等，因此，水準(zhǔn)面稱為重力等位面，或稱重力位水準(zhǔn)面。如果將

2、單位質(zhì)點(diǎn)從一個(gè)水準(zhǔn)面提高到相距的另一個(gè)水準(zhǔn)面，其所做功就等于兩水準(zhǔn)面的位能差，即。在圖5-51中，設(shè)、分別表示兩個(gè)非常接近的水準(zhǔn)面在兩點(diǎn)的垂直距離，、為兩點(diǎn)的重力加速度。由于水準(zhǔn)面具有重力位能相等的性質(zhì)，因此兩點(diǎn)所在水準(zhǔn)面的位能差應(yīng)有下列關(guān)系 （5-18） 我們知道，在同一水準(zhǔn)面上的不同點(diǎn)重力加速度值是不同的，因此由式（5-18）可知，與必定不相等，也就是說(shuō)，任何兩鄰近的水準(zhǔn)面之間的距離在不同的點(diǎn)上是不相等的并且與作用在這些點(diǎn)上的重力成反比。以上的分析說(shuō)明水準(zhǔn)面不是相互平行的，這是水準(zhǔn)面的一個(gè)重要特性，稱為水準(zhǔn)面不平行性。 重力加速度值是隨緯度的不同而變化的，在緯度較低的赤道處有較小的值，而在

3、兩極處值較大，因此，水準(zhǔn)面是相互不平行的、且為向兩極收斂的、接近橢圓形的曲面。 水準(zhǔn)面的不平行性，對(duì)水準(zhǔn)測(cè)量將產(chǎn)生什么影響呢？ 我們知道，水準(zhǔn)測(cè)量所測(cè)定的高程是由水準(zhǔn)路線上各測(cè)站所得高差求和而得到的。在圖5-34中，地面點(diǎn)的高程可以按水準(zhǔn)路線各測(cè)站測(cè)得高差之和求得，即如果沿另一條水準(zhǔn)路線施測(cè)，則點(diǎn)的高程應(yīng)為水準(zhǔn)路線各測(cè)站測(cè)得高差之和，即 由水準(zhǔn)面的不平行性可知，因此也必定不等，也就是說(shuō)，用水準(zhǔn)測(cè)量測(cè)得兩點(diǎn)間高差的結(jié)果隨測(cè)量所循水準(zhǔn)路線的不同而有差異。 如果將水準(zhǔn)路線構(gòu)成閉合環(huán)形，既然，可見(jiàn)，即使水準(zhǔn)測(cè)量完全沒(méi)有誤差，這個(gè)水準(zhǔn)環(huán)形路線的閉合差也不為零。在閉合環(huán)形水準(zhǔn)路線中，由于水準(zhǔn)面不平行所產(chǎn)生

4、的閉合差稱為理論閉合差。 由于水準(zhǔn)面的不平行性，使得兩固定點(diǎn)間的高差沿不同的測(cè)量路線所測(cè)得的結(jié)果不一致而產(chǎn)生多值性，為了使點(diǎn)的高程有惟一確定的數(shù)值，有必要合理地定義高程系，在大地測(cè)量中定義下面三種高程系統(tǒng)：正高，正常高及力高高程系。5.7.2 正高高程系 正高高程系是以大地水準(zhǔn)面為高程基準(zhǔn)面，地面上任一點(diǎn)的正高高程（簡(jiǎn)稱正高），即該點(diǎn)沿垂線方向至大地水準(zhǔn)面的距離。如圖5-34中，點(diǎn)的正高，設(shè)以表示，則有圖5-34 （5-19） 設(shè)沿垂線的重力加速度用表示，在垂線的不同點(diǎn)上，也有不同的數(shù)值。由式(5-18)的關(guān)系可以寫(xiě)出 或 （5-20） 將（5-20）式代入（5-19）式中，得 （5-21）如

5、果取垂線上重力加速度的平均值為，上式又可寫(xiě)為 （5-22）從（5-22）式可以看出，某點(diǎn)的正高不隨水準(zhǔn)測(cè)量路線的不同而有差異，這是因?yàn)槭街袨槌?shù)，為過(guò)點(diǎn)的水準(zhǔn)面與大地水準(zhǔn)面之間的位能差，也不隨路線而異，因此，正高高程是惟一確定的數(shù)值，可以用來(lái)表示地面的高程。 如果沿著水準(zhǔn)路線每隔若干距離測(cè)定重力加速度，則（5-22)式中的值是可以得到的。但是由于沿垂線的重力加速度不但隨深入地下深度不同而變化，而且還與地球內(nèi)部物質(zhì)密度的分布有關(guān)，所以重力加速度的平均值并不能精確測(cè)定，也不能由公式推導(dǎo)出來(lái)，所以嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，地面一點(diǎn)的正高高程不能精確求得。5.7.3 正常高高程系 將正高系統(tǒng)中不能精確測(cè)定的用正常重力

