有限元分析綜合

1、有限元復(fù)習(xí)寶典 重點(diǎn)掌握一般問題的描述、模型簡(jiǎn)化、有限元的基本思想及分析原理、位移法求解基本過程、位移函數(shù)構(gòu)造、單元特性、有限元計(jì)算的具體操作（單元?jiǎng)傟囆纬?、總綱陣組裝）、邊界條件處理（載荷等效/邊界約束施加）、有限元分析的具體操作一基本概念1. 平面應(yīng)力/平面應(yīng)變問題；空間問題/軸對(duì)稱問題；板殼問題；桿梁?jiǎn)栴}；溫度場(chǎng)；線性問題/非線性問題（材料非線性/幾何非線性）等平面應(yīng)力問題（1） 均勻薄板（2）載荷平行于板面且沿厚度方向均勻分布在六個(gè)應(yīng)力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三個(gè)應(yīng)力分量，即 （）。一般，并不一定等于零，但可由及求得，在分析問題時(shí)不必考慮。于是只需要考慮三個(gè)應(yīng)變分量即

2、可。平面應(yīng)變問題（1） 縱向很長，且橫截面沿縱向不變。（2）載荷平行于橫截面且沿縱向均勻分布只剩下三個(gè)應(yīng)變分量。也只需要考慮三個(gè)應(yīng)力分量即可軸對(duì)稱問題物體的幾何形狀、約束情況及所受外力都對(duì)稱于空間的某一根軸軸對(duì)稱單元的特點(diǎn)（與平面三角形單元的區(qū)別）：軸對(duì)稱單元為圓環(huán)體，單元與單元間為節(jié)圓相連接；節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)載荷是施加于節(jié)圓上的均布力；單元邊界是一回轉(zhuǎn)面；板殼問題一個(gè)方向的尺寸比另外兩個(gè)方向尺寸小很多，且能承受彎矩的結(jié)構(gòu)稱為板殼結(jié)構(gòu)，并把平分板殼結(jié)構(gòu)上下表面的面稱為中面。如果中面是平面或平面組成的折平面，則稱為平板；反之，中面為曲面的稱為殼。桿梁?jiǎn)栴}桿梁結(jié)構(gòu)是指長度遠(yuǎn)大于其橫斷面尺寸的構(gòu)件組成的

3、系統(tǒng)。在結(jié)構(gòu)力學(xué)中常將承受軸力或扭矩的桿件成為桿，而將承受橫向力和彎矩的桿件稱為梁。線性問題/非線性問題線性問題：基于小變形假設(shè)他，應(yīng)力與應(yīng)變，應(yīng)力與位移，平衡方程都是線性的。非線性問題：材料非線性(非線性彈性、非線性彈塑性)，幾何非線性（大變形大應(yīng)變?nèi)缃饘傧鹉z，小應(yīng)變大位移如薄壁結(jié)構(gòu)）空間問題、溫度場(chǎng)問題，略2. 不同類型單元的節(jié)點(diǎn)自由度的理解和不同單元連接的處理不同類型單元的節(jié)點(diǎn)自由度：?jiǎn)卧愋凸?jié)點(diǎn)數(shù)節(jié)點(diǎn)自由度桿單元21梁?jiǎn)卧?3平面單元32平面四邊形42軸對(duì)稱問題32板殼單元43四面體單元43不同單元連接的處理如果兩相鄰單元在連接處節(jié)點(diǎn)重合且節(jié)點(diǎn)自由度相同，可直接連接，則此時(shí)不同單元的剛

