數(shù)學(xué)九年級(jí)教材下冊(cè)變式題

1、九年級(jí)下冊(cè)·課本亮題拾貝261 二次函數(shù)題目 如圖，四邊形的兩條對(duì)角線AC、BD互相垂直，AC + BD =10，當(dāng)AC、BD的長(zhǎng)是多少時(shí)，四邊形ABCD的面積最大？（人教課本P1810題）分析 閱讀理解題意，抓住AC與BD的位置關(guān)系（ACBD）和數(shù)量關(guān)系（AC + BD = 10）去表達(dá)四邊形ABCD的面積解 設(shè)AC與BD相交于O，AC = x，則BD = 10x（0x10），因?yàn)樗倪呅蜛BCD的兩條對(duì)角線AC與BD互相垂直，所以四邊形ABCD的面積=因此，當(dāng)AC = x = 5，BD = 5時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，為 戊點(diǎn)評(píng) 由于多邊形的面積一般是轉(zhuǎn)化為三角形的面積解決的，

2、所以當(dāng)題目文字和圖形中有了垂直關(guān)系時(shí)，自然就聯(lián)想到三角形的面積等于底乘以高的一半（底與高垂直），借助于主元思想，設(shè)AC = x，則BD = 10x，則就可以統(tǒng)一用x來(lái)表達(dá)四邊形ABCD的面積等一些量演變變式1 （圖形變式）已知平面上兩條線段AC、BD互相垂直，AC + BD = 10，問(wèn)當(dāng)AC、BD的長(zhǎng)是多少時(shí)，多邊形ABCD的面積最大？并畫出此時(shí)多邊形可能具有的形狀A(yù)BC(D)ABCDBACDBACDCABDO分析 由于四邊形具有對(duì)角線垂直且相等的特征，所以作出其圖形形狀（含特殊情況）如下：DBACO甲 乙 丙 丁解 如圖甲、乙、丙、丁，問(wèn)題顯然如上圖戊，設(shè)AC的延長(zhǎng)線與BD相交于O，AC

3、= x，則BD = 10x，（0x10），因?yàn)樗倪呅蜛BCD的兩條對(duì)角線AC與BD互相垂直，所以四邊形ABCD的面積S = SABDSCBD =因此，當(dāng)AC = x = 5，BD = 5時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，為CABD說(shuō)明：如圖所示，構(gòu)成的多邊形ABDC，就沒(méi)有最大值根據(jù)解答，將題目中的關(guān)系特征抽象出來(lái)，即得：變式2 （關(guān)系變式）已知 x、y都是正數(shù)，如果和x + y是定值S，那么當(dāng)x = y時(shí)，積xy有最大值這是一個(gè)有著十分廣泛應(yīng)用的結(jié)論（均值定理）由x + y = S，得y = Sx，代入xy中有，xy = x（Sx）=x2 + Sx =，結(jié)論正確變式3 （問(wèn)題推廣）如圖，四邊形的

4、兩條對(duì)角線AC、BD所成的角為a，AC + BD = m，問(wèn)當(dāng)AC、BD的長(zhǎng)等于多少時(shí)，四邊形ABCD的面積最大？DBACEFOa解 過(guò)A、C作AEBD，CFBD，E、F是垂足，則四邊形ABCD的面積為 S = SABD + SCBD =BD·AE +BD·CF =BD（AE + CF）=BD（AO· sina + CO· sina）=BD（AO + CO）sina =BD·AC·sina， 當(dāng)BD = AC =m時(shí)，S最大，為26.2 用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程題目 拋物線y = ax2 + bx + c與x軸的公共點(diǎn)是A（1，0）、

5、B（3，0），求這條拋物線的對(duì)稱軸（人教課本P23 4題）解 拋物線y = ax2 + bx + c與x軸的公共點(diǎn)是A（1，0）、B（3，0）， 解得 拋物線的方程為y = ax22ax3a = a（x22x3）=a（x1）24a（a0），因此，所求拋物線的對(duì)稱軸為x = 1另法 拋物線y = ax2 + bx + c與x軸的公共點(diǎn)是A（1，0）、B（3，0）， 拋物線的方程可設(shè)為y = a（x + 1）（x3），a0，即 y =a（x22x3）=a（x1）24a（a0），所以，拋物線的對(duì)稱軸為x = 1法三 由于拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的，且其對(duì)稱軸x = h與x軸垂直， 對(duì)稱軸必過(guò)點(diǎn)A（1，

