曲線的切線和法面密切面

1、1.2 曲線的切向量、切線和法面、密切平面假設(shè)中的三個(gè)分量具有我們所需要的各階導(dǎo)數(shù)。z一、切向量的定義及求法（1） 定義如圖設(shè)是該曲線上的一點(diǎn)，記為，給一個(gè)增量，考慮曲線上的另外一點(diǎn)記 ， ；令，如圖，當(dāng)點(diǎn)沿著曲線向無限靠近時(shí)，如果有著確定的極限，那么這個(gè)極限就可以定義為曲線在點(diǎn)處的切向量。也就是說，定義為曲線的切向量，用來表示。（2）切向量的求法 因?yàn)?，令得。特別，對平面曲線，：，切向量為切線的斜率。曲線切向量為切線的斜率。平面曲線的切線方程和法線方程。例 1、求圓的切向量。解：切向量是所以，這表明與垂直。二、切線方程曲線在點(diǎn)處的切線方程為，這稱為切線方程的點(diǎn)向式。三、曲線的法平面經(jīng)過切點(diǎn)而

2、垂直于切線的平面，稱為曲線的法平面或法面。下面導(dǎo)出曲線的法平面方程。設(shè)曲線上一點(diǎn)，它所對應(yīng)的參數(shù)為，點(diǎn)的向徑是，是法面上的任一點(diǎn)，則由，得， 若設(shè)，則得法面方程為。四、光滑曲線 定義 8.2 設(shè)曲線，如果，則稱是曲線的一個(gè)奇點(diǎn)。如果,稱為是曲線的一個(gè)正則點(diǎn)（或正常點(diǎn)）。例如 ，是曲線的一個(gè)奇點(diǎn)，其它點(diǎn)為正則點(diǎn)。由 ，得，在處不可導(dǎo)。畫出曲線圖象。例 曲線，當(dāng)時(shí)，有，均為曲線的奇點(diǎn)，其它點(diǎn)為正則點(diǎn)畫出曲線圖形。注：，是奇點(diǎn)，不是奇點(diǎn)，表示同一條曲線，原因是變換不是正則的。定義 如果曲線全由正則點(diǎn)組成，則稱這條曲線是一條正則曲線。設(shè)曲線，如果切向量的三個(gè)分量都是上的連續(xù)函數(shù)，并且，則稱曲線是一條光

3、滑曲線。設(shè)曲線（），如果在上連續(xù)，并且，則稱曲線是一條光滑曲線。如果曲線表示式（）中的函數(shù)是階連續(xù)可微的函數(shù)，則把這曲線稱為類曲線。記號，等的涵義。例如：圓柱螺線是一條光滑曲線，且是類曲線（任意正整數(shù)）。（這種曲線，也稱為無窮次光滑曲線。） 分段光滑的曲線概念。分段光滑的曲線的圖例，出現(xiàn)被使用的場合。例1 . 求曲線在點(diǎn)處的切線和法平面方程.解 因及點(diǎn)對應(yīng)參數(shù) 所以曲線在點(diǎn)M處的切向量為 于是所求的切線方程為；法平面方程為即 例2 、 求曲線上平行于直線的切線方程.解 已知直線的方向向量由于曲線的切向量 平行于向量 所以 解得 切點(diǎn)坐標(biāo)為切向量為 所以切線方程為 即 例3. 設(shè)曲線在任一點(diǎn)的法

4、平面都過原點(diǎn), 證明此曲線必在以原點(diǎn)為球心的某個(gè)球面上.解 任取曲線上一點(diǎn)曲線過該點(diǎn)的法平面方程為: 由于法平面過原點(diǎn)，得 于是 ，即曲線在球面上.例4 .設(shè)參數(shù)曲線段，它的分量和在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，并且對，有，我們稱由與兩點(diǎn)決定的直線段為這條參數(shù)曲線段的弦.求證：曲線上至少有一點(diǎn)使得曲線在這點(diǎn)上的切線與弦平行. 證: 由柯西中值定理,存在,使得, 弦的斜率為,曲線上點(diǎn)處的切線斜率為, 兩者相等, 故弦線與點(diǎn)處的切線平行, 結(jié)果得證.五、空間曲線的密切平面 經(jīng)過上面的討論， 我們知道，在類曲線的正常點(diǎn)處，總存在一條切線，它是最貼近曲線的直線。下面我們將指出，對于一條類空間曲線而言，過曲線上一點(diǎn)

5、有無數(shù)多個(gè)切平面，其中有一個(gè)最貼近曲線的切平面，它在討論曲線的性質(zhì)時(shí)起很重要的作用。 定義1 過空間曲線上點(diǎn)的切線和點(diǎn)鄰近一點(diǎn)可作一平面，當(dāng)點(diǎn)沿著曲線趨于時(shí)，平面的極限位置稱為曲線在點(diǎn)的密切平面。 現(xiàn)在我們找出密切平面的方程。 給出類的空間曲線： 。設(shè)曲線上的和點(diǎn)分別對應(yīng)參數(shù)和。 根據(jù)泰勒公式，有 ，其中，。 因?yàn)橄蛄亢投荚谄矫嫔希运鼈兊木€性組合也在平面上。當(dāng)點(diǎn)沿著曲線趨于時(shí)，這時(shí)不動(dòng)，但，這個(gè)線性組合向量就趨于，所以平面的極限位置是向量和所確定的平面。 也就是說，如果和不平行，即，這兩個(gè)向量及點(diǎn)就完全確定了曲線在點(diǎn)的密切平面。根據(jù)以上的討論，曲線在點(diǎn)的密切平面的方程是，其中表示點(diǎn)的密切平

6、面上任意一點(diǎn)的向徑。 上式也可以用行列式表示為 。定義2 給出類的空間曲線： 。設(shè)曲線上的和點(diǎn)分別對應(yīng)參數(shù)和。過點(diǎn)作由張成的切平面，當(dāng)點(diǎn)沿著曲線趨于時(shí)，平面的極限位置稱為曲線在點(diǎn)的密切平面。 現(xiàn)在我們找出密切平面的方程。的方程為，其法方向?yàn)?，?dāng)點(diǎn)沿著曲線趨于時(shí)，平面的法向量的極限為，就是的法方向，故曲線在點(diǎn)的密切平面的方程是，其中表示點(diǎn)的密切平面上任意一點(diǎn)的向徑。密切平面的幾何意義： 設(shè)曲線上的和點(diǎn)分別對應(yīng)參數(shù)和。過點(diǎn)作一平面，考查點(diǎn)到平面的距離的接近情況，設(shè)為平面的單位法向量，由作平面的垂線，垂足為，則，其中從平面到點(diǎn)有向距離。由于， ，其中，。 所以有，欲使，需要，此時(shí)可為任一過切線的平面；欲使，需要，也就是需要的法方向?yàn)?，此時(shí)的平面是一個(gè)切平面