多自由度系統(tǒng)振動的研究

1、多自由度系統(tǒng)振動的研究涂前進 ( 安慶師范學院物理與電氣工程學院 安徽 安慶 246011)指導教師：吳磊摘要：多自由度振動系統(tǒng)在工程技術領域有著廣泛的應用，對其研究也日漸完善。本文首先通過分析力學的方法建立多自由度振動系統(tǒng)動力學方程并介紹其解法，其次介紹了多自由度系統(tǒng)求解的幾種近似方法(鄧克利法和瑞利法)及其應用，最后介紹了利用Matlab程序求解多自由度振動系統(tǒng)的數(shù)值解的方法。關鍵詞：多自由度，振動，方程 1 引言人類對振動現(xiàn)象的了解和利用有著漫長的歷史，遠古時期的先民已有利用振動發(fā)聲的各種樂器。人們對與振動相關問題的研究起源于公元前6世紀畢達哥拉斯（Pythagoras）的工作，他通過實

2、驗觀測得到弦線振動發(fā)出的聲音與弦線的長度、直徑和張力的關系。在我國，早在戰(zhàn)國時期成書的莊子就已明確記載了共振現(xiàn)象?，F(xiàn)代物理科學的奠基人伽利略（Galileo Galilei）對振動問題進行了開創(chuàng)性的研究，他發(fā)現(xiàn)了單擺的等時性并利用他的自由落體公式計算單擺周期。胡可（R.Hooke）于1678年發(fā)表的彈性定律和牛頓（I.Newton）于1687年發(fā)表的運動定律分別為振動力學的發(fā)展奠定了物性和物理的基礎。歐拉（L.Euler）于1728年建立并求解了單擺在有阻尼介質中運動的微分方程。1739年他研究了無阻尼簡諧受迫振動，從理論上解釋了共振現(xiàn)象。1747年他對個等質量質點由等剛度彈簧連接的系統(tǒng)列出微

3、分方程組并求出精確解，從而發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的振動是各階簡諧振動的疊加。1762年拉格朗日（J.L.Lagrange）建立了離散系統(tǒng)振動的一般理論。 在許多機械系統(tǒng)，根據(jù)其工作狀況，簡化成一個單自由度或兩自由度系統(tǒng)的理論模型，以滿足對其動態(tài)特性進行分析的要求。事實上，所有機械系統(tǒng)都是由具有分布參數(shù)的元件所組成，嚴格地說，都是一個無限多自由度的系統(tǒng)（或連續(xù)系統(tǒng)，分布參數(shù)系統(tǒng)）。根據(jù)結構特點和分析要求，把有些元件或其部分簡化成質量，而把有些元件或其部分簡化成彈簧，用有限個質量、彈簧和阻尼去形成一個離散的、有限多的集中參數(shù)系統(tǒng)，這樣就得到一個簡化的模型。多自由度系統(tǒng)是對連續(xù)系統(tǒng)在空間上的離散化和逼近，由于計算

4、機技術的廣泛應用，有限元分析和實驗模態(tài)分析技術的發(fā)展，多自由度系統(tǒng)的理論和分析方法顯得十分重要。 實際工程結構復雜而不規(guī)則，難以精確求解，于是各種近似計算方法相繼被提出。1873年瑞利（J.W.S.Rayleigh）基于系統(tǒng)的動能和勢能分析給出了確定基頻的近似方法，里茨（W.Ritz）發(fā)展了瑞利法使之推廣為幾個低階固有頻率的近似計算。1894年鄧克利（S.Dunkerley）分析旋轉軸振動時提出一種近似計算多圓盤軸橫向振動基頻的簡單實用方法。1904年斯托德拉（A.Stodola）計算軸桿頻率時提出一種逐步近似方法，成為矩陣迭代法的雛形。1902年法摸（H.Frahm）計算船主軸扭振時提出離散

5、化的思想，以后發(fā)展為 確定軸系和梁的頻率的實用方法。1950年湯姆孫（W.Thomson）將這種方法發(fā)展為矩陣形式而最終形成傳遞矩陣法。 在解決系統(tǒng)的振動問題時，常常借助計算機來完成，為求解多自由度系統(tǒng)的振動帶來了很大的方便，但不同的計算機語言直接影響著編程的繁瑣程度和解決問題的快慢程度。MATLAB作為一種高效的工程語言，將計算、可視化和編程功能集于一個易于使用的環(huán)境，提高了編程效率，還可以利用其繪圖功能對結果進行直觀地分析。2 多自由度振動系統(tǒng)動力學方程 2.1 系統(tǒng)的勢能和動能建立系統(tǒng)的動力學方程可以采用牛頓力學與分析力學的任何一種方法。對于多自由度系統(tǒng)，采用分析力學方法更便于得到動力學

