必修一上函數(shù)性質(zhì)單調(diào)性奇偶性題型

1、百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我第3講函數(shù)性質(zhì)一、函數(shù)的單調(diào)性1.增函數(shù)、減函數(shù)定義 設(shè)函數(shù)y f (x)的定義域?yàn)榧螴 ：增函數(shù)定義如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間 D上的任意兩個(gè)自變量的值xi、X2 ,當(dāng)x X2時(shí)，都有f(x1) f(x2),那么就說在f(x)這個(gè)區(qū)間D上是增函數(shù);減函數(shù)定義如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間 D上的任意兩個(gè)自變量的值為、x2 ,當(dāng)x x2時(shí)，都有f(xi) f (x2),那么就說f (x)在這個(gè)區(qū)間D上是減函數(shù).2.單調(diào)函數(shù)、單調(diào)區(qū)間定義如果函數(shù)y f(x)在區(qū)間D是增函數(shù)或減函數(shù)， 那么就說函數(shù)y f(x)這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y f(x

2、)的單調(diào)區(qū)間.3.增函數(shù)、減函數(shù)的等價(jià)定義任取 xi,x2 a,b,則等價(jià)定義1f(x) f(x2)0xi x2f(xi) f(x2)0X x2f (x)在a,b上是增函數(shù);f(x)在a,b上是減函數(shù).等價(jià)定義2供 x2)f(x) f(x2) 0f(x)在a,b上是增函數(shù);(xi x2) f (xi)f (x2) 0 f (x)在a,b上是減函數(shù).4.對(duì)單調(diào)性概念的理解:(i)函數(shù)的單調(diào)性只能在定義域內(nèi)討論，可以是整個(gè)定義域，也可以是定義域的某個(gè)區(qū)間.(2)有些函數(shù)在其定義域內(nèi)不具有單調(diào)性，如y x' y x2； /有些函數(shù)在其整個(gè)定義域內(nèi)都具有單調(diào)性，如y x, y x3；(3)當(dāng)函

3、數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)，區(qū)間包不包括端點(diǎn)都可以，但習(xí)慣上寫成閉區(qū)間的形式；因?yàn)閷?duì)于單獨(dú)的一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以區(qū)間端點(diǎn)處不具有單調(diào)性;ii百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我(4)函數(shù)單調(diào)性定義中的 xi、X2應(yīng)取自同一單調(diào)區(qū)間且具有任意性；(5)在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖像是上升的，減函數(shù)的圖像是下降的；5 .定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟/任取，作差、變形(一般是因式分解、配方、分子或分母有理化),判斷符號(hào)，結(jié)論.6 .復(fù)合函數(shù)分析法/設(shè)？Skip Record If£?, ?Skip Record If？Skip Record If.?, ?Skip R

4、ecord If.?Skip Record If.?在？Skip Record If.?上也是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性由“同增異減”來確定，即“里外”函數(shù)增減性相同，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，“里外”函數(shù)的增減性相反，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。如下表：題型一：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，常用以下四種方法。1.定義法【例1】 試用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f(x) * 在區(qū)間(0, 1)上的單調(diào)性.X 1【例2】證明函數(shù)y X3在定義域上是增函數(shù).【例3】 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù) f(x)x3 1在(，)上是減函數(shù).【例4】 證明函數(shù)f(x)、/x在定義域上是減函數(shù).22百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我【例5】 討論函數(shù)

5、f(x) -x( 1 x 1)的單調(diào)性. x 11 、【例6】求函數(shù)f(x)=x+ 的單調(diào)區(qū)間。 x【例7】求證：函數(shù)f(x) x a (a 0)在(Ta,)上是增函數(shù)x1【例8】 已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，對(duì) xCR有f(x)>0 ,且f(5)=1 ,設(shè)F(x尸f(x)+ ,討論F (x)的f(x)單調(diào)性，并證明你的結(jié)論?！纠?】 已知函數(shù)f (x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x, y均有f(x y) f (x) f(y).且當(dāng)x>0時(shí)，f(x) 0 ,試判斷f (x)的單調(diào)性，并說明理由.33百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我【例10 已知給定函數(shù)f(x)對(duì)于任意正數(shù)x, y都有f(xy)

6、= f(x) f(y),且f(x)w0,當(dāng)x 1時(shí)，f (x) 1 .試判斷f(x)在(0,)上的單調(diào)性，并說明理由./2.圖象法【例11如圖是定義在區(qū)間5, 5上的函數(shù)y f(x),根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？【例12】求函數(shù)y 1 2x| 2 x的單調(diào)減區(qū)間44百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我【例13】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：,、，、1 ，、 y | x 1| ; y x ( x 0). x【例14】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：2 y |x 1| |2x 4| ； y x 2|x| 3【例15作出函數(shù)y |x2 x|的圖象，并結(jié)合圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間.【