4、度矩陣可類似單一單元分析一樣直接組集。如果兩相鄰單元在連接處節(jié)點(diǎn)不重合、或節(jié)點(diǎn)自由度不同則要特別處理，處理的基本條件是保證相鄰單元的連接節(jié)點(diǎn)的自由度相容，相鄰單元在連接的交界面上的位移協(xié)調(diào)。(1) 節(jié)點(diǎn)不重合的單元連接（單元類型相同節(jié)點(diǎn)不重合）略。(2) 節(jié)點(diǎn)自由度不同的連接（單元類型不同）桿-梁連接 將桿單元節(jié)點(diǎn)自由度擴(kuò)展，或引入特殊單元梁-平面單元連接 人為將梁?jiǎn)卧由煲欢?或人為建立平面單元上s、m處的位移與梁?jiǎn)卧狝節(jié)點(diǎn)位移的約束關(guān)系3. 有限元法的基本思想（二次近似）與有限元分析的基本步驟（5步）有限元法的基本思想：先將求解域離散為有限個(gè)單元，單元與單元只在節(jié)點(diǎn)相互連接-即原始連續(xù)求解

5、域用有限個(gè)單元的集合近似代替（第一次近似）；對(duì)每個(gè)單元選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的場(chǎng)函數(shù)近似表示真實(shí)場(chǎng)函數(shù)在其上的分布規(guī)律，該簡(jiǎn)單函數(shù)可由單元節(jié)點(diǎn)上物理量來表示-通常稱為插值函數(shù)或位移函數(shù)（第二近似）；基于問題的基本方程，建立單元節(jié)點(diǎn)的平衡方程（即單元?jiǎng)偠确匠蹋?；借助于矩陣表示，把所有單元的剛度方程組合成整體的剛度方程，這是一組以節(jié)點(diǎn)物理量為未知量的線形方程組，引入邊界條件求解該方程組。有限元分析的基本步驟：數(shù)學(xué)建模（問題分析），結(jié)構(gòu)離散（第一次近似），單元分析（位移函數(shù)，單剛方程）（第二次近似），整體分析與求解（總剛方程，引入約束，解方程組求節(jié)點(diǎn)位移，根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求應(yīng)力），結(jié)果分析及后處理。4. 里茲法的

6、基本思想及與有限元法區(qū)別里茲法的基本思想：先根據(jù)描述問題的微分方程和相應(yīng)定解條件構(gòu)造等價(jià)的泛函變分形式，然后在整個(gè)求解區(qū)域上假設(shè)一個(gè)試探函數(shù)（或近似函數(shù)），通過求解泛函極值來獲得原問題的近似解。與有限元法的區(qū)別：里茲法是整體場(chǎng)函數(shù)用近似函數(shù)代替，有限元法是離散求解域，分片連續(xù)函數(shù)來近似整體未知場(chǎng)函數(shù)。5. 有限元法的基本定義（節(jié)點(diǎn)、單元、節(jié)點(diǎn)力、節(jié)點(diǎn)載荷）單元：即原始結(jié)構(gòu)離散后，滿足一定幾何特性和物理特性的最小結(jié)構(gòu)域節(jié)點(diǎn)：?jiǎn)卧c單元間的連接點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)力：?jiǎn)卧c單元間通過節(jié)點(diǎn)的相互作用力節(jié)點(diǎn)載荷：作用于節(jié)點(diǎn)上的外載（等效）。6. 位移函數(shù)的構(gòu)造方法及基本條件構(gòu)造方法：（1）廣義坐標(biāo)法，按照帕斯卡三

7、角形選擇多項(xiàng)式，項(xiàng)數(shù)多少由單元的自由度數(shù)決定。（2）插值函數(shù)法，表示為形函數(shù)和節(jié)點(diǎn)位移的乘積表示。基本條件：（1）位移函數(shù)在單元節(jié)點(diǎn)的值應(yīng)等于節(jié)點(diǎn)位移（即單元內(nèi)部是連續(xù)的）；（2）所選位移函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實(shí)解。7. 位移函數(shù)的收斂性條件（協(xié)調(diào)元、非協(xié)調(diào)元）及單元協(xié)調(diào)性的判斷位移函數(shù)的收斂性條件（1）位移函數(shù)應(yīng)包含剛體位移（2）位移函數(shù)應(yīng)包含常量應(yīng)變（反映單元的常應(yīng)變狀態(tài)）（3）位移函數(shù)在單元內(nèi)連續(xù)，在單元之間的邊界上要協(xié)調(diào)滿足1和2稱為完備單元，滿足1，2，3稱為協(xié)調(diào)單元。單元協(xié)調(diào)性的判斷以3節(jié)點(diǎn)三角形單元為例，位移分量在每個(gè)單元中都是坐標(biāo)的線性函數(shù)的話，在公共邊界上也會(huì)是線性變

