基于小波變換的線性均衡器及其收斂算法改進(jìn)

1、第8卷第4期上海大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版Vol.8,No.4 2002年8月JOURNAL OF S HANGHAI UNIVERS ITY(NAT URAL SC IE NCEAug.2002文章編號:1007-2861(200204-0288-05基于小波變換的線性均衡器及其收斂算法改進(jìn)高清福,孫進(jìn),鄧家梅,王健(上海大學(xué)機(jī)械電子工程與自動化學(xué)院,上海200072摘要:對基于正交小波變換的線性均衡器做了研究,對傳統(tǒng)的LM S(least mean squar e算法做了改進(jìn).在計(jì)算機(jī)仿真的自適應(yīng)信道均衡中,此法使收斂的速度得到較大的提高,明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的L M S算法,而計(jì)算量增加不多.理論分析

2、與計(jì)算機(jī)模擬都證實(shí)了該算法的優(yōu)越性,有一定的實(shí)際應(yīng)用價值.關(guān)鍵詞:自適應(yīng)濾波;L M S算法;線性均衡器;小波變換中圖分類號:T N911.5文獻(xiàn)標(biāo)識碼:ALinear Equalizer Based on Wavelet and Its Algorithm ImprovementGAO Qing-fu,SU N Jin,DENG Jia-m ei,WANG Jian(School o f M echanical and Electr onic Engineer ing and A ut omation,Shang ha i U niv ersity,Shang ha i200072,Chin

3、aAbstract:In this paper,linear equalizer based on wavelet transform is studied.Impr ovement to the traditional least meansquar e(LM Salgo rithm is pr opo sed,leading to considerable incr ease of co nverg ence speed in com puter-simulated adaptive channel equalization.It has been show n bo th theoret

4、ically and throug h computer simulation that the pro posed technique outperfo rms.T he LMS algorithm w ith m oderate increase of com putation complexity.Key words:adaptiv e filtering;LM S alg orithm;linear equalizer;w avelet信道均衡器實(shí)質(zhì)是信道的逆濾波器,用于抵消帶限信道失真引起的碼間干擾ISI(intersymbol in-terference,減少信道的頻率衰減特性.它

5、可分為兩類:線性均衡和非線性均衡,其結(jié)構(gòu)可為:橫向?yàn)V波器結(jié)構(gòu)或格型橫向?yàn)V波器結(jié)構(gòu)等.由于衰落信道是隨機(jī)的、時變的,故研究均衡器自適應(yīng)跟蹤信道的時變特性很有必要.在均衡器收斂的算法中,有LM S 和RLS以及格型算法,其中因LMS法的運(yùn)算量小而得到較廣泛的應(yīng)用,但由于它是用每次采樣的即時數(shù)據(jù)代替集平均,在減少了運(yùn)算量的同時也造成收斂噪聲誤差.此外,LMS算法的收斂速度還取決于輸入均衡器信號自相關(guān)矩陣的分散度,即輸入信號自相關(guān)矩陣的最大和最小特征之比 = max/ min.對于如快速付里葉變換(FFT、離散余玄變換(DCT和WT(小波變換等變換域,其中小波變換有很好的時頻支撐性,且能夠減小輸入信號

6、自相關(guān)矩陣的分散度,甚至能夠使其接近對角陣,且若采用M allat算法又可使其計(jì)算量減小,故在自適應(yīng)均衡中有著很廣闊的應(yīng)用前景,本文的目的是將小波理論引入均衡器的設(shè)計(jì)中并研究如何使其快速收斂.1線性均衡器正交小波表示的結(jié)構(gòu)1.1多分辨率分析和理想濾波器組的引入根據(jù)信號多分辨率分解與重建理論1,當(dāng)信號收稿日期:2002-03-21修訂日期:2002-06-05作者簡介:高清福(1973,男,安徽舒城人,碩士生,主要從事數(shù)字信號處理、信道均衡、編碼的研究.采樣率滿足Nyquist 要求時,歸一頻帶限制在- 之間,此時可分別用理想低通濾波器H 0、理想高通濾波器H1將之分解為0 /2的低頻帶部分和