7、例16】畫出下列函數(shù)圖象并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間22 y x 2| x | 1(2) y | x 2x 3|3.求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例17】求函數(shù)y -1 的單調(diào)區(qū)間.x x 255百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我【例18】討論函數(shù)y "x 2x 3的單調(diào)性.題型二：利用單調(diào)性求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍【例19】設(shè)函數(shù)f (x) (2a 1)x b是R上的減函數(shù)，則a的范圍為()B. aC. a【例20】函數(shù)y x2bx c(x 0,)是單調(diào)函數(shù)的充要條件是(A. b 0 B. b 0C. b 0D . b 0【例21】已知f(x)A. (0,1)C.五，-2a (ax a x) ( a

8、0且a w 1)是R上的增函數(shù).則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a 2 B. (0, 1)|J 五,/D. (0, 1)|J 收).66百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我題型三：函數(shù)的單調(diào)性與方程、不等式【例22 已知f(x)在區(qū)間()上是減函數(shù),/ a, b R且a b 0,則下列表達(dá)正確的是(A. f(a)f(b)f(a) f(b)C. f (a) f(b)f(a)/f(b)B. f(a) f(b) f( a) f( b)D. f(a) f(b) f( a). f( b)【例23若f(x)是R上的減函數(shù),且f (x)的圖象經(jīng)過點(diǎn) A(0 , 3)和點(diǎn)B(3 ,1),則不等式| f (x 1) 1| 2的

9、解集為( ).A . (,3)B . (,2)C. (0, 3) D. ( 1,2)77【例24 設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對(duì) m、(1)求證:f(0) 1;(3)求證：f(x)在R上是減函數(shù);n R恒有 f (m n) f (m) f (n),且當(dāng) x 0 時(shí)，0 f (x) 1。(2)證明：x R時(shí)恒有f (x) 0 ；(4)若 f (x) f (2 x) 1 ,求 x 的范圍?！纠?5 設(shè)f(x)是定義在(0,)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足 f(xy) f(x) f (y), f(3) 1求：(1) f (1); (2)1當(dāng) f(x) f (x 8) 2時(shí) x 的取值范圍.【例26】已知f(

10、x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(?) f(x)/f(y). y /求證：f(1) 0, f(xy) f (x) f(y);百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我1若f(2) 1 ,解不等式f(x) f() 2.x 3【例27】設(shè)n 1, f(x)是定義在有限集合A 1, 2, 3, M|, n上的單調(diào)遞增函數(shù)，且對(duì)任何f(x)f(y)f(x)f(y).那么，(A. n 2B. n 3 C. n 4題型四：函數(shù)的最值【例28】求函數(shù)f(x)1x 一 , x 0的取小值.x88【例29】求函數(shù)y xx_1 Wx 1的最小值.【例30】求函數(shù)y Jx 1 Jx1的最值.百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我二、

11、函數(shù)的奇偶性1 .奇函數(shù)定義/如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有f( x) f(x),那么函數(shù)f(x)就叫奇函數(shù).2 .偶函數(shù)定義/如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f( x) f(x),那么函數(shù)f(x)就叫偶函數(shù)、3 .函數(shù)的奇偶性定義如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則稱這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)具有奇偶性.注：(1)函數(shù)可分為奇函數(shù)、偶函數(shù)、既奇又偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù).(2)奇函數(shù)、偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(3 )定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f (x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件.4 .判斷函數(shù)奇偶性的步驟先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的條件下，再根據(jù)f( x)與f(

12、x)的關(guān)系做出判斷,為了便于判斷，有時(shí)需要將函數(shù)進(jìn)行化簡.5 .判斷函數(shù)奇偶性的方法/(1)奇偶性定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要方法./(2)為了便于判斷，有時(shí)將函數(shù)解析式化簡后利用奇偶性定義的等價(jià)形式：/f( x) f (x) 0函數(shù)為奇函數(shù)； f( x) 1函數(shù)為奇函數(shù)(f(x) 0); f( x) f (x) 0 函數(shù)為偶函數(shù);f(x)立) 1 函數(shù)為偶函數(shù)(f(x) 0)./f(x)(3)根據(jù)函數(shù)圖像的對(duì)稱性判斷奇偶性：/圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)是偶函數(shù).(4)利用基本函數(shù)的奇偶性結(jié)論判斷(具體內(nèi)容見后面附錄二)99百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我(5)由任意

13、一個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)f(x),均可構(gòu)造出一個(gè)奇函數(shù) g(x) f(x) f( x)/2、一個(gè)偶函數(shù) h(x) f(x) f( x)/2 .(6)利用以下結(jié)論判斷奇偶性：/奇函數(shù)土奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)土偶函數(shù) 二偶函數(shù)，奇函數(shù)x奇函數(shù) =偶函數(shù)，奇函數(shù)x偶函數(shù) 二奇，偶函數(shù)x偶函數(shù)=偶函數(shù)等./'5.有關(guān)函數(shù)奇偶性的結(jié)論(1 )奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間內(nèi)具有相同的單調(diào)性(如果具有單調(diào)性)(2)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性(如果具有單調(diào)性)(3)若奇函數(shù)f(x)在x 0處有定義，則f(0) 0.(4)若f(x) 0,且f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)既