8、化的，那么相鄰單元在公共邊界上的任意一點(diǎn)都具有相同的位移，也就是協(xié)調(diào)單元。8. 有限元解的性質(zhì)有限元解具有下限性質(zhì)，即有限元的解小于實(shí)際的精確解。這是因?yàn)閷?shí)際結(jié)構(gòu)本來是具有無限自由度的，當(dāng)用有限元求解時(shí)，結(jié)構(gòu)被離散為有限個(gè)單元的集合后，便只有有限個(gè)自由度了。由無限自由度變?yōu)橛邢拮杂啥瓤梢哉J(rèn)為是對(duì)真實(shí)位移函數(shù)增加了約束，限制了結(jié)構(gòu)的變形能力，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的剛度增大、計(jì)算的位移減小。9. 彈性力學(xué)的幾個(gè)基本概念（位移、應(yīng)力、應(yīng)變等）位移，變形后位置；應(yīng)變，變形程度；應(yīng)力，受力狀態(tài)。10. 彈性力學(xué)的基本方程（平衡方程、幾何方程、物理方程）（注意基本假設(shè)/與非線性對(duì)比），彈性力學(xué)基本方程的求解方法基

9、本假設(shè)：物質(zhì)是連續(xù)，均勻，完全彈性，各向同性，小變形平衡方程：幾何方程：物理方程：11. 虛功原理、最小勢(shì)能原理及變分法（里茲法）虛功原理：在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的虛剛體位移時(shí)，體系上所有的主動(dòng)力在虛位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒等于零。最小勢(shì)能原理：表明在滿足位移邊界條件的所有可能位移中，實(shí)際發(fā)生的位移使彈性體的勢(shì)能最小。12. 形函數(shù)特性1)形函數(shù)Ni 為x、y 坐標(biāo)的函數(shù)，與位移函數(shù)有相同的階次。2)形函數(shù)Ni 在i 節(jié)點(diǎn)處的值等于1，而在其他節(jié)點(diǎn)上的值為0。3)單元內(nèi)任一點(diǎn)的形函數(shù)之和恒等于1。4)形函數(shù)的值在0-1 間變化。13.

10、 單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)及元素的物理意義單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)：(1)對(duì)稱性（2）奇異性，|K|=0（3）主對(duì)角線元素恒為正值（4）奇偶行元素之和分別為零（各行或各列元素之和為零）物理意義：?jiǎn)卧獎(jiǎng)傟嘖的物理意義是單元受節(jié)點(diǎn)力作用后抗變形的能力。其中分塊矩陣Kij的物理意義為：當(dāng)在j節(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生單位位移而其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，在i節(jié)點(diǎn)上需要作用力的大小。其中元素Kij表示在第j號(hào)自由度上產(chǎn)生單位位移時(shí)，其他自由度位移為零時(shí)，在i號(hào)自由度上所需要施加的力的大小。單元?jiǎng)偠染仃嚨脑乇硎驹搯卧母鞴?jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關(guān)，即不隨單元或