6、方程的普遍形式。設系統(tǒng)具有個自由度，以個廣義坐標表示系統(tǒng)的位形。系統(tǒng)的勢能為廣義坐標的函數(shù)，在平衡位置處滿足2 （1）將平衡位置取作廣義坐標的零值，則廣義坐標也表示系統(tǒng)相對平衡位置的偏移。當系統(tǒng)在平衡位置附近作微振動時，廣義坐標及其導數(shù)均為小量。設勢能在平衡位置處也取零值，將在平衡位置附近展成泰勒級數(shù)1只保留廣義坐標的二階微量，考慮條件（1），導出 （2）其中系數(shù)均為常數(shù)，定義為 括號外的下標“0”表示在平衡位置處取值，常數(shù)被稱為系統(tǒng)的剛度系數(shù)且滿足。于是，系統(tǒng)的勢能可以進一步表示為此式中的方陣稱為剛度矩陣，常用記之，是階對稱正定方陣。 設系統(tǒng)受定常約束，其動能為廣義速度的二階齊次函數(shù) （3）

7、其中系數(shù)為廣義坐標的函數(shù)，且有。系統(tǒng)作微振動時，只保留廣義坐標和速度的二階小量，系數(shù)可用平衡位置處的值代替而成為常系數(shù)。這樣，系統(tǒng)的動能最終可近似表達為3 次式中的方陣稱為質量矩陣或慣性矩陣，常用記之，是階對稱正定方陣。引入廣義坐標列陣,則 , （4）2.2 動力學方程設為與廣義坐標對應的非保守力，為拉格朗日函數(shù)，拉格朗日第二類方程的一般形式為1 將式（2）和（3）代入拉氏方程，導出多自由度系統(tǒng)的動力學方程 （5）動力學方程（5）可寫成矩陣形式 （6）其中為非保守力構成的矩陣。討論保守系統(tǒng)的自由振動時，令，方程簡化為 （7）動力學方程（6）有明確的物理意義，即彈性恢復力、慣性力與非保守力平衡。

8、將動力學方程（6）各項左乘的逆陣化作另一形式 （8） 其中稱作系統(tǒng)的柔度矩陣，各元素稱作柔度影響系數(shù)。令方程（8）中，得到保守系統(tǒng)自由振動的另一種形式動力學方程 （9）其中矩陣稱作系統(tǒng)的動力矩陣。 無外力作用的多自由度系統(tǒng)受到初始擾動后，即產(chǎn)生自由振動。將線性動力學方程（7）中的廣義坐標列陣改用表示，得到 （10） 此方程有以下特解 （11）此特解表示系統(tǒng)內各個坐標偏離平衡值時均以同一頻率和同一初相角作不同振幅的簡諧運動。式（11）也可寫作矩陣形式 （12）將上式代入方程（10），化作矩陣和的廣義本征值問題 （13）有非零解的充分與必要條件為系數(shù)行列式等于零4 即 （14）這是關于的次方程，稱

9、為系統(tǒng)的本征值方程。方程有的個正實根，即系統(tǒng)的本征值。每個本征值所對應的為系統(tǒng)的個固有頻率。其中的最低固有頻率稱為系統(tǒng)的基頻。2.3 保守系統(tǒng)運動方程的解法由式（14）可得系統(tǒng)的個本征值，對應每個本征值 ，式（13）存在的一組非零解，記作。于是，我們得到式（10）的組特解是5 ， 為系統(tǒng)的固有振型，而系統(tǒng)運動微分方程的通解則可表示成 ， (15)圖1 三振子彈性系統(tǒng)x1x2kmmMkx3 例1：如圖1所示，兩個彈簧連接三個質點組成的一維振動系統(tǒng)，其中彈簧的勁度系數(shù)均為，中間質點的質量為，兩端點的質量為。解：以圖1所示的三個質點相對自身平衡位置的位移作為廣義坐標， 并以向右的位移為正，則系統(tǒng)的動

