最小淋雨量問題21

1、 2010年數學建模協會招新考核參賽隊員 (簽名) ： 2010年數學建模協會招新考核題 目 最小淋雨量問題 摘要本模型是研究生活中人在雨中行走時淋雨量的問題。人在雨中行走過程較為復雜，但我們可以通過忽略行走中身體的上下浮動及雙臂與腿部的擺動來將人體行走的運動簡化為一個較為規(guī)則的四棱柱的運動。也就是將人簡化為一個規(guī)則的，僅有長、寬、高的一個長方體，建立模型。本題中廣泛采用了微分方程模型，通過將人分為幾個平面，分別求得各個平面所接受的淋雨量，然后求其加和的方法求解。對于上表面，均采用降雨量與時間的微分（即單位時間內所接受的雨水量）建立關系，再通過求積分而得出問題所求解的函數關系式。而對于與雨水接

2、觸的側面，我們采用了化歸的思想，將人與雨水接觸的平面沿雨水的方向投影向地面，也就是說化歸為了一個求平面接觸雨水的問題，與上表面所采用的方法相同，同樣以降雨量與時間的微分建立微分方程，求解函數關系式。而對于較為復雜的第三問，我們以人的速度比雨的速度小，人的速度比雨的速度大，人的速度與雨的速度相同的三種情況討論，并分別求解，也就是說同樣化歸為了一個求平面與求側面淋雨量的情況。然后根據所得函數式，借助數學工具MATLAB求得所需函數圖形。第五問同樣采用歸元法，建立空間坐標軸，分解雨水為三個雨人的側面平行的方向，在分別求解即可。本題廣泛采用了化歸思想，將未解決的問題轉化為已解決問題，將較復雜的問題轉化

3、為較簡單問題，結合微分方程模型，使得原本較為復雜的問題顯得簡單，易懂。模型基本解決了現實中淋雨量的問題。而本模型的實際意義又不僅僅局限于現實中的淋雨問題，降雨同樣可以與氣流相類比，因此本模型有極大地現實意義，可廣泛拓展到工業(yè)、生產、生活領域。可用于計算以一定速度運動地機械承受的氣流量，同樣可用于計算建筑所承受的氣流量關鍵詞：長方體 淋雨量 微分方程模型 matlab 化歸思想1問題重述在人行進在雨中時，淋雨量和人行進速度之間是怎樣的關系。為了研究這個問題，假設一人在雨中從一處沿直線跑到另一處，雨速為常數且方向不變，但是雨水的下落方向存在差異，因此就雨水的方向建立數學模型討論是否跑得越快，淋雨量

4、越少。將人體簡化為一個長方體，高=1.5 m(頸部以下)，寬=0.5m，厚=0.2m，設跑步距離=1000m,跑步最大速度為=5m/s，雨速=4m/s，降雨量=2 cm/h，記跑步速度為,按以下步驟進行討論：（1） 不考慮雨的方向，設降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計跑完全 程的總淋雨量。（2） 雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內，且與人體的夾角為，如圖1。建立總淋雨量與速度v及參數, , , , , ， 之間的關系，問速度v為多大，總淋雨量最少。計算=0, =300時的總淋雨量。（3） 雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內，且與人體的夾角為，如圖2。建立總淋雨量與速度及參數,

5、, , , , , 之間的關系，問速度v多大，總淋雨量最少。計算300時的淋雨量。（4） 以總淋雨量為縱軸，速度為橫軸，對（3）作圖（考慮的影響），并解釋結果的實際意義。（5） 若雨線方向與跑步方向不在同一平面內，模型會有什么變化。圖1 圖2圖12基本假設（1）假設降雨面積相對地球面積較小，降雨地區(qū)的地面是平面。（2）假設降雨時，雨水基本是均勻分布在空間中的。（3）假設人在行進過程中是沒有上下浮動的。（4）假設人在行進過程中不是一步一步間斷地行進的而是均勻行進的。3 符號說明符號說明：1) 雨中人的身高2) 雨中人的寬度3) 雨中人的厚度4) 人奔跑的距離5) 雨的速度6) 雨與人之間的夾角7

6、) 問題（1）中矢量加和后雨水與人的夾角8) 雨水從背后下落與人行速度矢量作和后的夾角9) 問題（3）中雨水與人的夾角10) 問題2中雨水速度與人行速度矢量加和后雨與人所成的角度11) 人奔跑的速度12) 人奔跑的最大速度13) 每秒鐘每平方米接受的雨水厚度14) 空間中每立方米雨水的含量15) 人的上表面積16) 人的側面積17) 上表面接受的雨量18) 側面接受的雨量19) 人接受的總的雨量20) 問題一種陰影部分的面積21) 問題（3）第一個模型中陰影部分的面積22) 問題（3）第二個模型中陰影部分的面積23) 問題（2）中陰影部分的面積24) 常數4 模型建立與求解4.1 模型 14.

