曲線積分與曲面積分備課教案

1、第十章曲線積分與曲面積分一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求：1、理解二類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。2、會計(jì)算兩類曲線積分3、掌握（Green）公式，會使用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。4、了解兩類曲面積分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（StokeS）公式并會計(jì)算兩類曲面積分。5、了解通量，散度，旋度的概念及其計(jì)算方法。6、會用曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（如曲面面積、弧長、質(zhì)量、第T對弧長的曲線積分2學(xué)時(shí)第二節(jié)對坐標(biāo)的曲線積分2學(xué)時(shí)第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用4學(xué)時(shí)第四節(jié)對面積的曲面積分2學(xué)時(shí)第五節(jié)對坐標(biāo)的曲面積分2學(xué)時(shí)笫八.節(jié)高斯公式逋量與散度2學(xué)時(shí)第七節(jié)

2、斯托克斯公式環(huán)流量與旋度2學(xué)時(shí)0重心、轉(zhuǎn)動慣量、功、流量等）二、教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配:、教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)及難點(diǎn):1、二類曲線積分的概念及其計(jì)算方法2、二類曲面積分的概念及其計(jì)算方法3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式4、曲線積分及曲面積分的物理應(yīng)用和幾何應(yīng)用也是本章重點(diǎn)。5、兩類曲線積分的關(guān)系和區(qū)別6、兩類曲面積分的關(guān)系和區(qū)別7、曲線積分和曲面積分的物理應(yīng)用及幾何應(yīng)用五、思考題與習(xí)題第一節(jié) 第二節(jié) 第三節(jié) 第四節(jié) 第五節(jié) 第六節(jié) 第七節(jié)習(xí)題101 習(xí)題10-2 習(xí)題10-3 習(xí)題10-4 習(xí)題10-5習(xí)題10-6習(xí)題10-7131 頁：141 頁：153 頁：158 頁：167 頁：174 頁：1

3、83 頁:第一節(jié)331、4、311（單數(shù)）、4、5（單數(shù)）、4、5、7 （單數(shù)）2、3、4 （單數(shù)）、5 （單數(shù)）6 （單數(shù)）、75、6 （單數(shù)）、7、8（單數(shù)）、4（單數(shù)）、2 （單數(shù)）、3 （單數(shù)）（單數(shù)）、2、3、4對弧長的曲線積分一、內(nèi)容要點(diǎn)由例子引入對弧長的曲線積分的定義給出性質(zhì)，然后介紹將對弧長的曲線積分化為定積分的計(jì)算方法。1、弓I例：求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量最后舉例鞏固計(jì)算方法的掌握。2、卜f(x,y,z)ds為第一類曲線積分，其中為曲線，被積函數(shù)f(x,y,z)中的點(diǎn)(x,y,z)位于曲線上，即(x,y,z)必須滿足對應(yīng)的方程，ds=3dx2+dy2+dz2是弧微分、弧長元素。若是

4、封閉曲線，則第一類曲線積分記為.f(x,y,z)ds3、第一類曲線積分的應(yīng)用：1)、曲線的長s=Lds2)、若空間曲線形物體的線密度為f(x,y,z),(x,y,z)wF,則其質(zhì)量M=萬f(x,y,z)ds；.yf(x, y, z)ds . zf(x, y, z)ds.xf(x,y,z)ds質(zhì)心坐標(biāo)為(x,y,z),其中x=T,yM對x軸的轉(zhuǎn)動慣量Ix卜(y2+z2)f(x,y,z)ds4、第一類曲線積分的計(jì)算方法：X=x(t)若空間曲線參數(shù)方程為：)y=y(t),aWtwP，則ds=vx(t)2+y(t)2+z(t)2dt,z=z(t)Jrf(x,y,z)ds=f(x(t),y(t),z(t

5、)Jx(t)2+y(t)2+z(t)2dt。例1計(jì)算卜(x2+y2+z2)ds,其中：x=cost,y=sint,z=t,0t2n3-)解因?yàn)閤2+y2+z2=cos2t+sin2t+t2=1+t2,ds=f(sint)2+(cost)2+1dt=72dt,ooo2-：-:o所以.(x2yz2)ds=o(1t2)-2dt=、2(2二,例2中y|ds,其中為球面x2+y2+z2=2與平面x=y的交線;解的參數(shù)方程為x=y=cost,z=V2sint,0t0)1 z=1J-|-x=acost-F222222解：y=asint,0zt三2二，ds-qx(t)2y(t)2z(t)2dt=.a2(sin

6、2tco/t)dt=adtz=12222,、2_2.卜(x+y+z)ds=0(a+1)adt=2na(a+1)或解：被積函數(shù)x2+y2+z2中的點(diǎn)(x,y,z)位于曲線上，即(x,y,z)必須滿足對應(yīng)的方程，所以x2+y2+z2=a2+1,卜(x2+y2+z2)ds=(a2+1)ds=(a2+1)jpds=2Tia(a2+1)二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)1、理解對弧長的曲線積分的概念，了解對弧長的曲線積分的性質(zhì)2、掌握計(jì)算對弧長的曲線積分的方法3、對弧長的曲線積分與曲線方向無關(guān)，化弧長的曲線積分為定積分時(shí)，定積分的上限不能比下限小。第二節(jié)對坐標(biāo)的曲線積分、內(nèi)容要點(diǎn)弓I例：變力沿曲線所作的功由例子引入對