6、代替，便得到另一種系統(tǒng)的高程，稱其為正常高，用公式表達(dá)為 （5-23）式中，g由沿水準(zhǔn)測(cè)量路線的重力測(cè)量得到；是水準(zhǔn)測(cè)量的高差，是按正常重力公式算得的正常重力平均值，所以正常高可以精確求得，其數(shù)值也不隨水準(zhǔn)路線而異，是惟一確定的。因此，我國(guó)規(guī)定采用正常高高程系統(tǒng)作為我國(guó)高程的統(tǒng)一系統(tǒng)。 下面推導(dǎo)正常高高差的實(shí)際計(jì)算公式。 首先推導(dǎo)高出水準(zhǔn)橢球面的正常重力的計(jì)算公式。在這里，我們把水準(zhǔn)橢球看成是半徑為的均質(zhì)圓球，則地心對(duì)地面高的點(diǎn)的引力為對(duì)大地水準(zhǔn)面上點(diǎn)的引力為兩式相減，得重力改正數(shù)上式右端括號(hào)外項(xiàng)，可認(rèn)為是地球平均正常重力；由于，可把展開(kāi)級(jí)數(shù)，并取至二次項(xiàng)，經(jīng)整理得將地球平均重力及地球半徑代入

7、上式，最后得這就是對(duì)高出地面點(diǎn)的重力改正公式，式中以m為單位，以mGal為單位。顯然式中第一項(xiàng)是主項(xiàng)，大約每升高3m，重力值減少1mGa1。第二項(xiàng)是小項(xiàng)，只在特高山區(qū)才顧及它，在一般情況下可不必考慮，這樣通?？砂焉鲜綄?xiě)成于是得出地面高度處的點(diǎn)的正常重力計(jì)算公式 （5-24）式中為水準(zhǔn)橢球面上的正常重力值，在大地控制測(cè)量中，采用19011909年赫爾默特正常重力公式： （5-25） 將重力寫(xiě)成下面的形式 （5-26）式中用（5-24）式計(jì)算。在有限路線上，可以認(rèn)為正常重力是線性變化，因此可認(rèn)為是處的值，即，進(jìn)而 （5-27）分項(xiàng)積分得到可近似地寫(xiě)成：因此，有正常高計(jì)算公式： （5-28）上式右端

8、第一項(xiàng)是水準(zhǔn)測(cè)量測(cè)得的高差，這是主項(xiàng)；第二項(xiàng)中的是沿水準(zhǔn)路線上各點(diǎn)的正常重力值，隨緯度而變化，亦即，所以第二項(xiàng)稱為正常位水準(zhǔn)面不平行改正數(shù)。第一、二項(xiàng)之和稱為概略高程。第三項(xiàng)是由正常位水位面與重力等位面不一致引起的，稱之為重力異常改正項(xiàng)。 當(dāng)計(jì)算兩點(diǎn)高差時(shí)，有式 （5-29）將上式右端第二、三大項(xiàng)分別用和表示，則 （5-30）上式中稱為正常位水準(zhǔn)面不平行引起的高差改正，稱為由重力異常引起的高差改正，經(jīng)過(guò)和改正后的高差稱為正常高高差。 下面推導(dǎo)和的計(jì)算公式。首先推導(dǎo)的計(jì)算公式。由于 于是 （5-31）上式中最后一項(xiàng)數(shù)值很小，可略去；第一項(xiàng)在間距不大的情況下，可認(rèn)為呈線性變化，可用平均值代替，亦即

9、，則 （5-32）這樣 （5-33）式中，為兩點(diǎn)平均高度（可用近似值代替），。又由（5-25）式可知，若忽略右端第三項(xiàng)（即含項(xiàng)），并令，則把它改寫(xiě)成 （5-34）當(dāng)時(shí)，得。因此上式可寫(xiě)成將有關(guān)數(shù)值代入，于是 （5-35）因此對(duì)上式取微分得亦即 （5-36）當(dāng)（5-33）式中的以我國(guó)平均緯度代入算得將以上關(guān)系式及數(shù)據(jù)代入（5-33）式，得的最后計(jì)算公式： （5-37）或 （5-38）式中，是兩點(diǎn)平均緯度，系數(shù)可按在水準(zhǔn)測(cè)量規(guī)范中查取，是兩點(diǎn)的緯度差，以分為單位。規(guī)范中的值與（5-37）式略有差異，這主要是由于所采用常數(shù)不同而至，對(duì)計(jì)算結(jié)果無(wú)影響。 再來(lái)推導(dǎo)計(jì)算的公式。由于 （5-39）上式中第二

10、項(xiàng)數(shù)值很小，可忽略。第一項(xiàng)當(dāng)間距不大時(shí)，可視同呈線性變化，故可取平均值代替。路線上的正常重力也可近似等于點(diǎn)的，因此上式變?yōu)?（5-40）求積分，得 （5-41）上式即為重力異常改正項(xiàng)的計(jì)算公式。為便于計(jì)算，還可作進(jìn)一步改化，若令并把此式代入上式，則得 （5-42）令 （5-43） （5-44）則得 （5-45）此式為計(jì)算重力異常項(xiàng)改正的最后公式。計(jì)算時(shí)以毫伽（mGal）為單位，取至0.1mGal。是兩點(diǎn)間的高差，取整米，的單位與相同。 從上可見(jiàn)，正常高與正高不同，它不是地面點(diǎn)到大地水準(zhǔn)面的距離，而是地面點(diǎn)到一個(gè)與大地水準(zhǔn)面極為接近的基準(zhǔn)面的距離，這個(gè)基準(zhǔn)面稱為似大地水準(zhǔn)面。因此，似大地水準(zhǔn)面是由地面沿垂線向下量取正常高所得的點(diǎn)形成的連續(xù)曲面，它不是水準(zhǔn)面，只是用以計(jì)算的輔助面。因此，我們可以把正常高定義為以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面的高程。 下面我們來(lái)分析一下正高和正常高二者