10、能和勢能分別是 由方程式（10） 其中設解的形式為 , 由式（13）和式（14）可得相應的本征值方程由此解得 由式（13）得對本征矢量為，則對本征矢量為，則，系統(tǒng)作純平動。對本征矢量為，則故系統(tǒng)振動微分方程的通解為：積分常數(shù)和由初始條件確定。 2.4 多自由度系統(tǒng)的受迫振動 多自由度系統(tǒng)受到外力激勵所產(chǎn)生的運動為受迫振動。設自由度系統(tǒng)沿各個廣義坐標均受到頻率和相位相同的廣義簡諧力的激勵。將（6）的廣義坐標列陣寫作，右項以代入，得到系統(tǒng)的受迫振動方程1 （16）其中為復數(shù)列陣，其實部或虛部為實際廣義坐標，分別為余弦或正弦激勵的響應，為激勵頻率，為廣義激勵力的幅值 2.5 有阻尼的多自由度系統(tǒng) 任

11、何實際的機械系統(tǒng)都不可避免地存在阻尼因素，如材料的結構阻尼、介質的粘性阻尼等。一般情況下，可將各種類型的阻尼都化作等效粘性阻尼。假定阻尼力為廣義速度的線性函數(shù)，寫出 （17）其中稱為阻尼影響系數(shù)。在利用拉氏方程推導系統(tǒng)的動力學方程時，考慮阻尼力的作用，將式（17）加入方程（5）的右邊，得到 令，改用表示，將上式寫作矩陣形式，得到有阻尼多自由度系統(tǒng)的振動方程1 （18）其中稱作系統(tǒng)的阻尼矩陣。3 多自由度系統(tǒng)求解的幾種近似方法 3.1 鄧克利法若將特解（12）代入（9）形式的自由振動方程為 （19）將（11）代入方程（19），轉化為動力矩陣的本征值問題 （20）其中參數(shù)為頻率平方的倒數(shù) 的非零解

12、條件要求方程（20）的系數(shù)行列式為零 設,上式寫作 （21）展開后得到的次方程 （22）其中為動力矩陣的對角線元素之和，即矩陣的跡的負值 （23）當質量矩陣為對角陣時，的跡寫作 本征方程（22）也可寫作 則系數(shù)可寫作 （24）比較式（23）和（24）導出 （25）設想系統(tǒng)內只保留第質量時，則的倒數(shù)必等于此單自由度系統(tǒng)的剛度系數(shù)。從而推論，系統(tǒng)內只保留第質量時，其固有頻率的平方必與互成倒數(shù) 將上式代入式（25），左邊的求和式中除與基頻對應的以外，第二階以上的固有頻率對應的均遠小于可近似地予以忽略，導出以下基頻近似公式1 （26）利用此公式算出的基頻必小于實際基頻，成為實際基頻的下限。3.2 瑞利

13、法瑞利法是基于能量原理的一種近似方法。對于多自由度系統(tǒng)，瑞利法可用于計算系統(tǒng)的基頻，算出的近似值為實際基頻的上限。討論自由度保守系統(tǒng)。設系統(tǒng)作某階主振動，利用式（4）寫出系統(tǒng)的動能和勢能 , 將式（12）代入上式，導出動能和勢能的最大值 , 根據(jù)保守系統(tǒng)機械能守恒原理，系統(tǒng)的動能與勢能的最大值應互等，即，導出以下固有頻率計算公式1 （27）圖2 串聯(lián)的質量彈簧系統(tǒng)m1m2m3k1k2k3x1x2x3稱作瑞利商。3.3 比較鄧克利法和瑞利法例2：討論圖2所示由三個串聯(lián)的質量彈簧系統(tǒng)，設系統(tǒng)中用鄧克利法估算系統(tǒng)的基頻下限。 解：可列出系統(tǒng)的剛度矩陣和質量矩陣系統(tǒng)中三個集中質量分別單獨存在時，各個單

14、自由度系統(tǒng)的質量和柔度系數(shù)分別為和導出 代入式（26）計算 得到基頻的下限為 （實際基頻）例3：用瑞利法估算例2中系統(tǒng)的基頻上限。解：考慮到離固有基座越遠的物體的等效彈簧剛度越小，位移越大，近似取 代入瑞利商公式（27），得到故 與基頻的精確值相比，相對誤差約為6。若選取的假設模態(tài)更接近真實模態(tài)，例如令相應得到 ，則基頻近似值的相對誤差減小為0.5。故瑞利法的精度與建設模態(tài)的選取直接相關。因此可以利用瑞利法配合鄧克利法估計實際基頻的大致范圍。4 利用MATLAB程序求解多自由度振動系統(tǒng)的數(shù)值解4.1 MATLAB的簡介6求解系統(tǒng)的自由振動方程式（10）就是尋找式（13）的固有頻率和對應的主振型