6、0）、B（3，0）的中點(diǎn)，為h（1）= 3h，得點(diǎn)評(píng) 本題已知簡(jiǎn)潔，結(jié)論明了，似乎沒(méi)有什么可挖掘或拓廣的其實(shí)題目乃平中見(jiàn)奇，內(nèi)涵豐富，不但解法多樣，而且數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想貫穿其中，若要畫圖，還需分a0和a0討論適當(dāng)改變條件，可得出許多新穎的題目來(lái)（如變式4這種開放題）演變變式1 已知拋物線y = ax2 + bx + c與x軸的公共點(diǎn)是A（1，0）、B（3，0），與y軸的公共點(diǎn)是C，頂點(diǎn)是D（1）若ABC是直角三角形，則a = ；（2）若ABD是直角三角形，則a = 解 在草稿紙上畫出大致圖象，可知（1）若ABC是直角三角形，則直角頂點(diǎn)只能是C， C（0，c），即C（0，3a），于是

7、（3a）2 = 1×3，解得a =±1（2）若ABD是直角三角形，則直角頂點(diǎn)只能是D， D（0，4a），于是由 2（4a）= 4，解得a =±變式2 已知拋物線y = ax2 + bx + c與x軸的公共點(diǎn)是A（1，0）、B（3，0），與y軸的公共點(diǎn)是C，頂點(diǎn)是D問(wèn)是否存在非零常數(shù)a，使A、B、C、D在一個(gè)圓上？解 假設(shè)存在非零常數(shù)a，使A、B、C、D在一個(gè)圓上，則圓心E必在拋物線的對(duì)稱軸x = 1上，于是令E（1，m），則DE=m + 4a，AE=BE=，CE=由E到A、B、C、D的距離相等，得m + 4a=，經(jīng)求解知，不存在非零常數(shù)a，使上式成立，因此表明，不

8、存在非零常數(shù)a，使A、B、C、D在一個(gè)圓上變式3 已知拋物線y = ax2 + bx + c與x軸的公共點(diǎn)是A（1，0）、B（3，0），與y軸的公共點(diǎn)是C，頂點(diǎn)是D若四邊形ABDC的面積為2，求拋物線的解析式解 作出示意圖，設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E則 BDE的面積為EB·DE =×2×4a= 4a；AOC的面積為AO·CO =×1×3a=a；直角梯形OCDE的面積為（CO + DE）· OE =（3a+4a）· 1 =a；從而四邊形ABDC的面積等于 4a+a+a= 9a= 18， a =±2因此，拋物線

9、的解析式為y = 2x24x6 或 y =2x2 + 4x + 6變式4 已知二次函數(shù)y = ax2 + bx + c（a0）的圖象如圖，你能根據(jù)圖象所提供的信息得出哪些結(jié)論呢？試一試-1Oyxx=13-1Oyxx=13-1Oyxx=13（1）（2009麗水）已知二次函數(shù)y = ax2 + bx + c（a0）的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論： a0 該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x = 1對(duì)稱 當(dāng)x =1或x = 3時(shí)，函數(shù)y的值都等于0其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）BA3 B2 C1 D0（2）（2009南充）拋物線y = a（x + 1）（x3）（a0）的對(duì)稱軸是直線（ ）AAx = 1 Bx =1 Cx

10、 =3 Dx = 3（3）（2009南寧）已知二次函數(shù)y = ax2 + bx + c（a0）的圖象-3Oyx1如圖所示，有下列四個(gè)結(jié)論： b0 c0 b24ac0 ab+c0 其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）CA1個(gè)B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)（4）（2009寧夏）二次函數(shù)y = ax2 + bx + c（a0）的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線x = 1，則下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）DAc0 B2a + b = 0 Cb24ac0 Dab + c0（5）（2009慶陽(yáng)）如圖為二次函數(shù)y = ax2 + bx + c（a0）的圖象，給出下列說(shuō)法： ab0 方程ax2 + bx + c = 0的根為x1 =1，x2

11、 = 3 a + b + c0 當(dāng)x1時(shí)，y隨x值的增大而增大 當(dāng)y0時(shí)，1x3-1Oyxx=13其中，正確的說(shuō)法有 （請(qǐng)寫出所有正確說(shuō)法的序號(hào)）（6）（2009內(nèi)江）如圖所示，已知點(diǎn)A（1，0），B（3，0），C（0，t），且t0，tanBAC = 3，拋物線經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)P（2，m）是拋物線與直線l：y = k（x + 1）的一個(gè)交點(diǎn) 求拋物線的解析式； 對(duì)于動(dòng)點(diǎn)Q（1，n），求PQ + QB的最小值； 若動(dòng)點(diǎn)M在直線l上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，求AMP的邊AP上的高h(yuǎn)的最大值（限于篇幅，解答略去，下同）OACBxy（7）（2009武漢）如圖，拋物線y = ax2 + bx4a經(jīng)過(guò)A（1