11、坐標(biāo)軸的平行移動(dòng)而改變。14. 常用單元的特性（如單元內(nèi)部邊界位移/應(yīng)變/應(yīng)力分布，相鄰單元邊界的協(xié)調(diào)性分析）（常應(yīng)變單元三角形/四面體；矩形單元；等參四邊形單元；矩形板單元）三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)為線性函數(shù)，則單元的應(yīng)變分量均為常量，故這類三角形單元稱為常應(yīng)變單元，位移在單元內(nèi)和邊界上為線性變化，在相鄰單元邊界處為連續(xù)。常應(yīng)變?nèi)切螁卧膽?yīng)變矩陣B為常量矩陣，說明在該單元上的應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)槌Ｖ?，在相鄰單元的邊界處，?yīng)變及應(yīng)力不連續(xù)，有突變。矩形單元：4 節(jié)點(diǎn)8自由度矩形單元。位移函數(shù)u=1+ 2 x+3 y+4 xyv=5+6 x+7 y+8 xy滿足收斂性條件，單元為協(xié)調(diào)單元。應(yīng)變矩陣B

12、是x,y的函數(shù)，應(yīng)力也是隨x，y線性變化的，應(yīng)力和應(yīng)變?cè)谙噜弳卧吔缣帪檫B續(xù)。15. 等參單元定義、存在條件及特性等參單元定義：即以規(guī)則形狀單元（如正四邊形、正六面體單元等）的位移函數(shù)相同階次函數(shù)為單元幾何邊界的變換函數(shù)，進(jìn)行坐標(biāo)變換所獲得的單元。由于單元幾何邊界的變換式與規(guī)則單元的位移函數(shù)有相同的節(jié)點(diǎn)參數(shù)，故稱由此獲得的單元為等參單元。存在的充要條件：|J|0附，為了保證能進(jìn)行等參變換(即總體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng))，通常要求總體坐標(biāo)系下的單元為凸，即不能有內(nèi)角大于或等于或接近180度情況。特性：等參單元為協(xié)調(diào)元，滿足有限元解收斂的充要條件。等參單元的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)單元邊界呈二次以上的曲線時(shí)，容易

13、用很少的單元去逼近曲線邊界。16. 邊界條件處理（載荷等效移置 集中力/均布力/線性分布力 邊界位移約束處理 固定/指定位移等）載荷等效移置連續(xù)彈性體離散為單元組合體時(shí)，為簡(jiǎn)化受力情況，需把彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點(diǎn)移置(分解)，而成為節(jié)點(diǎn)載荷。載荷移置的原則：能量等效（或靜力等效原則），即單元的實(shí)際載荷與移置后的節(jié)點(diǎn)載荷在相應(yīng)的虛位移上所做的虛功相等。集中力，移置到兩端節(jié)點(diǎn)，使得F1 L1 =F2 L 2，F(xiàn)1 +F2=F均布力，移置到兩端節(jié)點(diǎn)，F(xiàn)1 =F2=0.5qL線性分布力， F1=1/3 0.5qL ，F(xiàn)2=2/3 0.5qL邊界位移約束一絕對(duì)位移約束剛性支座（活動(dòng)鉸支，固定

14、鉸支，固接支座） 固定位移彈性支座（線彈性制作，非線性支座） 可變位移強(qiáng)迫約束 指定位移 用載荷等效，裝配應(yīng)力+整體應(yīng)力二相對(duì)位移約束 （如兩接觸面）1.約束等式2.耦合約束（連接重合節(jié)點(diǎn)，模擬滑動(dòng)邊界連接，施加周期對(duì)稱邊界條件）常見的位移約束問題處理約束不足的處理(1)利用對(duì)稱性引進(jìn)約束（取1/n后，在對(duì)稱面上施加位移約束）(2)轉(zhuǎn)換載荷為位移約束（受平衡載荷作用，將一部分載荷用位移約束代替）(3)人為增加約束（約束點(diǎn)應(yīng)盡量遠(yuǎn)離重要部位，約束點(diǎn)變形要相對(duì)?。┢渌?，桿離散為多個(gè)桿單元時(shí)，須在連接節(jié)點(diǎn)增加約束，只允許產(chǎn)生軸向位移。軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，施加軸向約束。過約束的處理有時(shí)需要施加過約束，有時(shí)需要