14、是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).目如隹典例分析/題型一：判斷函數(shù)奇偶性1.判斷函數(shù)奇偶性可以直接用定義，"而在某些情況下判斷 f(x) f(-x)是否為0是判斷函數(shù)奇偶性的一個(gè)重要技 巧，比較便于判斷.【例1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：/y 1; x.,42_ y x x 2 ； y x3 x ；1010百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我(4) yx31 .【例2】判斷下列函數(shù)的奇偶性:4 f(x) x ；55,、1 f(x) x ； f (x) x x,、1 f(x) x【例3】判斷下列根式函數(shù)的奇偶性并說明理由:(1)f(x) (x 1)卜(2)f(x尸x2 1 x-1(3)x2 1 x+11

15、111【例4】判別下列函數(shù)的奇偶性：(1) f(x) x2 5|x|；(2) f(x) |x 1| |x 1|;(3) f(x) x2 x3.、x2 1 x-1【例5】判斷函數(shù)f(x)= :一的奇偶性.x2 1 x+1百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我(2) 函數(shù)奇偶性的定義，有下面的結(jié)論：在公共定義域內(nèi)(1 )兩個(gè)偶函數(shù)之和(積)為偶函數(shù)；/八、(2)兩個(gè)奇函數(shù)之和為奇函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)之積為偶函數(shù)；(3) 一個(gè)奇函數(shù)和偶函數(shù)之積為奇函數(shù).3【例6】/若函數(shù)f(x尸(x x)g(x)是偶函數(shù)，且f(x)不恒為零，判斷函數(shù) g(x)的奇偶性.【例7】 函數(shù)y f(x)與y g(x)有相同的定義域，

16、對(duì)定義域中任何x,有f (x) f( x) 0, g(x)g( x) 1,則F(x)2f(x)g(x) 1f(x)是(A.奇函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)B.偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)題型二：求解析式與函數(shù)值1212百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我1 .利用函數(shù)奇偶性可求函數(shù)解析式.【例8】 設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x 0,)時(shí)，f(x) x(1 次)，那么當(dāng)x (,0)時(shí)，f (x)=.【例9】 已知偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)xR時(shí)，f(x)= x2 3x-1 ,求f(x)的解析式.設(shè) x<0,則一x>0【例10】已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng) x 0時(shí)f(x) x(1

17、 x).求函數(shù)f(x)的解析式.【例11】已知函數(shù)f(x) (m2 1)x2 (m 1)x n 2,當(dāng)m,n為何值時(shí)，f(x)是奇函數(shù)?【例12】已知f(x)是偶函數(shù)，x 0時(shí)，f (x)2x2 4x,求x 0時(shí)f(x)的解析式.【例13】已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x 0時(shí)，f(x) x2 x 2,求f(x)的解析式.1313百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我【例14】y f(x)圖象關(guān)于x 1對(duì)稱，當(dāng)xwi時(shí)，f(x) x2 1 ,求當(dāng)x 1時(shí)f(x)的表達(dá)式.ax 1【例15】已知函數(shù)f(x) -(a,b,c Z)是奇函數(shù)，且f 2, f (2) 3,求a,b,c的值. bx c2

18、 .對(duì)于函數(shù)奇偶性有如下結(jié)論：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)函數(shù)f(x)都可表示成一個(gè)偶函數(shù)和一個(gè)奇函數(shù)之和.-1 _即 f(x)= 一 F(x)+G(x)其中 F(x) = f(x)+ f(-x),G(x) = f(x) -f(-x)2利用這一結(jié)論，可以簡捷的解決一些問題.x2 x【例16】te義在R上的函數(shù)f(x)= -2,可表不成一個(gè)偶函數(shù)g(x)和一個(gè)奇函數(shù)h(x)之和，求g(x) , h(x).x 1【例17】已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)并且f (x) g(x) x 1 ,則求f (x)與g(x)的表達(dá)式.1414百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我1【例18】已知f(x)是前函

19、數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x) g(x) ,求f (x)、g(x).x 13.利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)值【例 19】已知 f(x)x2 ax3bx 8且 f( 2) 10,.求 f(2).【例20】 若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f (0) =若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(3) 2,且對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有f(x 4) f (x),則f(25)= 、設(shè)函數(shù)y f(x) (x R且x 0)對(duì)任意非零實(shí)數(shù) XE滿足f(x x2) f(xj “x2),則函數(shù)y f (x)是(指明函數(shù)的奇偶性)【例 21 已知函數(shù) f (x)2x3x .若x1、x2、x3R 且 x1x20 ,x2x30 ,x3x1 0 .則 f (為)f (x2)f (x3)(),、 /A.大于零 B.小于零 C.等于零D.大于零或小于零/x3 | x | 2x2 x【例22】設(shè)函數(shù)f(x) x | x2-x的最大值為M ,最小值為m,則M與m滿足().2x |x|A. Mm2 B.Mm4/C. M m 2D. M m 4/【例23】函數(shù)f(x)在R上有定義，且滿足f(x)是偶函數(shù)；f(0) 2005;g(x) f (x 1)是奇函數(shù)；求f (2005