7、/2 的高頻部分,以反映信號的概貌與細(xì)節(jié)(圖1,處理后兩路輸出必定正交,而且由于兩種輸出的帶寬均減半,因此采樣率可以減半而不致引起信息的丟失,這就是圖1中在濾波后引入“2抽取”環(huán)節(jié)的原因.類似的過程對每次分解后的低頻部分可再重復(fù)進(jìn)行下去,即:在每一級分解后把輸入信號分解成一個低頻的粗略逼近(概貌和一個高頻的細(xì)節(jié)部分,而且每級輸出采樣率都可以減半,這樣就對原始x (n 進(jìn)行了多分辨率分解.當(dāng)我們將H 0和H 1的沖擊響應(yīng)的系數(shù)用不同尺度小波的采樣值代入時,則在圖1中對應(yīng)上支的就是我們所說的離散小波變換W T x (j ,k .圖1頻帶的理想劃分Fig.1Ideal division of ban

8、d1.2 傳統(tǒng)的線性均衡器結(jié)構(gòu)及其衍生圖2線性均衡器F ig.2L inear equalizer根據(jù)圖2,輸出信號y (n =N -1m =0x (n -m c (m ,(1其中,N 是均衡器的長度,由于橫向結(jié)構(gòu)的均衡器c (m 相當(dāng)于FIR 濾波器2,其沖擊響應(yīng)是有限個離散值,根據(jù)小波理論,此處c (m 可以如下分解:c (m =Jj =1k j-1k =0wj ,k!j ,k (m +k J-1k =0vJ ,k J ,k(m ,(2其中,m =0,1,N -1,J 是最大尺度,k j 為尺度j 下的最大位移,均衡器的權(quán)系數(shù)可以看成是均衡器的沖擊響應(yīng)c (m 分別和小波函數(shù)及尺度函數(shù)求內(nèi)

9、積得到的,如果m 是有限的,則w j ,k 和v j ,k 的個數(shù)也是有限的.現(xiàn)在將(2式代入(1式得到:y (n =Jm =0x (n -m Jj =1k j-1k =0wj ,k!j ,k (m +k J-1k =0vJ ,k j ,k(m =Jj =1k j-1k =0wj ,kN -1m =0x (n -m !j ,k (m +k J-1k =0vJ ,kN -1m =0x (n -m J ,k (m =j ,kwj ,k r j ,k(n +kvJ ,k s j ,k(m .(3其中r j ,k (n =N -1m =0x (n -m !j ,k (m ,(4s J ,k (n =N

10、 -1m =0x (n -m J ,k (m .(5這樣就實(shí)現(xiàn)了用正交小波表示均衡器的輸出y(n ,此時均衡器c (m 的特性是由w j ,k 和v J ,k 來反映的,它們相當(dāng)于均衡器的系數(shù).我們還注意到式(4和(5的計(jì)算量是相當(dāng)大的,因?yàn)閷τ诿總€輸出y (n ,都需要計(jì)算輸入x (n 與每個小波函數(shù)j ,k (n 和尺度函數(shù)j ,k (n 的卷積,而小波分析的一個好處就在于其下一個尺度級別的小波是上一個尺度級別小波在時間上的平移和拉伸(二尺度差分關(guān)系,利用此關(guān)系,就可大大減少運(yùn)算量,即!j ,k (n =!j ,0(n -2jk ,(6j ,k (n =j ,0(n -2jk .把(6式代

11、入(4和(5式,可得:r j ,k (n =ix (n -i !j ,k (i =ix (n -i !j ,0(i -2jk =r j ,0(n -2j k .(7這說明r j ,k (n 可由r j ,0(n 通過2j k 次延時而得到.同理可得:s j ,k (n =s j ,0(n -2j k .(8故在每個尺度下,x (n 只是與相應(yīng)小波函數(shù)和尺度函數(shù)做一次卷積即可.在做DW T 時,我們用相應(yīng)的小波函數(shù)和尺度函數(shù)的采樣值去做濾波器沖擊響應(yīng)的系數(shù)3,4.1.3基于小波變換的線性均衡器(WBLE 結(jié)構(gòu)本文討論的是基于小波變換的均衡器結(jié)構(gòu)及算法,首先了解一下多采樣率系統(tǒng)的理論和涉及M al