15、釋放過約束。17. 總體剛度矩陣組裝原則及總剛陣特點(diǎn)總體剛度矩陣組裝原則：1.在整體離散結(jié)構(gòu)變形后，應(yīng)保證各單元在節(jié)點(diǎn)處仍然協(xié)調(diào)地相互連接，即在該節(jié)點(diǎn)處所有單元在該節(jié)點(diǎn)上有相同位移。2.整體離散結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)應(yīng)滿足平衡條件。即環(huán)繞每個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有單元作用其上的節(jié)點(diǎn)力之和應(yīng)等于作用于該節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)載荷Ri?？倓傟囂攸c(diǎn)：除了具有單元?jiǎng)傟嚨奶攸c(diǎn)外，還有1.稀疏性，是指總剛矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零子塊只占一小部分。2.帶狀性，是指總剛矩陣中非零子塊集中在主對(duì)角線兩側(cè)，呈帶狀分布。（附，半帶寬B=（相關(guān)節(jié)點(diǎn)號(hào)最大差值+1）*節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)）18. 固有頻率與特征向量（振型）定義及理解、振型特性動(dòng)力方程廣義

16、特征值問題（K-2M）0=0特征方程K-2M=0的n個(gè)根稱為特征值，它們的平方根成為系統(tǒng)的固有頻率。由每個(gè)固有頻率r,求得的一組節(jié)點(diǎn)振幅不全為0的向量0(r)稱為特征向量，也稱為振型或模態(tài)向量。振型的形狀是唯一的，但其振幅不是唯一的；一個(gè)特征值可對(duì)應(yīng)有多個(gè)特征向量，但一個(gè)特征向量只對(duì)應(yīng)一個(gè)特征值。振型的正交性，任意兩個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量關(guān)于質(zhì)量矩陣或剛度矩陣正交。0sTM0s=0,rs二計(jì)算與證明1、 等效載荷計(jì)算2、 單元?jiǎng)傟囉?jì)算三節(jié)點(diǎn)等厚三角形單元，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)分別為（xi,yi）,（xj,yj）,（xm,ym）求出bi=yj-ym,ci=xm-xjbj=ym-yi,cj=xx-xmbm=y

17、i-yj,cm=xj-xi求得應(yīng)變矩陣B=12Abi0bj0bm00ci0cj0cmcibicjbjcmbm對(duì)于平面應(yīng)力問題有，彈性矩陣D=E1-21010001-2則單元?jiǎng)偠染仃嘖e=BTDBtA對(duì)于下圖所示的直角等邊三角形單元，3、 總體剛度矩陣及載荷向量組裝，約束條件的引入、整體方程的求解（包括約束反力計(jì)算）1） 結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)編碼稱為節(jié)點(diǎn)的總碼，各個(gè)單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)又按逆時(shí)針方向編為i,j,m,稱為節(jié)點(diǎn)的局部碼。在單元?jiǎng)偠染仃囍校压?jié)點(diǎn)的局部碼換成總碼，并把其中的子塊按照總碼次序重新排列。得到擴(kuò)大的單元?jiǎng)偠确匠?）據(jù)節(jié)點(diǎn)力平衡，各個(gè)單元相應(yīng)節(jié)點(diǎn)力疊加=節(jié)點(diǎn)載荷：3）整理可得整體平衡方程：，