12、，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B 求拋物線的解析式； 已知點(diǎn)D（m，m + 1）在第一象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)； 在的條件下，連接BD，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且DBP = 45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（8）（2009安順）如圖，已知拋物線與x交于A（1，0）、E（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，3） 求拋物線的解析式； 設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D，求四邊形AEDB的面積； AOB與DBE是否相似？如果相似，請(qǐng)給以證明；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由OABExyDOACBxy1（9）（2009威海）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0）（0，3）

13、，過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸為直線l，D為對(duì)稱軸l上一動(dòng)點(diǎn) 求拋物線的解析式； 求當(dāng)AD + CD最小時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)； 以點(diǎn)A為圓心，以AD為半徑作A）證明：當(dāng)AD + CD最小時(shí)，直線BD與A相切）寫出直線BD與A相切時(shí)，D點(diǎn)的另一個(gè)坐標(biāo)：_（10）（2009牡丹江）如圖二次函數(shù)y = x2 + bx + c的圖象經(jīng)過(guò)A（1，0）和B（3，0）兩點(diǎn)，且交y軸于點(diǎn)C 試確定b、c的值； 過(guò)點(diǎn)C作CDx軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)M為此拋物線的頂點(diǎn)，試確定MCD的形狀（11）（2009十堰）如圖，已知拋物線y = ax2 + bx + 3（a0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)

14、C 求拋物線的解析式； 設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，問(wèn)在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使CMP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由OBCAxyM 如圖，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)OBCAxy26.3 實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)題目 某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件市場(chǎng)調(diào)查反映：如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期要少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？（人教課本P25探究1）分析 調(diào)整價(jià)格包括漲價(jià)和降價(jià)兩種情況看看漲價(jià)的情況

15、：設(shè)每件漲價(jià)x元，則每星期售出商品的利潤(rùn)y隨之變化漲價(jià)x元時(shí)，每星期少賣10x件，實(shí)際賣出（30010x）件，銷售額為（60 + x）（30010x）元，買進(jìn)商品需要付40（30010x）元，因此所得利潤(rùn)y =（60 + x）（30010x）40（30010x）解 （1）設(shè)每件漲價(jià)x元，每星期售出商品的利潤(rùn)y隨x的變化為：y =（60 + x）（30010x）40（30010x），自變量x的取值范圍是0x30 y =10x2 + 100x + 6000 =10（x5）2 + 6250，因此當(dāng)x = 5時(shí)，y的最大值為6250（2）設(shè)每件降價(jià)x元，每星期售出商品的利潤(rùn)y隨x的變化為：y =（60

16、x40）（300 + 20x），自變量x的取值范圍是0x20 y =20x2 + 100x + 6000 =20（x2.5）2 + 6125，因此當(dāng)x = 2.5時(shí)，y的最大值為6125（3）每件60元銷售（即不漲不降），每星期可賣出300件，其利潤(rùn)y =（6040）×300 = 6000元綜上所述，當(dāng)商品賣價(jià)定位45元時(shí)，一周能獲得最大利潤(rùn)6250點(diǎn)評(píng) 本問(wèn)題是一道較復(fù)雜的市場(chǎng)營(yíng)銷問(wèn)題，不能直接建立函數(shù)模型，需要采用分情況討論，建立函數(shù)關(guān)系式，在每個(gè)不同情況下，必須注意自變量的取值范圍，以便在這個(gè)取值范圍內(nèi)，考查函數(shù)的性態(tài)（最大最小，變化情況，對(duì)稱性，特殊點(diǎn)等）和圖象，然后比較選擇

17、，作出結(jié)論演變變式1 某賓館有50個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為每天180元時(shí)，房間會(huì)全部住滿當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑如果游客居住房間，賓館需對(duì)每個(gè)房間每天支付20元的各種費(fèi)用房間定位多少時(shí)，賓館利潤(rùn)最大？（課本28頁(yè)第6題）解 設(shè)每個(gè)房間每天的定價(jià)增加10x元，則有x個(gè)房間空閑，于是賓館利潤(rùn)y =（180 + 10x）（50x）20（50x），其中0x50 y =10（x234x800）=10（x17）2 + 10890當(dāng)x = 17時(shí)，y取得最大值10890元，即房?jī)r(jià)定為350元間時(shí)，賓館利潤(rùn)最大變式2 （2008綿陽(yáng)）青年企業(yè)家劉敏準(zhǔn)備在北川禹里鄉(xiāng)投資修

