曲線積分與曲面積分習(xí)題答案

1、第十一章曲線積分與曲面積分弟三下Green公式及其應(yīng)用1.利用Green公式，計(jì)算下列曲線積分：oxy2dyx2ydx,其中L為正向圓周x2y29；L解：由Green公式，得2121?xydyxydxL22_233(xy)dxdy20d°rdrD812其中D為x2y29。(2)：(eyLy)dx(xey2y)dy,其中L為以O(shè)(0,0),A(1,2)及B(1,0)為頂點(diǎn)的三角形負(fù)向邊界;解：由Green公式，得?(eyy)dx(xey2y)dy(eyey1)dxdydxdy1。LDD*(3)x2ydxxy2dy,其中L為x2y26x的上半圓周從點(diǎn)A(6,0)到點(diǎn)O(0,0)及x2y2

2、L3x的上半圓周從點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)B(3,0)連成的弧AOB；uur解：連直線段AB,使L與BA圍成的區(qū)域?yàn)镈,由Green公式，得2,2222,2,xydxxydy(yx)dxdyxydxxydyLDBA152c4415_435_6一23cosd334044226402d6cos23r3cosdr0*(4)屯ydxxdy,其中l(wèi)為正向圓周x2(y1)24.lxy解：因?yàn)?2x y/ 222(x y )(x, y)(0,0)。作足夠小的圓周l:x222y r，取逆時(shí)針?lè)较?，記L與l圍成的閉區(qū)域?yàn)镈,由Green公式，得?嗎xdy0,故l-xyyxdXyd?|xdy2yIX2ydX2»

3、;sOc2sm22.計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分:xxe(12cosy)dx2esinydy,其中L為曲線ysinx上由點(diǎn)A(,0)到點(diǎn)O(0,0)的一段弧;LPvQ斛：pe(12cosy),Q2esiny,一2esiny，yx故積分與路徑無(wú)關(guān)，取A(,0)經(jīng)x軸到點(diǎn)0(0,0)的一條路徑，從而xx0x原式二e(12cosy)dx2esinydyedxe1。AO*3.設(shè)函數(shù)f(u)具有一一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明對(duì)任何光滑封閉曲線L,有凸lf(xy)(ydxxdy)0.一一PQ證明：f(xy)xyf(xy),記L圍成的閉區(qū)域?yàn)镈,由Green公式，得yx?f(xy)(ydxxdy)0dxdy0.'

4、D第四節(jié)對(duì)面積的曲面積分填空題:、一.22設(shè)為球面xy(2)面密度 (x, y, z) 3的光滑曲面的質(zhì)量M3 dS2.計(jì)算下列對(duì)面積的曲面積分:(2x y 2z)dS,其中為平面x y1在第一卦限的部分;解:Dxy (x, y) |x y 1,x0,y 0, z,dS 3dxdy原式=(2xDxyy 2(1 xy) 3dxdy.31dx0x(2 y)dy,301(lx(2)zdS,其中,122為z2(xy)(z1)的部分;解:Dxy(x,y)|22一-_xy2(r,)|0r.2,02，dS、1x2y2dxdy原式1 / 2Dxy2(Xy2) .1 x y dxdyr3 1r dr-02(r2

5、1)1,fVdr233/2-0(1r2)1r2dr2*(3)dS(1 x y)2為 x y z 1, x 0, y0, z 0圍成四面體的整個(gè)邊界解：1234，其中1: z 1 x y, Dxy :x y1,dS 岳xdy,3：y0,Dzx:xz1,dSdxdz,原式1233dxdyDxy(1 x y)24：z0,Dxy:xy1,dSdxdy°dS(1xy)24dydzdxdzdxdy222Dyz(1y)Dzx(1x)Dxy(1xy)(,3111)0dx0xdy(1xy)21dy1y0(1y)201dx1x2dz0(1x)20-111(、31)。2)dx1J0(1yy)2dy(、31

6、)ln2第七節(jié)Stokes公式*環(huán)流量與旋度1 .利用斯托克斯公式計(jì)算下列曲線積分：(1) °x2y3dxdyzdz,為xOy面內(nèi)圓周x2y22222(2) Q(y z )dx (z x )dy (x y )dz,a2逆時(shí)針?lè)较?；解：取為平面z0的下側(cè)被圍成的部分，D為在xOy面上的投影區(qū)域。由Stokes公式，得dydzdzdxdxdy原式二一一一3x2y2dxdy3x2y2dxdya6xyzd823，xy1zx軸正為平面xyz1在第一卦限部分三角形的邊界，從向看去是逆時(shí)針?lè)较?解：取為平面z0的上側(cè)被圍成的部分，的單位法向量n(1，4，4)。由Stokes公式，得、，3.3-3原