7、1.1 模型分析 人運動的速度決定了上表面暴露在雨中得時間，也就間接影響了人的總的淋雨量，而由于雨滴垂直下落，所以前表面淋雨量只與走過的路程有關。所以速度愈大，淋雨量愈小，這是個最優(yōu)解問題?？疾祛}干，這是一個實際對象的特性隨時間變化的過程，由此可用微分方程模型求解。4.1.2 模型建立 在微分方程中，上表面所淋雨對時間的導數即為單位時間內上表面所接受雨量，即得微分方程而在本題中，所以要求得淋雨量與速度的關系只需進行函數積分。又由分析可知側面所受雨量為一常數。所以僅需在方程后加上即可。即為前表面淋雨量，對于的求解，可以建立兩種模型，（1） 將雨水看做是均勻地分布在空間中的，單位體積內的雨量根據降

8、雨量可以求得：人行走在一個均勻布滿雨水的空間中，走過的體積乘以單位體積的雨量即為人的前表面的淋雨量，即（2） 以人為參考系，對人的速度和雨水的速度進行矢量加和，得圖：人的前表面單位時間的淋雨量即為陰影部分地面單位時間的淋雨量，陰影部分的面積為：陰影部分的淋雨量對時間的導數即為單位時間內上表面所接受雨量，即得微分方程4.1.3 模型求解 對方程進行積分運算求得即為前表面淋雨量，兩種方法所求的結果是相同的，均為：于是求得帶入數據得4.2模型24.2.1模型分析本模型用來解決問題二，人的速度不同影響上表面的淋雨時間，進而影響淋雨量。對于前表面，由于雨是迎著人下落的，可以將人作為參考系，這樣就可以將人

9、在水平方向的速度和雨水的速度矢量加和。通過作圖分析，人體前面的淋雨量可以等價于一定面積地面的降雨量，即人體前面的淋雨量也可以根據人行速度，以及降雨的角度，雨速建立微分方程。4.2.2模型建立（1）建立上表面淋雨量模型人的上表面的淋雨量對時間的導數即為單位時間內上表面接受的雨水量，即可建立淋雨量關于時間微分方程：而在本題中，所以要求上表面的淋雨量只需要對淋雨量與時間，時間與速度的函數進行積分，即可求得人體上表面接受的降雨量。（2）建立前表面的淋雨量模型只需要考慮人的前表面，畫出題目中的以人作為參考系，將人的水平方向的速度和雨的速度進行矢量加和，得圖： b人前表面的淋雨量即為陰影部分的淋雨量,陰影

10、部分的面積：前表面的淋雨量對時間的導數即為單位時間內陰影部分表面接受的雨水量，即可建立淋雨量關于時間微分方程：全程所用時間：所以要求人前表面的淋雨量即可對陰影部分的淋雨量與時間，時間與速度的函數進行積分，即可求得前表面的淋雨量。4.2.3模型求解通過分別對模型2中的前表面和上表面的函數進行積分，得到淋雨量與人行速度和降雨角度的關系式。對上表面微分方程進行積分得：對前表面微分方程進行積分得：其中中常數C和中的常數C均為0，因為淋雨量除了上表面和前表面的淋雨量沒有其他部位的淋雨量。而人的總的淋雨量等于前表面和上表面淋雨量的加和，即總淋雨量與速度及參數, , , , , , 之間的關系： 整理得：根