18、建一個(gè)有30個(gè)房間供旅客住宿的旅游度假村，并將其全部利潤(rùn)用于災(zāi)后重建據(jù)測(cè)算，若每個(gè)房間的定價(jià)為60元天，房間將會(huì)住滿；若每個(gè)房間的定價(jià)每增加5元天時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑度假村對(duì)旅客住宿的房間將支出各種費(fèi)用20元天·間（沒(méi)住宿的不支出）問(wèn)房?jī)r(jià)每天定為多少時(shí)，度假村的利潤(rùn)最大？ 解 設(shè)每天的房?jī)r(jià)為60 + 5x元，則有x個(gè)房間空閑，已住宿了30x個(gè)房間于是度假村的利潤(rùn) y =（30x）（60 + 5x）20（30x），其中0x30 y =（30x）· 5 ·（8 + x）= 5（240 + 22xx2）=5（x11）2 + 1805因此，當(dāng)x = 11時(shí)，y取得最大值

19、1805元，即每天房?jī)r(jià)定為115元間時(shí)，度假村的利潤(rùn)最大另法 設(shè)每天的房?jī)r(jià)為x元，利潤(rùn)y元滿足=（60x210，是5的倍數(shù)）法三 設(shè)房?jī)r(jià)定為每間增加x元，利潤(rùn)y元滿足=（0x150，是5的倍數(shù)）變式3 （2009武漢）某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件；如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣10件（每件售價(jià)不能高于65元）設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤(rùn)為y元（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大的月利潤(rùn)是多少元？（3）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)

20、恰為2200元？根據(jù)以上結(jié)論，請(qǐng)你直接寫出售價(jià)在什么范圍時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2200元？解 （1）y =（21010x）（50 + x40）=10x2 + 110x + 2100（0x15且x為整數(shù)）（2）y =10（x5.5）2 + 2402.5， 當(dāng)x = 5.5時(shí)，y有最大值2402.5 0x15，且x為整數(shù)，當(dāng)x = 5或x = 6時(shí)，y = 2400（元） 當(dāng)售價(jià)定為每件55或56元，每個(gè)月的利潤(rùn)最大，最大的月利潤(rùn)是2400元（3）當(dāng) y = 2200時(shí)，10x2 + 110x + 2100 = 2200，解得x = 1或x = 10 當(dāng)售價(jià)定為每件51或60元，每個(gè)月的利潤(rùn)為22

21、00元當(dāng)售價(jià)不低于51或60元，每個(gè)月的利潤(rùn)為2200元當(dāng)售價(jià)不低于51元且不高于60元且為整數(shù)時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2200元（或當(dāng)售價(jià)分別為51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2200元）變式4 （2009黔東南州）凱里市某大型酒店有包房100間，在每天晚餐營(yíng)業(yè)時(shí)間，每間包房收包房費(fèi)100元時(shí)，包房便可全部租出；若每間包房收費(fèi)提高20元，則減少10間包房租出，若每間包房收費(fèi)再提高20元，則再減少10間包房租出，以每次提高20元的這種方法變化下去（1）設(shè)每間包房收費(fèi)提高x（元），則每間包房的收入為y1（元），但會(huì)減少y2間包房租出，請(qǐng)分別寫出y1

22、、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式（2）為了投資少而利潤(rùn)大，每間包房提高x（元）后，設(shè)酒店老板每天晚餐包房總收入為y（元），請(qǐng)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求出每間包房每天晚餐應(yīng)提高多少元可獲得最大包房費(fèi)收入，并說(shuō)明理由解 （1）y1 = 100 + x，（2）y =（100 + x）（100），即 y =（x50）2 + 11250，因?yàn)樘醿r(jià)前包房費(fèi)總收入為100×100 = 10000當(dāng)x = 50時(shí)，可獲最大包房收入11250元，因?yàn)?125010000又因?yàn)槊看翁醿r(jià)為20元，所以每間包房晚餐應(yīng)提高40元或60元變式5 （2009煙臺(tái)）某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)為2000元的冰箱以2400元售出，平均