15、。因存在非零解，則為相對于的廣義特征值，為相對于的屬于的特征向量，所以系統(tǒng)自振特性的分析，從數(shù)值分析的角度歸結為求解式（13）的廣義特征值問題。MATLAB提供了一個求矩陣廣義特征值的函數(shù)，計算指令格式為,計算后返回廣義特征值向量陣和廣義特征值陣，滿足式（13）。將歸一化處理，取對角元素后求算術平方根等簡單處理后就可求出系統(tǒng)的自振特性。由于特征值問題在很多領域里占據(jù)極其重要的地位，MATLAB計算特征值和特征向量采用精良的算法，然而，由于該方法將會產(chǎn)生系統(tǒng)所有的廣義特征值和廣義特征向量，耗費的機時也是相當可觀的。當系統(tǒng)自由度增多，要想求出系統(tǒng)所有特征對（固有頻率和主振型），耗時將大大增加，如圖

16、3中實線所示。在實際工程中，對于自由度數(shù)較大的系統(tǒng)，往往只需求出較低的前階特征對。MATLAB也提供了求解系統(tǒng)若干階特征對函數(shù),經(jīng)歸一化，排序后即可得到所要求的解，函數(shù)的格式為：，其中參數(shù)和表示求解個低階特征對。隨著自由度數(shù)的增多，采用以上函數(shù)計算多自由度前六階特征對的耗時遠比用函數(shù)計算所有特征對耗時少，如圖3所示。圖3 求解特征對的耗時4.2 基于MATLAB的動力時程分析算例7利用MATLAB編程，對某五層鋼筋混凝土結構（如圖4）輸入一地震波進行彈性時程分析，結構的特性參數(shù)為：第一層到第五層質量都為1.0×105kg，第一至第五層剛度分別為4.0×106Nm，3.0&#

17、215;106N/m, 3.0×106N/m, 2.0×106N/m, 2.0×106N/m。地震波采用200gal El centro波，采樣周期為0.02s，如圖5所示。結構阻尼比為0.05。圖5 EL Centro 地震波圖4 框架（1）通過MATLAB編程，對該框架進行結構時程分析，求得結構頂層的位移、速度和加速度反應，如圖6所示?？梢郧宄乜吹皆摻Y構頂層在地震波作用下的動力時程反應，使用MATLAB語言中max命令求得框架各層的最大位移、速度和加速度（表1），以及結構的自振頻率（表2），具體數(shù)據(jù)如下：圖6 用MATLAB求得結構頂層的地震反應 表1 頂層

18、最大位移、速度和加速度第一層第二層第三層第四層第五層最大位移/mm29.1858.2783.77117.0149.7最大速度/(m·s-1)0.1600.1920.3030.3010.245最大加速度/(m·s-2)2.4432.2201.6671.6321.889表2 結構自振頻率 第一階第二階第三階第四階第五階自振頻率/（rad·s-1）0.2500.6651.0791.3261.6284.3 結論1）在工程振動中，確定系統(tǒng)自振頻率是非常重要的，利用MATLAB語言可以方便快捷得出結構體系的自振頻率。2）采用MATLAB語言對五層鋼筋混凝土框架進行時程分析，相

19、對傳統(tǒng)計算機語言，MATLAB不僅相對語句少，可讀性強，還可以利用MATLAB的繪圖功能對結果進行直觀地分析。3）該時程分析計算還可適用于自由度更高的結構體系。5 結束語歷史的回顧表明，多自由度系統(tǒng)的振動在其發(fā)展過程中逐漸由基礎科學轉化為基礎科學和技術科學的結合。工程問題的需求使得關于振動的研究成為必要，而測試和計算技術的進步又使其發(fā)展成為可能。學科的交叉也不斷為其發(fā)展注入活力。參考文獻：1 劉延柱，陳文良，振動力學，高等教育出版社，1998，69108。2 江偉，王錫明，多自由度系統(tǒng)振動方程的確定，北京工商大學學報，2002.02。3 WTThomson , Theory of Vibrat

20、ion with Applications , PrenticeHall ,1981。4 陳鋼，阮中中，用能量法求多自由度振動系統(tǒng)的角頻率，物理與工程，2006.4。5 王其申，經(jīng)典力學，中國科技大學出版社，2005，164171。6 蔡紅健，基于MATLAB的多自由度系統(tǒng)的振動特性分析，南通紡織職業(yè)技術學院學報，2012.3。7 柴志紅，扶名福，MATLAB在多自由度動力體系中的應用，南昌大學學報·工科版，2008.12。Research of multi-degree of freedom vibration systemTu qianjin (School of Physics and Electrical