11、據分析，當人行的速度最大時總淋雨量最小。當=0時： =當=時： = 43模型34.3.3.1模型分析 對于問題3，雨從背面而來，左右表面不接受雨，因此將人的淋雨量分為兩個部分，即上表面接受的雨量和前（后）表面接受的雨量。同問題2一樣，上表面接受的雨量是相同的。根據分析，當人的速度大于雨速的水平分量時，人的前表面會沾雨后表面不沾雨；當人的速度小于雨速的水平分分量時，人的前表面不沾雨而后表面會沾雨。故以人作為參考系，將人的速度與雨的水平速度進行矢量加和，人的前（或后）表面接受的雨量即等價與沿著雨的方向將人投影到地面上對應的地面所接受的雨量。由此，可建立微分方程模型求解。4.3.2.2 模型建立 （

12、1）人的速度小于雨水的速度，人的后方淋雨。以人為參考系，將人的速度與雨水的速度合成，得到一新的雨水與人的夾角且滿足如下關系。 所以人投影到地面的面積為 對整個地面的淋雨量求時間的微分得到地面單位時間內接受的雨量 同樣，上表面接受的雨量滿足如下微分方程：（2） 模型求解 對 微分方程兩邊同時積分可得所以兩邊相加可得（3）模型建立當人的速度大于等于雨水在水平方向上的速度時，該模型與問題2相同，建立相同的模型求解。人的上表面的淋雨量對時間的導數即為單位時間內上表面接受的雨水量，即可建立淋雨量關于時間微分方程：而在本題中，所以要求上表面的淋雨量只需要對淋雨量與時間，時間與速度的函數進行積分，即可求得人

13、體上表面接受的降雨量。對于前表面，以人為參考系，對人的速度和雨速進行水平方向的矢量加和，得圖： 人的前表面的淋雨量即為地面陰影部分的淋雨量。陰影部分的面積為：前表面的淋雨量對時間的導數即為單位時間內陰影部分表面接受的雨水量，即可建立淋雨量關于時間微分方程：全程所用時間：所以要求人前表面的淋雨量即可對陰影部分的淋雨量與時間，時間與速度的函數進行積分，即可求得前表面的淋雨量。4.3.2.3模型求解通過分別對模型3中的前表面和上表面的函數進行積分，得到淋雨量與人行速度和降雨角度的關系式。對上表面微分方程進行積分得：對前表面微分方程進行積分得：其中中常數C和中的常數C均為0，因為淋雨量除了上表面和前表

14、面的淋雨量沒有其他部位的淋雨量。而人的總的淋雨量等于前表面和上表面淋雨量的加和，即總淋雨量與速度v及參數a, b, c, d, u, w, 之間的關系： 整理得：對問題3 的分析：盡管針對人行的速度有著不同的模型，但是兩個函數關系式可以進行統一，即： 當人行的速度與雨水的水平速度即v=時，人的淋雨量最小。其他情況人行的速度越大，淋雨量最小。 當時，人行速度為時淋雨量最小，4.4對（3）作圖4.4.1作圖4.4.2解釋實際意義 根據圖像可以得到，當人的速度與雨水的水平速度相同時，人的總淋雨量是最小的。4.5建立新模型若雨線方向與跑步方向不在同一平面內，則模型將會發(fā)生改變。針對這種情況，我們對雨水

15、進行矢量上的分離，因為被假設成長方體模型的人，三面接受降雨。建立空間坐標系，X-Y-Z，在三個坐標軸向量上對雨水進行分離，對淋雨的三個表面求解，結合模型三即可得出結果。 5結果分析與檢驗因為人的形狀近似一個長方體，進行數學運算可以等價于一個長方體模型。對于問題（1）我們得到，上表面淋雨量速度越大人的淋雨量越小，前表面使用兩種方法得出相同的結論，可以證實結果的爭取性，將此結果結合現實比較，人行走的速度越大淋雨的時間越少淋雨量越小。問題（2）中，我們依然得出和問題（1）相同的結果，這和問題（1）的解釋是相同的。但是問題三的結果和前兩個問題是不同的，當人的速度等于雨水的水平方向上的速度時，人的淋雨量

16、是最小的。盡管此時人的速度不是最大，上表面的淋雨時間不是最短的，但是在這種情況下，人的身體前部和后部，因為人的速度和雨水的水平方向的速度相同，將不淋雨，這樣看來人的淋雨量才是最小的。6模型的評價和改進6.1模型的優(yōu)點（1）本模型針對三中情況分別建立了模型，模型的穩(wěn)定性高，適用性強。（2）本模型的三個模型分別是對上一個模型的深入，層層深入逐漸地解決了實際問題。（3）本模型結合微分方程進行求解，簡單實用。（4）本模型運用matlab進行繪圖，得到了變量之間的函數圖象，使結果一目了然。61模型的缺點（1）本模型使計算簡單，所得結果更加的理想化，如，降雨的方向是不可能一直不變的。（2）本模型忽略了一些