12、-lat 多孔算法的結(jié)論.289第4期高清福,等:基于小波變換的線性均衡器及其收斂算法改進(jìn)(1 抽取和濾波的等效移位圖3抽取與濾波的等效易位Fig.3Equivalent tr ansposal of decimation and filter ing圖3的兩條支路在運(yùn)算的效果上是等效的,可以參閱文獻(xiàn)1和9,即位于2抽取后的傳遞函數(shù)H (z 可以移到2抽取的前面,而只要把H (z 改成H (z 2即可,至于H (z 2的結(jié)構(gòu),是由H (z 經(jīng)過在其相鄰的兩個元素之間插入1個0得到的.(2WBLE 的結(jié)構(gòu)按照輸入信號的流向,現(xiàn)在把圖1和圖2以及圖3結(jié)合起來,我們就可以得到基于小波變換線性均衡器(

13、WBLE 的結(jié)構(gòu)如圖 4.圖4WBL E 的結(jié)構(gòu)F ig.4St ructure o f WBL E(3WBLE 均衡算法在目前的均衡收斂算法中,主要有LMS (最小均方誤差,建立于“最陡梯度法”之上算法、RLS (遞歸最小二乘算法以及格型算法,其中后兩者的運(yùn)算量都是很大的,且涉及到數(shù)據(jù)塊的操作,但收斂的速度會得到提高,特別是格型算法能很好地去除輸入信號的相關(guān)性,使運(yùn)算更具穩(wěn)定性.它們雖說有很好的收斂性,除非當(dāng)處理器的運(yùn)算速度很高,我們此處仍用LM S 算法,下面給出基于LM S 的WBLE 均衡算法.獲得的誤差:e (n =d (n -y (n .(9均衡器的輸出:y (n =N -1i =

14、0#i(n x (n (i =0,1,N -1.(10權(quán)系數(shù)調(diào)整:w j ,k (n +1=w j ,k (n +2e (n r *j ,k (n /%2j ,k (n .(11功率歸一:%2j ,k (n +1=&%2j ,k (n +(1-& r j ,k (n 2,0<&< 1.(12290上海大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版第8卷式(10和式(11中%2j,k(n表示r j,k(n的平均功率估計(jì)值,同理可得:%2J+1,k(n+1=&%2J+1,k(n+(1-& s J,k(n 2,j=1,2,J.(13一般實(shí)際應(yīng)用中的&接近于1,可以取

15、為0.9,且%2j,k 向量初始值設(shè)為:(4,4,4.公式(9(13即為引入正交小波的線性自適應(yīng)均衡算法,按照以上步驟就可通過計(jì)算得到r j,0(n,經(jīng)延時2j k后獲得r j,k(n.而由s j,0(n經(jīng)延時2j k后可獲得s j,k(n,算出y(n,調(diào)整權(quán)系數(shù)w j,k和v j,k,再由式(12和(13估出不同尺度下經(jīng)過小波變換后系數(shù)的功率,從而進(jìn)入下一輪系數(shù)的調(diào)整循環(huán)及獲得輸出57.2改進(jìn)的LMS算法在傳統(tǒng)的LM S算法中,由下式調(diào)整權(quán)向量: W(n+1=W(n+2e(nX(n.(14而我們在這引入的調(diào)整權(quán)向量為W(n+1=W(n+41-X(n2e(nX(n,(15在式中,將傳統(tǒng)LM S

16、算法的改為21-X(n2,記此處的等效步長e=21-X(n2,和e的關(guān)系可以由數(shù)學(xué)知識定性地得出:(1當(dāng)e>時,會使得收斂的速度變快,但穩(wěn)態(tài)失調(diào)信號變大.(2當(dāng)e<時,會使得收斂的速度慢,穩(wěn)態(tài)失調(diào)信號變小.(3隨著的增大等效步長e先增大后減小,所以e可取一個最大值,在收斂速度和穩(wěn)態(tài)失調(diào)信號之間做出折衷,即兼顧這兩個指標(biāo),很顯然e取最大值時有:=e=12X(n2,(16所以我們還可以改進(jìn)算法,(15式還可以寫成8:W(n+1=W(n+e(nX(nX(n2.(173基于小波變換線性均衡器的性能分析(1最佳維納解的形式從圖4可以看出,從輸入端來看,輸入x(n與小波函數(shù)的卷積運(yùn)算,相當(dāng)于對