23、每天能售出8臺(tái)，為了配合國(guó)家“家電下鄉(xiāng)”政策的實(shí)施，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施調(diào)查表明：這種冰箱的售價(jià)每降低50元，平均每天就能多售出4臺(tái)（1）假設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元，商場(chǎng)每天銷售這種冰箱的利潤(rùn)是y元，請(qǐng)寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（不要求寫自變量的取值范圍）（2）商場(chǎng)要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時(shí)又要使百姓得到實(shí)惠，每臺(tái)冰箱應(yīng)降價(jià)多少元？（3）每臺(tái)冰箱降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)每天銷售這種冰箱的利潤(rùn)最高？最高利潤(rùn)是多少？解 （1）根據(jù)題意，得，即（2）由題意，得，整理，得 x2300x + 20000 = 0解這個(gè)方程，得x1 = 100，x2 = 200要使百姓得到實(shí)惠，取x = 20

24、0，所以，每臺(tái)冰箱應(yīng)降價(jià)200元（3）=，當(dāng)每臺(tái)冰箱的售價(jià)降價(jià)150元時(shí)，商場(chǎng)的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是5000元變式6 （2009濟(jì)寧）某體育用品商店購(gòu)進(jìn)一批滑板，每件進(jìn)價(jià)為100元，售價(jià)為130元，每星期可賣出80件商家決定降價(jià)促銷，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每降價(jià)5元，每星期可多賣出20件（1）求商家降價(jià)前每星期的銷售利潤(rùn)為多少元？（2）降價(jià)后，商家要使每星期的銷售利潤(rùn)最大，應(yīng)將售價(jià)定為多少元？最大銷售利潤(rùn)是多少？解 （1）（130100）×80 = 2400（元）（2）設(shè)應(yīng)將售價(jià)定為x元，則銷售利潤(rùn)=4x2 + 1000x60000 =4（x125）2 + 2500當(dāng)x = 125時(shí)，y有最

25、大值2500， 應(yīng)將售價(jià)定為125元，最大銷售利潤(rùn)是2500元變式7 （2009濱州）某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元當(dāng)售價(jià)為每件60元時(shí)，每星期可賣出300件，現(xiàn)需降價(jià)處理，且經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查：每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件在確保盈利的前提下，解答下列問(wèn)題：（1）若設(shè)每件降價(jià)x元、每星期售出商品的利潤(rùn)為y元，請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)降價(jià)多少元時(shí)，每星期的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（3）請(qǐng)畫出上述函數(shù)的大致圖象27.1 圖形的相似題目 如圖，將一張矩形紙片沿較長(zhǎng)邊的中點(diǎn)對(duì)折，如果得到的兩個(gè)矩形都和原來(lái)的矩形相似，那么原來(lái)矩形的長(zhǎng)寬比是多少？將這張紙?jiān)偃绱藢?duì)折下去，得到的

26、矩形都相似嗎？（人教課本P41 8題）解 設(shè)矩形紙片的較長(zhǎng)邊為a，較短邊為b，則ab，且b沿較長(zhǎng)邊的中點(diǎn)對(duì)折，得到了兩個(gè)矩形都和原來(lái)的矩形相似，從而有兩個(gè)小矩形是全等的，和原來(lái)的矩形相似的比為:b = b:a，所以a:b =:1，為原來(lái)矩形的長(zhǎng)寬比再折下去，得到的矩形都相似點(diǎn)評(píng) 矩形是有一個(gè)角為直角的平行四邊形（長(zhǎng)方形）它具有平行四邊形的所有性質(zhì)（它既然是特殊的平行四邊形，那么它就應(yīng)該有自己特有的性質(zhì)）；矩形是軸對(duì)稱圖形，有2條對(duì)稱軸（非正方形）；矩形的四個(gè)角都是直角；矩形的對(duì)角線相等且互相平分演變變式1 已知一個(gè)矩形長(zhǎng)與寬的比為，如果將矩形沿較長(zhǎng)邊的中點(diǎn)對(duì)折，得到的兩個(gè)全等的小矩形，那么它們

27、都和原來(lái)的矩形相似變式2 將一張矩形紙片沿過(guò)其中心的直線對(duì)折，得到兩個(gè)圖形（直角三角形或直角梯形）全等（相似，相似比等于1）說(shuō)明 此種情況的折法不需要長(zhǎng)寬比的限制變式3 （2009濟(jì)寧）如圖，在長(zhǎng)為8 cm、寬為4 cm的矩形中，截去一個(gè)矩形，使得留下的矩形（圖中陰影部分）與原矩形相似，則留下矩形的面積是（ ）CA2 cm2 B4 cm2 C8 cm2 D16 cm2變式4 mnnn（2009山西）如圖（1），把一個(gè)長(zhǎng)為m、寬為n的長(zhǎng)方形（mn）沿虛線剪開，拼接成圖（2），成為在一角去掉一個(gè)小正方形后的一個(gè)大正方形，則去掉的小正方形的邊長(zhǎng)為（ ）AA Bmn C D變式5 （2009濟(jì)南）如圖

