等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

1、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1.等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母_d_表示.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是ana1(n1)d.3.等差中項(xiàng)如果A，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).4.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d，(n，mN*).(2)若an為等差數(shù)列，且klmn，(k，l，m，nN*)，則akalaman.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn也

2、是等差數(shù)列.(5)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列.5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，其前n項(xiàng)和Sn或Snna1d.6.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Snn2n.數(shù)列an是等差數(shù)列SnAn2Bn(A、B為常數(shù)).7.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列an中，a1>0，d<0，則Sn存在最_大_值；若a1<0，d>0，則Sn存在最_小_值.1.判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.()(2)數(shù)列

3、an為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意nN*，都有2an1anan2. ()(3)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的. ()(4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù).()(5)數(shù)列an滿足an1ann，則數(shù)列an是等差數(shù)列.()(6)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是anpnq(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列an一定是等差數(shù)列.()2.設(shè)an為等差數(shù)列，公差d2，Sn為其前n項(xiàng)和，若S10S11，則a1等于 ()A.18B.20C.22D.243.(2012·遼寧)在等差數(shù)列an中，已知a4a816，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11等于()A.58B.88C.143D.1764.(2013

4、·課標(biāo)全國(guó))設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sm12，Sm0，Sm13，則m等于()A.3B.4C.5D.65.(2013·課標(biāo)全國(guó))等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S100，S1525，則nSn的最小值為_.21·cn·jy·com題型一等差數(shù)列的基本運(yùn)算例1在等差數(shù)列an中，a11，a33.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an的前k項(xiàng)和Sk35，求k的值.(1)若等差數(shù)列an的前5項(xiàng)和S525，且a23，則a7等于()A.12B.13C.14D.15(2)記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1，S420，則S6等于()A.16B.

5、24C.36D.48(3)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足1，則數(shù)列an的公差是()A.B.1C.2D.3題型二等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例2(1)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S39，S636，則a7a8a9等于 ()A.63B.45C.36D.27(2)若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 ()A.13B.12C.11D.10(3)已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a12 014，6，則S2 013等于()A.2 013B.2 013C.4 026D.4 026jy-com(1)設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，若a3a4a512，則a

6、1a2a7等于()A.14B.21C.28D.35(2)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S1010，S2030，則S30_.題型三等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值例3(1)在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項(xiàng)和為Sn，且S10S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(1)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a111，a4a66，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n等于()A.6B.7C.8D.9(2)等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若aka40，則k_.等差數(shù)列的最值問(wèn)題典例：(15分)(1)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a5a74，a6a82，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值是()A.

7、5B.6C.7D.8(2)已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a120，公差d2，則前n項(xiàng)和Sn的最大值為_.(3)設(shè)數(shù)列an是公差d<0的等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，若S65a110d，則Sn取最大值時(shí)，n的值為()A.5B.6C.5或6D.11方法與技巧1.等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法：an1and (d是常數(shù))an是等差數(shù)列.(2)等差中項(xiàng)法：2an1anan2 (nN*)an是等差數(shù)列.(3)通項(xiàng)公式：anpnq(p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列.(4)前n項(xiàng)和公式：SnAn2Bn (A、B為常數(shù))an是等差數(shù)列.2.方程思想和化歸思想：在解有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題時(shí)可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過(guò)

8、建立方程(組)獲得解.21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有3.在遇到三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，可設(shè)三個(gè)數(shù)為(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可視具體情況而定.21教育網(wǎng)失誤與防范1.當(dāng)公差d0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是n的一次函數(shù)，當(dāng)公差d0時(shí)，an為常數(shù).2.公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.若某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)一、選擇題1.(2012·福建)等差數(shù)列an中，a1a510，a47，則數(shù)列an的公差為()A.1B.2C.3D.

9、42.已知等差數(shù)列an滿足a1a2a3a1010，則有()A.a1a101>0B.a2a100<0C.a3a990D.a51513.已知等差數(shù)列an中，a26，a515，若bna2n，則數(shù)列bn的前5項(xiàng)和等于()A.30B.45C.90D.1864.(2013·遼寧)下面是關(guān)于公差d0的等差數(shù)列an的四個(gè)命題：p1：數(shù)列an是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列nan是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列an3nd是遞增數(shù)列.其中的真命題為()A.p1，p2B.p3，p4C.p2，p3D.p1，p45.在等差數(shù)列an中，a1>0，a10·a11<0，若此數(shù)列的

10、前10項(xiàng)和S1036，前18項(xiàng)和S1812，則數(shù)列|an|的前18項(xiàng)和T18的值是()A.24B.48C.60D.84 二、填空題6.(2013·廣東)在等差數(shù)列an中，已知a3a810，則3a5a7_.7.Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S2S6，a41，則a5_.8.已知數(shù)列an中，a11且(nN*)，則a10_.三、解答題9.已知等差數(shù)列an中，a28，前10項(xiàng)和S10185.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an.10.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1<0，S2 0150.(1)求Sn的最小值及此時(shí)n的值；(2)求n的取值集合，使anSn.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)1.已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若<1，且它們的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則使Sn>0的n的最大值為 ()A.11B.19C.20D.212.設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意自然數(shù)n都有，則的值為_.21*cnjy*com3.九章算術(shù)“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為_升.4.