17、輸入做離散時間的小波變換,即WBLE也屬于一種變換域的均衡算法,從以上的分析可以寫出WBLE的最佳維納解形式為W opt=R-1r P r=R xT-1P x,(18其中,R x(n為輸入x(n的自相關(guān)矩陣,P x(n為x(n和d(n的互相關(guān),由于所討論的小波是規(guī)范正交的,故-1=T存在,代入式(14可得到我們需要的最佳維納解形式:W opt=R-1x P x=W(topt.(19此式左邊即是變換域的最佳解,而右邊則是時域的最佳解5,6.(2收斂速度和計(jì)算的復(fù)雜度文獻(xiàn)5對經(jīng)過小波變換后的信號的自相關(guān)矩陣特性作了詳細(xì)分析,即信號的自相關(guān)矩陣經(jīng)過小波變換后呈現(xiàn)出帶狀分布,其能量主要集中在對角線附近

18、,且大多數(shù)是接近對角陣.文獻(xiàn)5證明了基于正交小波的自適應(yīng)濾波的收斂速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)的LM S算法.我們知道限制基于LM S算法均衡器收斂速度的主要原因是均衡器輸入信號自相關(guān)矩陣特征值的分散度,即輸入信號自相關(guān)矩陣的最大與最小特征值之比 = max/ min,而信號經(jīng)過小波變換后,此比值會減小,從而使LM SWBLE的收斂速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于LM SLE.如設(shè)小波的基長度為N,尺度為J,注意到J=lg2N,則每次迭代共需4N+n lg2N 乘法和6N+n lg2N次加法.總之WBLE的運(yùn)算量和LE算法接近,與其它如DFT LE、RLS等算法相比,運(yùn)算量都是較少的.4計(jì)算機(jī)仿真模擬試驗(yàn)在本文中,我們通過計(jì)

19、算機(jī)模擬來分析W BLE、LE以及經(jīng)過改進(jìn)的WBLE算法的收斂均方誤差曲線.對于定參信道,其沖擊響應(yīng)宜選用升余玄脈沖,定義為h i=0.51+cos2(i-2/k(i=1,2,3,(20參見2,根據(jù)其Z變換就是H(Z,H(Z的2個零點(diǎn)可得到2個本征根 1、 2(它們能表征時常數(shù),我們稱其中大者為 max,小者為 min,兩者之比為 ,不同的K值,可以獲得5個不同的信道.我們選取較為典型的信道表達(dá)式為H2(z=0.28+z-1+0.28z-2(k= 3.1, max/ min=11.針對上述信道,我們用2psk信號,均衡器的長度N=16,初始權(quán)向量設(shè)為:(0,0,0,0,0,1;用291第4期高

20、清福,等:基于小波變換的線性均衡器及其收斂算法改進(jìn)Harr 小波,尺度選為J =2,仿真的結(jié)果如圖5,可以看出均衡器的收斂速度有了較大的提高 .圖5最小均方誤差曲線F ig.5Cur ve o f M SE5結(jié)論本文就基于正交小波均衡器的結(jié)構(gòu)和收斂算法作了探討,還引入了一種優(yōu)化的LM S 算法,使這種均衡器的收斂速度有了較大的提高,從而使之更加適應(yīng)于時變信道的均衡,而計(jì)算量并未增加多少.WBLE 采用小波來重構(gòu)信道的沖擊響應(yīng),能很好地表述信道的時頻局部特性,當(dāng)信道特性在一定的范圍內(nèi)變化時,這種均衡能較好地完成跟蹤.值得進(jìn)一步探討的方法是利用小波的時頻鋪砌特性來討論均衡算法.參考文獻(xiàn):1M allt S .A theor y o f mult ir eso lution sig al decomposi -tio n:T he w av elet transfor m J.IEEE T rans,1989,PAMI -11(7:674-693.2Simo n Haykin.Adaptiv e filter thoer