28、，矩形ABCD中，AB = 3，BC = 5過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)O作OEAC交AD于E，則AE的長(zhǎng)是（ D ）A1.6 B2.5 C3D3.4變式6 （2009涼山）如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使C落在C 處，BC 交AD于E，則下列結(jié)論不一定成立的是（ C ）AAD = BC BEBD =EDBCABECBD DBAECDCOBAECDABCDP甲乙丙丁變式7 （2009臺(tái)灣）如圖，過(guò)P點(diǎn)的兩直線將矩形ABCD分成甲、乙、丙、丁四個(gè)矩形，其中P在AC上，且AP:PC =AD:AB = 4:3下列對(duì)于矩形是否相似的判斷，何者正確？（ ）AA甲、乙不相似 B甲、丁不相似C丙、乙相似 D丙、丁相

29、似變式8 （2009杭州）如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長(zhǎng)分別是3和4及x，那么x的值（ ）BA只有1個(gè) B可以有2個(gè) C有2個(gè)以上但有限 D有無(wú)數(shù)個(gè)變式9 xyxyyxxy（2009安徽）如圖，將正方形沿圖中虛線（其中xy）剪成四塊圖形，用這四塊圖形恰能拼成一個(gè)矩形（非正方形）（1）畫出拼成的矩形的簡(jiǎn)圖；（2）求的值解 （1）說(shuō)明：其它正確拼法可相應(yīng)賦分（2）由拼圖前后的面積相等得：，因?yàn)閥0，整理，得 ，解得 （負(fù)值不合題意，舍去）另法 由拼成的矩形，可知，以下同解法一272 相似三角形CABD題目 如圖，RtABC中，CD是斜邊上的高，ACD和CB

30、D都和ABC相似嗎？證明你的結(jié)論（課本49頁(yè)練習(xí)第2題）分析 利用它們的對(duì)應(yīng)角分別相等，證明它們相似證明 略點(diǎn)評(píng) 這個(gè)問(wèn)題可以表述為：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三形相似，這也是直角三角形相似的常用判定方法該圖形是平面幾何中最基本的圖形之一，稱為母子三角形演變CABD變式1 如原題目和圖形，求證：解 由 RtACDRtABCRtCBD 得AC2 = AD · AB，BC2 = BD · AB，CD2 = AD · BD， ，因此 變式2 如圖，ABC中，CD是邊AB上的高，且，求C的大?。ㄕn本P57頁(yè)15題）解 由已知條件可得 RtACDRtCB

31、D，從而A與BCD互余，BCD與ACD互余，故 C = 90°PDCABO變式3 如圖，CD是O的弦，AB是直徑，CDAB，垂足為P，求證：PC2 = PA · PB（課本P72頁(yè)8題）證明 連結(jié)AC，BC， AB是O的直徑，CDAB， CPABPD，可得 ，從而 PC2 = PA · PB變式4 （2009牡丹江）如圖，ABC中，CDAB于D，一定能確定ABC為直角三角形的條件的個(gè)數(shù)是（ ）C 1 =A B +2 = 90° BC:AC:AB = 3:4:5 AC · BD = BC · AD21DACBA1 B2 C3 D4變式5

32、 （2009梧州）如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AFDE于點(diǎn)O，則等于（ ）DOECDAFBA B C D變式6 （2009山西）在RtABC中，ACB = 90°，BC = 3，AC = 4，AB的垂直平分線DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則CE的長(zhǎng)為（ ）BA B C D2變式7 CEDOAB（2009呼和浩特）如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C在圓上，CDAB，DEBC，則圖中與ABC相似的三角形的個(gè)數(shù)有（ ）AA4個(gè) B3個(gè) C2個(gè) D1個(gè)變式8 （2009東營(yíng)）將三角形紙片（ABC）按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，記為點(diǎn)B，折痕為EF已知AB = AC = 3，BC

33、= 4，若以點(diǎn)B，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，那么BF的長(zhǎng)度是 或2變式9 BAEDFC（2009長(zhǎng)春）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AD、DC上，ABEDEF，AB = 6，AE = 9，DE = 2，求EF的長(zhǎng)解 四邊形ABCD是矩形，AB = 6， A =D = 90°，DC = AB = 6又 AE = 9， 在RtABE中，由勾股定理，得 BE = ABEDEF， ，即 ， 解得 EF =變式10 （2009常德）如圖，ABC內(nèi)接于O，AD是ABC的邊BC上的高，AE是O的直徑，連接BE，ABE與ADC相似嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論解 ABE 與ADC相似在ABE與

