有限元分析中的一些問(wèn)題

1、有限元分析的一些基本考慮-單元形狀對(duì)于計(jì)算精度的影響 筆者發(fā)現(xiàn)，在分析復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，我們所可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，竟然是一些很根本的錯(cuò)誤，這些根本錯(cuò)誤是由于對(duì)有限元的基本理論理解不清晰而造成的。鑒于這個(gè)原因，筆者決定對(duì)一些基本問(wèn)題（例如單元形狀問(wèn)題，單元大小問(wèn)題，應(yīng)力集中問(wèn)題等）展開(kāi)調(diào)查，從而形成了一系列文章，本篇文章是這些系列文章中的第一篇。本篇文章先考慮有限元分析中的第一個(gè)基本問(wèn)題：?jiǎn)卧螤顔?wèn)題。我們知道，單元形狀對(duì)于有限元分析的結(jié)果精度有著重要影響，而對(duì)單元形狀的衡量又有著諸多指標(biāo)，為便于探討，這里首先只討論第一個(gè)最基本的指標(biāo)：長(zhǎng)寬比（四邊形單元的最長(zhǎng)尺度與最短尺度之比），而且僅考慮平面

2、單元的長(zhǎng)寬比對(duì)于計(jì)算精度的影響。為此，我們給出一個(gè)成熟的算例。該算例是一根懸臂梁，在其端面施加豎直向下的拋物線分布載荷，我們現(xiàn)在考察用不同尺度的單元?jiǎng)澐衷摿簳r(shí)，對(duì)于A點(diǎn)位移的影響。這五種不同的劃分方式，都使用矩形單元，只不過(guò)各單元的長(zhǎng)寬比不同。例如第一種（1）AR=1.1，就是長(zhǎng)寬比接近1；第二種（2）AR=1.5,就是長(zhǎng)寬比是1.5.其它類推。第五種（5）AR=24，此時(shí)單元的長(zhǎng)度是寬度的24倍?，F(xiàn)在我們看看按照這五種單元?jiǎng)澐址绞綄?duì)于A點(diǎn)位移的影響，順便我們也算出了B點(diǎn)的位移，結(jié)果見(jiàn)下表。我們現(xiàn)在仔細(xì)查看一下上表，并分析其含義。我們先考慮第一行，它是第一種單元?jiǎng)澐智闆r，此時(shí)每個(gè)單元的長(zhǎng)寬比是

3、1.1，由此我們計(jì)算出A點(diǎn)，B點(diǎn)的垂直位移，可以看到，A點(diǎn)的豎直位移是-1.093英寸，而B(niǎo)點(diǎn)的豎直位移是-0.346英寸。而這兩點(diǎn)我們都是可以用彈性力學(xué)的方式得到精確解的，其精確解分別是-1.152以及-0.360.這樣，我們可以得到此時(shí)A點(diǎn)位移誤差的百分比是(-1.093)-(-1.152)/1.152 = 5.2%.對(duì)于其它情況，也采用類似的方式得到A點(diǎn)位移誤差的百分比。從上表可以看出來(lái)，隨著長(zhǎng)寬比的增加，位移誤差越來(lái)越大，竟然大到56%。因此，如果我們是用長(zhǎng)寬比為24的單元進(jìn)行劃分的話，那么我們的結(jié)果可以說(shuō)是完全錯(cuò)誤的。下面按照上表繪制出一張圖，該圖從形象的角度表達(dá)了上表的含義。由此可

4、見(jiàn)，長(zhǎng)寬比越接近于1，那么結(jié)算結(jié)果越精確，越遠(yuǎn)離1，則誤差越大。因此我們?cè)谶M(jìn)行有限元分析時(shí)，應(yīng)該盡量保證劃分的單元長(zhǎng)寬比接近1，這意味著，如果我們使用了四邊形單元，則最好是正方形單元；如果使用了三角形單元，則最好是等邊三角形。當(dāng)然，對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的零件而言，我們很難保證每個(gè)單元都滿足這些要求，但是，我們一定要確保，在我們所關(guān)注的地方，例如應(yīng)力最大的地方，單元形狀要接近這一點(diǎn)，否則，我們得到的解就是不可相信的。但是上述結(jié)果也告訴我們，即便是最好形狀的單元（情況1，長(zhǎng)寬比為1.1），結(jié)果的計(jì)算精度也不容樂(lè)觀，其誤差達(dá)到5.2%,那么，我們可以得到更高精度的解答嗎？可以。這需要單元的細(xì)分，下一篇博文中

5、將會(huì)詳細(xì)說(shuō)明這一點(diǎn)。有限元分析的一些基本考慮-單元大小對(duì)于計(jì)算精度的影響有限元分析一定可以得到問(wèn)題的精確解嗎？理論上可以證明，如果插值函數(shù)使用了“協(xié)調(diào)和完整的位移函數(shù)”，則當(dāng)網(wǎng)格尺寸逐漸減小而單元數(shù)量增加時(shí)，解就會(huì)單調(diào)收斂。而且，當(dāng)單元數(shù)目增加時(shí)，得到的剛度會(huì)降低，并收斂于真實(shí)剛度；這就意味著，當(dāng)單元增加時(shí)，得到的位移增加，而收斂于精確位移解。其圖形如下： 這里所說(shuō)的“協(xié)調(diào)和完整位移函數(shù)”，是指：1.近似函數(shù)式一般是多項(xiàng)式。2.近似函數(shù)在單元內(nèi)要保持連續(xù)。3.近似函數(shù)應(yīng)提供單元間的連續(xù)性，包括離散單元每一個(gè)節(jié)點(diǎn)所有自由度都應(yīng)該是連續(xù)的，二維單元和三維單元沿著公共邊界線和公共面必須是連