7、式二4,31.填空題:cos(xcoscosdS(1)已知L為橢圓12adSz)dSdS第十一章綜合練習(xí)題2.2、,其周長(zhǎng)為a,貝u(2xy3x4y)ds(2)已知L為直線x1上從點(diǎn)(1,2)到點(diǎn)(1,3)的直線段，則3.L5sinxtanydxxdy(3)設(shè)L是以點(diǎn)(0,0),(0,1),(1,1)為頂點(diǎn)的三角形正向邊界，則2xydx2xydy(4)曲線積分F(x,y)(ydxxdy)與路徑無(wú)關(guān)，則可微函數(shù)F(x,y)應(yīng)滿足條件_xFxyFy；*(5)設(shè)為平面xyz1在第一卦限的部分，取上側(cè)，則(y2z2)dydz2(z2x2)dzdx3(x2y2)dxdy2.求下列曲線積分:(1)x2ds

8、,其中為球面x2y22、，一一a被平面xyz0所截得的圓周;解：在的方程中,由于x,y,z循環(huán)對(duì)稱，故x2dSy2dSz2dS,于日Z(yǔ)E21/22212a_23xdS(xyz)dSadSg|2aa3333*(2):xdy2ydx，其中L是以(1,0)為圓心，2為半徑的正向圓周;L4xy解：-Q22y4x(4x2(x,y)(0,0)。作足夠小的橢圓l:4x2y22,取順時(shí)針?lè)较?，由格林公?xdy所以蜒言ydx-Tyxdyydx?Ll，22Ll4xyxdyydxlr22l4xy0。xdyydx2*3.在過(guò)點(diǎn)0(0,0)和慶(，0)的曲線族yasinx(a0)中，求一條曲線L,使該曲線從。到A積分

9、l(1y3)dx(2xy)dy的值最小.解：令I(lǐng)(a)l(1y3)dx(2xy)dy,則I(a)°1a3sin3x(2xasinx)acosxdx4a所以I(a)4(a21)0所以得駐點(diǎn)a1。又I(1)0,故I(a)在a1取得最小值，從而L為ysinx(0x)。2.*4.設(shè)曲線積分xydxy(x)dy與路徑無(wú)關(guān)，L(1,1)2(0,0)xydxy(x)dy.P-Q斛：2xy,y(x),由于積分xydxyyxl其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且(0)0,計(jì)算所以_P_Q,即2xyy(x),從而(x)x2c。yx(i.i)211(0,0)xydxy(x)dy0ydy2。5.計(jì)算下列曲面積分：x2dS

10、,其中為圓柱面x2y21介于z0與(x)dy與路徑無(wú)關(guān)，由(0)0,知c0,所以(x)x2。于是z2之間的部分;解：在的方程中，由于x與y循環(huán)對(duì)稱，故x2dSy2dS,于是2_122-1_xdS(x2y2)dSdS22*(2)2 1xdydz (z 1) dxdy 其中-222，/、,x y z為下半球面,1 x2y2的上側(cè);解:設(shè)平面 : z 0,(x,y) D(x, y)| x21,取下側(cè)。1圍成的下半球體為。由格林公式得:2 .xdydz (z 1) dxdy2 .xdydz (z 1) dxdyxdydz (z21) dxdyxdydz (z21) dxdy(32z)dydxdyD1r

11、dr001 r2 zdz近三年考研真題(2013 年)1.設(shè)L：22y 1,L2: xy2 2,22L3: x 2y2,L4 : 2x2y2為四條逆時(shí)針?lè)较虻钠矫媲€,記 Ii ?(yLi32dx(2x3x-)dy(i1,2,3,4),則 max I1,I2,I3,I43(A) I1(B)(C)(D) I 4(2012 年)2.設(shè)(x, y,z) | xy z 1,x 0,y0,z 0,則2 .y ds(2011 年)3.設(shè)L是柱面方程x22y 1與平面z xy的交線，從z軸正向往z軸負(fù)向看去為逆時(shí)針?lè)较颍瑒t（2011年）4.已知L是第一象限中從點(diǎn)（0,0）沿圓周2222xy2x到點(diǎn)（2,0）

12、,再沿圓周xy4到點(diǎn)（0,2）的曲線段，計(jì)算曲線積分J3x2ydx（x曲線積分？xzdx xdy y-dzx2y）dy。L近三年考研真題解析（2013年）1.解析：由格林公式:Ii?(yL'3y)dx(2x(1x2Di2，dxdyDiD4,在D4內(nèi)1x20,因此Ii2I2(1D4I4。2x2而在在D4外1x20,因此I2I4。2可彳#I3I4。（利用極坐標(biāo)分別計(jì)算出I3和I4）（2012年）2.解析：由曲面積分的計(jì)算公式可知:y2dsy2。1(1)2(1)2dxdy33y2dxdy,其中D(x,y)|x0,y0,xy1,_1故原式=、3dy0y2dx,3y2(1y)dy13。（2011年）3.解析:由斯托克斯公式得