34、ADC中，CBEDOAE AE是O的直徑， ABE = 90°， AD是ABC的邊BC上的高， ADC = 90°， ABE =ADC又 同弧所對(duì)的圓周角相等， BEA =DCA， ABEADC變式11 （2009泰安）如圖，ABC是直角三角形，ACB = 90°，CDAB于D，E是AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F（1）求證：FD2 = FB · FC；（2）若G是BC的中點(diǎn)，連接GD，GD與EF垂直嗎？并說(shuō)明理由GBEADCF證明 （1） E是RtACD斜邊中點(diǎn)， DE = EA， A =ADE BDF =ADE， BDF =A FDC

35、=CDB +BDF = 90° +BDF，F(xiàn)BD =ACB +A = 90° +A， FDC =FBD F是公共角， FBDFDC， ， FD2 = FB · FC（2）GDEF DG是RtCDB斜邊上的中線， DG = GC， CDG =DCG由（1）得 DCG =BDF， CDG =BDF CDG +BDG = 90°， BDG +BDF = 90°， DGEF27.3 位似2DABCCAOxyBD2題目 如圖，四邊形ABCD的坐標(biāo)分別為A（6，6），B（8，2），C（4，0），D（2，4），畫出它的一個(gè)以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為的位似圖

36、形分析 問(wèn)題的關(guān)鍵是要確定位似圖形各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)位似圖形的坐標(biāo)規(guī)律性，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A 的坐標(biāo)為（6×，6×），即（3，3）類似的，可以確定其它頂點(diǎn)的坐標(biāo)解 如圖，利用位似圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律，分別取點(diǎn)A（3，3），B（4，1），C（2，0），D（1，2）依次連接點(diǎn)A、B、C、D，則四邊形ABCD就是要求四邊形ABCD的位似圖形點(diǎn)評(píng) 在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或k演變變式1 試判斷四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由解 在平面直角坐標(biāo)系中，作出四邊形ABCD，知點(diǎn)A、B、C、D分別在四條直線y =

37、 6，x =8，y = 0，x =2所構(gòu)成的一個(gè)正方形四邊上，且對(duì)應(yīng)排列，可知四邊形ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為，中心在（5，5）變式2 求四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1的面積（答案：20平方單位和5平方單位）變式3 求四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)到原點(diǎn)的距離？解 四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，縱坐標(biāo)為3，于是它到原點(diǎn)的距離為變式4 試作出四邊形ABCD關(guān)于原點(diǎn)、點(diǎn)（0，2）、x軸、直線y = x的對(duì)稱圖形（略）變式5 求過(guò)點(diǎn)B、C的一次函數(shù)的解析式 （答案：）變式6 求過(guò)點(diǎn)A、B、D的二次函數(shù)的解析式 （答案：）變式7 求過(guò)點(diǎn)D的反比例函數(shù)與線段BC的交點(diǎn)坐標(biāo)（答案：（，

38、）變式8 （2009舟山）ABC中，A，B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0）以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作ABC的位似圖形，并把ABC的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)的2倍，記所得的象是ABC設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B 的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是（ ）DA B C D變式9 （2009宜賓）若一個(gè)圖形的面積為2，那么將它與成中心對(duì)稱的圖形放大為原來(lái)的兩倍后的圖形面積為（ ）AA8 B6 C4 D2281 銳角三角函數(shù)CAB5題目 在RtABC中，C = 90°，BC = 5，sinA = 0.7，求cosA、tanA的值（課本P85頁(yè)8題）解 作出示意圖，把已知和圖形結(jié)合起來(lái) C = 90&#

39、176;， ， 即 從而 ， ，點(diǎn)評(píng) （1）解答直角三角形的邊角關(guān)系題目時(shí)，首先要抓住在哪一個(gè)直角三角形中（為防止出借，常常要根據(jù)題意作出圖形，并由圖想式），然后聯(lián)想銳角三角函數(shù)的定義，寫出邊角關(guān)系式；最后結(jié)合勾股定理、直角三角中銳角互余和已知條件求解在運(yùn)算過(guò)程中，要注意因數(shù)分解、約分等策略，不要急著化簡(jiǎn)（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可知sin2A + cos2A = 1，據(jù)此可立得結(jié)論所以本題在銳角三角形前提下，已知條件C = 90°，BC = 5是多余的演變變式1 在RtABC中，C = 90°，BC = 5，sinA = 0.7，解這個(gè)直角三角形（見(jiàn)上）變式2 已知A