6、續(xù)的。既能夠保證單元內(nèi)的連續(xù)，又能夠保證單元間的連續(xù)的形函數(shù)稱為協(xié)調(diào)函數(shù)。4.近似函數(shù)應(yīng)考慮剛體位移和單元內(nèi)的常應(yīng)變狀態(tài)。即有常數(shù)項(xiàng)保證剛體運(yùn)動(dòng)（無(wú)應(yīng)變的運(yùn)動(dòng)），而有一次項(xiàng)保證有常應(yīng)變狀態(tài)發(fā)生。這是形函數(shù)的完整性問(wèn)題。例如，對(duì)于一維單元而言，若取形函數(shù)則同時(shí)滿足上面四個(gè)條件，稱為協(xié)調(diào)且完整的位移函數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，我們所用的單元使用的位移函數(shù)都滿足上述四個(gè)條件，所以從理論上來(lái)說(shuō)，只要網(wǎng)格加密，就可以收斂于真實(shí)解。為了驗(yàn)證上述理論的真實(shí)性，我們選用了一個(gè)材料力學(xué)中的例子來(lái)做仿真。該例子如下使用材料力學(xué)的理論進(jìn)行求解，簡(jiǎn)要過(guò)程如下使用ANSYS進(jìn)行分析，使用BEAM188單元，首先創(chuàng)建如圖所示的幾何模

7、型然后分別對(duì)各段直線加密網(wǎng)格劃分，得到的結(jié)果如下上表中，第一列是劃分的單元數(shù)，第二列是最大的壓應(yīng)力，第三列是最大的拉應(yīng)力。可以看到，隨著單元數(shù)目的增加，最大拉伸，壓縮應(yīng)力的絕對(duì)值都在增加。從材料力學(xué)得到的精確解，最大的壓應(yīng)力是-46.2MPa, 最大的拉應(yīng)力是28.8MPa。這樣，當(dāng)單元數(shù)增加到64個(gè)時(shí)，壓應(yīng)力的誤差是（）/46.2 =1.1%; 拉應(yīng)力的精度是（28.8-28.6)/28.8=0.7%.此時(shí)精度已經(jīng)相當(dāng)高了。可以明顯的看出，隨著單元數(shù)目的增加，應(yīng)力解的確是在逐漸逼近真實(shí)解。從這個(gè)方面來(lái)說(shuō)，加密網(wǎng)格的確是提高計(jì)算精度的有效方法。這也意味著，我們?cè)谟邢拊抡嬷?，如果要得到精確的結(jié)

8、果，必須不斷細(xì)分網(wǎng)格，直到結(jié)果收斂。否則，我們的得到結(jié)果就是不可信的。那么，對(duì)于任何問(wèn)題，只要網(wǎng)格無(wú)限細(xì)分，一定可以收斂于真實(shí)解嗎？未必。下一篇文章將闡述此問(wèn)題。有限元分析中的一些問(wèn)題-應(yīng)力集中結(jié)果的可信性對(duì)于任意的幾何模型，網(wǎng)格細(xì)分就一定能夠得到真實(shí)解嗎？這是每一個(gè)CAE分析工程師都關(guān)注的問(wèn)題。如果結(jié)構(gòu)中沒(méi)有應(yīng)力集中，答案是肯定的。如果結(jié)構(gòu)中存在應(yīng)力集中，則結(jié)果未必會(huì)收斂。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，我們選取了一個(gè)平面應(yīng)力問(wèn)題。它是一個(gè)角支座，其圖形及尺寸如下。在角支座上鉆了兩個(gè)孔，現(xiàn)在我們固定左上邊的孔，而在右下方孔的第四象限半圓上施加壓力。并通過(guò)不斷的加密網(wǎng)格來(lái)考慮計(jì)算結(jié)果的可信性。生成的有限元模型如下 固定左上邊的孔，并對(duì)右下方孔施加右下方向的壓力，當(dāng)單元尺寸取5mm時(shí)候，應(yīng)力云圖如下     可見(jiàn)，此時(shí)最大應(yīng)力發(fā)生在拐角處，是34.383MPa.單元尺寸全局細(xì)分到3mm，結(jié)果是 最大應(yīng)力是44.44MPa.單元尺寸全局細(xì)分到1mm，結(jié)果是 最大應(yīng)力是74.004MPa.單元尺寸全局細(xì)分到0.4mm，結(jié)果是 最大應(yīng)力是112.873MPa.可見(jiàn)，結(jié)果并沒(méi)有收斂的趨勢(shì)。如果我們進(jìn)一步