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文檔簡介
1、 一道高考題的課堂探究性教學(xué)在高三總復(fù)習(xí)課上,我選講了一道高考題題目:(2013年山東高考數(shù)學(xué)理科第22題)橢圓:的左、右焦點分別是,離心率為 ,過且垂直于軸的直線被橢圓C截得的線段長為l. ()求橢圓的方程; ()點是橢圓上除長軸端點外的任一點,連接,設(shè)的角平分線交的長軸于點,求的取值范圍; ()在()的條件下,過點作斜率為的直線,使得與橢圓有且只有一個公共點, 設(shè)直線的斜率分別為,若,試證明為定值,并求出這個定值. 解:(1)橢圓方程為:(3)由題意可知,為橢圓的在點處的切線,由導(dǎo)數(shù)法可求得,切線方程為:,所以,而,代入中得:為定值.當(dāng)我講完這道題
2、準(zhǔn)備講下一題時,我發(fā)現(xiàn)一名學(xué)生在下面嘀咕什么,于是我叫他起來問是不是有其他的解法,因為在班級教學(xué)中,我很重視學(xué)生的想法,并鼓勵他們積極說出自己的想法.于是他說如果把上述橢圓改為雙曲線時,是否也為定值呢?這時另一個同學(xué)也主動站起來說:“作為一般形式的橢圓以及雙曲線,是否也為定值呢?”愛因斯坦曾說:“提出問題比解決問題更重要.”作為同學(xué)們思維智慧的火花,于是我決定不按照設(shè)計好的教學(xué),而是改變原定計劃與同學(xué)們一起來探討這個問題.探究1:橢圓:的左、右焦點分別是,點是橢圓上除長軸端點外的任一點,連接,過點作斜率為的直線,使得與橢圓有且只有一個公共點, 設(shè)直線的斜率分別為,若,試證明為定值,并
3、求出這個定值.解:設(shè),由導(dǎo)數(shù)法可求得,橢圓在點處的切線的方程為:,所以,而,代入中得:.命題1:橢圓:的左、右焦點分別是,點是橢圓上除長軸端點外的任一點,連接,過點作斜率為的直線,使得與橢圓有且只有一個公共點, 設(shè)直線的斜率分別為,若,則.探究2:雙曲線:的左、右焦點分別是,點是雙曲線上除長軸端點外的任一點,連接,過點作斜率為的直線,使得與雙曲線有且只有一個公共點, 設(shè)直線的斜率分別為,若,試證明為定值,并求出這個定值.解:設(shè),由導(dǎo)數(shù)法可求得,雙曲線在點處的切線其方程為:,所以,而,代入中得:.命題2:雙曲線:的左、右焦點分別是,點是雙曲線上除長軸端點外的任一點,連接,過點
4、作斜率為的直線,使得與雙曲線有且只有一個公共點, 設(shè)直線的斜率分別為,若,則.盡管命題1和命題2所得的結(jié)論并不是定值,但是其結(jié)果都是.探究3:圓:,點在圓上,點是圓上除外的任一點,連接,過點作斜率為的直線,使得與圓有且只有一個公共點, 設(shè)直線的斜率分別為,若,試證明為定值,并求出這個定值.解:設(shè),由導(dǎo)數(shù)法可求得,圓在點處的切線其方程為:,所以,而代入中得:為定值.命題3:圓:,點在圓上,點是圓上除外的任一點,連接,過點作斜率為的直線,使得與圓有且只有一個公共點,設(shè)直線的斜率分別為,若,試證明=-2.探究4:拋物線:的焦點為,點是拋物線上除頂點外的任一點,準(zhǔn)線與橫軸的交點為,連接,過點作斜率為的直線,使得與拋物線相切, 設(shè)直線的斜率分別為,若,試證明為定值,并求出這個定值.解:設(shè),由導(dǎo)數(shù)法可求得,拋物線在點處的切線的斜率而,代入中得:.命題4:拋物線:的焦點為,點是拋物線上除頂點外的任一點,準(zhǔn)線與橫軸的交點為,連接,過點作斜率為的直線,使得與拋物線相切, 設(shè)直線的斜率分別為,若,則=1.特級教師任勇曾說:“他很難完成事先設(shè)計的一節(jié)課,
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