40、BC是銳角三角形，且sinA = 0.7，求cosA、tanA的值ED1CAB解 畫出滿足sinA = 0.7一個(gè)ABC（示意圖），在AB上取AD = 1，過(guò)D作DEAC于E，則在RtADE中，得 DE = AD sinA = 0.7， ，因此 ，變式3 （2009湖州）在RtABC中，ACB = Rt，BC = 1，AB = 2，則下列結(jié)論正確的是（ ）DAB C D變式4 （2009益陽(yáng)）先鋒村準(zhǔn)備在坡角為a 的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（ ）BA B C D變式5 （2009溫州）ABC中，C = 90°，AB = 8，cosA

41、 =，則AC的長(zhǎng)是 628.2 解直角三角形題目 多年來(lái)，很多船只、飛機(jī)都在大西洋的一個(gè)區(qū)域內(nèi)神秘失蹤，這個(gè)區(qū)域稱為百慕大三角根據(jù)圖中標(biāo)出的百慕大三角的位置，計(jì)算百慕大三角的面積（精確到100 km2，sin64° = 0.8988，cos64° = 0.4384）（課本97頁(yè)第10題）分析 解決這個(gè)問(wèn)題的難點(diǎn)在于如何構(gòu)造直角三角形結(jié)合文字和圖形，理解、區(qū)分 “百慕大島”與“百慕大三角”，弄清楚方位角的大小和關(guān)聯(lián)解 由圖中所標(biāo)的有關(guān)數(shù)據(jù)，可知，AB = 1700，AC = 2720，ÐA = 62° + 54° = 116°，延長(zhǎng)CA

42、，過(guò)B作BDCA，D為垂足，則 ÐBAD = 180°116° = 64°在RtABD中，BD = AB sinÐBAD，ABCD 百慕大三角ABC的面積= SBCDSBAD=ABCE=（km2）另法 同上法，延長(zhǎng)BA，過(guò)C作CEBA于E，則 =ABCGF法三 過(guò)A作FG直于南北走向線（如圖），則在RtABG中，AB = 1700，AC = 2720，ÐABG = 62°，所以 AG = AB = sin 62°，BG = AB cos 62°同理，AF = AC sin 54°，CF = AC

43、 cos 54°于是百慕大三角ABC的面積 S = S直角梯形BCFGSRtABGSRtACF=（km2）點(diǎn)評(píng) 利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路為：畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題（常常需要作垂線），選用銳角三角函數(shù)解有關(guān)量，得出答案（注意驗(yàn)證）演變BACDacb變式1 如圖，ABC的面積為 ，即三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦的積的一半解 作三角形的高BD在RtBDA中，則 BD = AB sinA ， 同理，變式2 ABC中，已知兩邊AC = b，BC = a和夾角C，試用a、b、C來(lái)表示AB2解 過(guò)B作BDAC，垂足為D，則D在AC或其延長(zhǎng)線上不妨設(shè)D

44、在AC上BACDab在RtBCD中，有 BD = a sinC，CD = a cosC， AD = ba cosC在RtABD中，由勾股定理，得 AB2 = AD2 + BD2， AB2 =（ba cosC）2 +（a sinC）2 = b2 + a2（cos2C + sin2C）2ab cosC= a2 + b22ab cosC變式3 （2009寧波）在坡屋頂?shù)脑O(shè)計(jì)圖中，AB = AC，屋頂?shù)膶挾葹?0米，坡角a 這35°，則坡屋頂?shù)母叨萮為 米3.5變式4 （2009成都）某中學(xué)九年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)“直角三角形的邊角關(guān)系”一章時(shí)，開展測(cè)量物體高度的實(shí)踐活動(dòng)，他們要測(cè)CBDA量學(xué)校一幢教學(xué)樓的高度如圖，他們先在點(diǎn)C測(cè)得教學(xué)樓AB的頂點(diǎn)A的仰角為30°，然后向教學(xué)樓前進(jìn)60米到達(dá)點(diǎn)D，又測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)，求出這幢教學(xué)樓的高度（計(jì)算過(guò)程和結(jié)果均不取近似值）（答案：30 + 30）60°北東CDAEBl76°變式5 （2009江蘇）如圖，在航線l的兩側(cè)分別有觀測(cè)點(diǎn)A和B，點(diǎn)A到航線l的距離為2 km，點(diǎn)B位于點(diǎn)A北偏東60°方向且與A相距10 km處現(xiàn)有一艘輪船從位于點(diǎn)B南偏西76°方向的C處，正沿該航線自西向東航行，5 min后該輪船行至點(diǎn)北東A的正北方向的D處