17、次要因素，入地球的表面是弧形的，且忽略了現實中人在行走過程中的上下浮動而引起的表面積的變化。6.3模型的改進由于人在行走過程中的上下浮動會引起人體表面積的變化，可以對上下起伏兩個過程的表面積進行平均。盡管地球的表面積是弧形的，我們可以選取更短的距離來減小因為弧度而引起的誤差。7模型的推廣我們建立模型的方法和思想可以推廣到其他類似的問題中。本文建立的模型不僅可以估算人的淋雨量問題，還可以轉換對象，變?yōu)槠嚨冉煌üぞ?。在降雨，降雪等情況下，根據車的前窗玻璃接收的最大雨水或者雪水量，控制行使的速度。雨水同樣可以轉換為氣流的壓強，人也可以轉換為機器。根據機器所能承受的最大壓強，判斷氣流在怎樣的數值時會

18、對機器造成破壞，進而采取保護措施。參考文獻1 羅萬成，大學生數學建模案例分析，出版地：西南交通大學人民出版社，20072 姜啟源，謝金星，葉俊，數學模型，出版地：高等教育出版社，20033 西北工業(yè)大學數學建模指導委員會，數學建模簡明教程，出版地：高等教育出版社，20084 高隆昌，楊元，數學建?；A理論，出版社：科學出版社，20075 西南師范大學數學與財經學院，常微分方程，出版地：西南師范大學出版社，2005附錄t=sin(t0); v1=0:0.1:t(1); v11=t(1):0.1:5; y1=(5.556e-4.*cos(t(1)+41.67e-4.*sin(t(1)./v1-4.

19、167e-3/4; y11=(5.556e-4.*cos(t(1)-41.67e-4.*sin(t(1)./v11+4.167e-3/4; plot(v1,y1,r); hold on plot(v11,y11,r); xlabel(v); ylabel(W); v2=0:0.1:t(2); v22=t(2):0.1:5; y2=(5.556e-4.*cos(t(2)+41.67e-4.*sin(t(2)./v2-4.167e-3/4; y22=(5.556e-4.*cos(t(2)-41.67e-4.*sin(t(2)./v22+4.167e-3/4; plot(v2,y2,g-.); ho

20、ld on plot(v22,y22,g-.); v3=0:0.1:t(3); v33=t(3):0.1:5; y3=(5.556e-4.*cos(t(3)+41.67e-4.*sin(t(3)./v3-4.167e-3/4; y33=(5.556e-4.*cos(t(3)-41.67e-4.*sin(t(3)./v33+4.167e-3/4; plot(v3,y3,k:); hold on plot(v33,y33,k:); v4=0:0.1:t(4); v44=t(4):0.1:5; y4=(5.556e-4.*cos(t(4)+41.67e-4.*sin(t(4)./v4-4.167e-

21、3/4; y44=(5.556e-4.*cos(t(4)-41.67e-4.*sin(t(4)./v44+4.167e-3/4; plot(v4,y4,b); hold on plot(v44,y44,b); v5=0:0.1:t(5); v55=t(5):0.1:5; y5=(5.556e-4.*cos(t(5)+41.67e-4.*sin(t(5)./v5-4.167e-3/4; y55=(5.556e-4.*cos(t(5)-41.67e-4.*sin(t(5)./v55+4.167e-3/4; plot(v5,y5,c); hold on plot(v55,y55,c); v6=0:0

22、.1:t(6); v66=t(6):0.1:5; y6=(5.556e-4.*cos(t(6)+41.67e-4.*sin(t(6)./v6-4.167e-3/4; y66=(5.556e-4.*cos(t(6)-41.67e-4.*sin(t(6)./v66+4.167e-3/4; plot(v6,y6,y); hold on plot(v66,y66,y); v7=0:0.1:t(7); v77=t(7):0.1:5; y7=(5.556e-4.*cos(t(7)+41.67e-4.*sin(t(7)./v7-4.167e-3/4; y77=(5.556e-4.*cos(t(7)-41.67e-4.*sin(t(7)./v77+4.16