18、其中K為將各單元的擴(kuò)大矩陣迭加所得出的結(jié)構(gòu)剛度矩陣約束反力計(jì)算約束反力只有在由引入約束的整體方程求出所有節(jié)點(diǎn)位移分量以后，然后回代到?jīng)]有引入約束條件的整體方程的相應(yīng)方程中才能求出。4、 單元形函數(shù)特性及單元協(xié)調(diào)性證明5、 振型正交性證明 略三建模與結(jié)果分析1. 影響有限元分析精度和成本的因素影響有限元解的誤差：1）離散誤差 2）位移函數(shù)誤差分析精度：A、單元階次B、單元數(shù)量C、劃分形狀規(guī)則的單元D、建立與實(shí)際相符的邊界條件E、減小模型規(guī)模F、避免出現(xiàn)“病態(tài)”方程組，當(dāng)總剛矩陣元素中各行或各列的值相差較大時(shí)，則總剛近似奇異。2. 有限元模型的基本構(gòu)成（節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)、單元數(shù)據(jù)、邊界條件等）節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)：節(jié)

19、點(diǎn)編號(hào)、坐標(biāo)值、坐標(biāo)參考系代碼、位移參考系代碼、節(jié)點(diǎn)數(shù)量、單元編號(hào)單元數(shù)據(jù)：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)、編號(hào)單元、材料特性碼、單元物理特性值碼、單元截面特性、相關(guān)幾何數(shù)據(jù)邊界條件數(shù)據(jù)：位移約束數(shù)據(jù)、載荷條件數(shù)據(jù)、熱邊界條件數(shù)據(jù)、其他邊界條件數(shù)據(jù)3. 有限元建模的常用方法理解及應(yīng)用（如細(xì)節(jié)處理、分步計(jì)算、局部計(jì)算、子結(jié)構(gòu)法、對(duì)稱性簡(jiǎn)化等）細(xì)節(jié)處理也稱為小特征處理，即刪除或抑制對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)性能影響不大的細(xì)小結(jié)構(gòu)。分步計(jì)算，如果結(jié)構(gòu)的局部存在相對(duì)尺寸非常小的細(xì)節(jié)，且又不能進(jìn)行細(xì)節(jié)處理，可采用分步計(jì)算來控制有限元模型的規(guī)模。局部處理就是從所建立的力學(xué)模型中抽取一部分出來進(jìn)行分析，該部分通常是研究者最關(guān)心的的危險(xiǎn)區(qū)域。子結(jié)

20、構(gòu)法是先將大型結(jié)構(gòu)分解為若干個(gè)結(jié)構(gòu)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域作為一個(gè)子結(jié)構(gòu)。子結(jié)構(gòu)被進(jìn)一步細(xì)分為單元，并人為地將子結(jié)構(gòu)上的節(jié)點(diǎn)劃分為邊界節(jié)點(diǎn)和內(nèi)部節(jié)點(diǎn)兩類.對(duì)稱性簡(jiǎn)化，對(duì)稱性分為反射對(duì)稱和周期對(duì)稱（1）反射對(duì)稱，受對(duì)稱載荷作用則對(duì)稱面上的位移條件為垂直于對(duì)稱面的移動(dòng)位移分量為零。繞平行于對(duì)稱面的兩相互垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)位移分量均為零。（2）反射對(duì)稱，受反對(duì)稱載荷作用則對(duì)稱面上的位移條件為平行于對(duì)稱面的移動(dòng)位移分量為零；繞方向矢量垂直于對(duì)稱面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)位移分量為零。（3）對(duì)稱結(jié)構(gòu)受任意載荷作用（迭加原理）（4）周期對(duì)稱的位移條件，周期對(duì)稱邊界上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)有相同的位移狀態(tài)4. 邊界約束條件的處理（見前）。5. 不同求解方案正確性或優(yōu)劣的判斷 略6. 單元類型選擇的一般原則選擇原則：同一問題所選單元應(yīng)使計(jì)算精度高、收斂速度快、計(jì)算量小。1、桿系結(jié)構(gòu)：a、鉸接連接時(shí)，選桿單元b、剛性連接時(shí)，選剛架單元2、平面結(jié)構(gòu)：a、外載平行于平面內(nèi)，選平面單元b、外載不在