7、坐標(biāo)的曲線積分的定義，給出性質(zhì)然后介紹將對坐標(biāo)的曲線積分化為定積分的計(jì)算方法，并強(qiáng)調(diào)指出兩類曲線積分化為定積分的計(jì)算方法，最后舉例鞏固計(jì)算方法的掌握。一、jy(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz為第二類曲線積分，其中是一條定向曲線,F=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)為向量值函數(shù)，dr=(dx,dy,dz)為定向弧長元素(有向曲線元)取=x(t)若曲線的參數(shù)方程為：|y=y(t),則z=z(t)切向量=(x(t),y(t),z(t),單位切向量福二(cosa,cosp,cos?)弧長元素=X(t)2y(t)2z(t)2dt定向弧長元素dr=(dx

8、,dy,dz)=(x(t)dt,y(t)dt,z(t)dt)=(x(t),y(t),z(t)dt=(.x(t),y(t)z(t)ds.x(t)2y(t)2z(t)2,x(t)2y(t)2z(t)2.x(t)2y(t)2z(t)2=(cos:,cos!：,cos)ds=edsF e ds.P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz=.F,=.=.P(x,y,z)cos工-Q(x,y,z)cosl： R(x, y,z)cos ds =p(x，y，z)x(t)Q(x，y，z)y(t)R(x，y，z)z(t)ds,乂2 y(t)2 z(t)2上面的等式表明第二類曲線積分可以化為為第一

9、類曲線積分。例1把第二類曲線積分卜P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz化成第一類曲線積分，其中為r從點(diǎn)(0,0,0)到點(diǎn)(三2，三2,1)的直線段。22解方向向量(12,0,1),其方向余弦cosa=-,cosP=-,cosY=,22222原式=P(x,y,z)cos:工，Q(x,y,z)cosIR(x,y,z)cosds=/x,y,z)_Q(x,y,Z)-2R(x,y,z)ds例2.把第二類曲線積分(P(x,y)dx+Q(x,y)dy化成第一類曲線積分，其中為從點(diǎn)(0,0)沿上半圓周x2+y2=2x到點(diǎn)、x=x-1-x解的參數(shù)方程為:2x：0T1,切向量-=(x,

10、y)=(1,/2)、y=T2x-x22x-x2其方向余弦cosct=、12x-x2,cosP=1-x,(P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(x,y)cosa+Q(x,y)cosds=V2xx2P(x,y)+(1x)Q(x,y)ds。二、第二類曲線積分的應(yīng)用：若一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A沿光滑曲線(或個斷光滑曲線)移動到點(diǎn)B,在移動過程中，這質(zhì)點(diǎn)受到力F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,則該力所作的功W=.F*=.P(x,y,z)dx-Q(x,y,z)dyR(x,y,z)dz三、第二類曲線積分的計(jì)算方法：x=x(t)1、若空間定向曲線的參數(shù)方程,y=y(t)t:a-*b,則z(

11、t):P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzb=JHxQyQzOXt)Q(x(t),y(t),z(t)y(t)R(x(t),y(t),z(t)Z(t)dt2、若平面定向曲線的參數(shù)方程：/，t：aTb,則y=y(t)bP(x,y)dx+Q(x,y)dy=1P(x(t),y(t)x(t)+Q(x(t),y(t)y(t)dt例1計(jì)算y2dx+zdy_ydz,其中為曲線x=kg,y=acos&z=asin0上從6=0到0=n的一段弧。-k3_3解F2dx+zdy-ydz=k302-a2sin26-a2cos29d9=-a2no例2計(jì)算曲線積分,(z-y)dx+(x-z)dy+(x

12、-y)dz,其中是曲線r2,2.Py=1從軸正向看去，取順時(shí)針方向x-y+z=2分析先寫出曲線的參數(shù)方程，可令x=cos8,y=sin0,則z=2cos6+sin日，為參數(shù),由題設(shè)，的起點(diǎn)、終點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)值分別為和0;在代入計(jì)算公式。解曲線的參數(shù)方程為x=cos8,y=sin8,z=2cosH+sinH,日：21T0,于是0原式=2(2-cosi)(-sinR(2cosr-2-sinRcosr(cos二-sini)(cos二sin二)d=(2sin0+2cos02cos26-1)d0=0-g=-2n.二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)1、二類曲線積分的定義及計(jì)算方法，并講清楚它們的聯(lián)系和區(qū)別。2,曲線積分與

13、二重積分由格林公式聯(lián)系起來，并由此得出結(jié)果一一可用曲線積分計(jì)算平面圖形的面積。在本章的講述中，應(yīng)提醒學(xué)生注意：1、對坐標(biāo)的曲線積分與曲線方向有關(guān)。2、求曲線型構(gòu)件的質(zhì)量轉(zhuǎn)動慣量，長度及重心坐標(biāo)用對弧長的曲線積分；求變力沿曲線所作的功用對坐標(biāo)的曲線積分。第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用一、內(nèi)容要點(diǎn)先介紹單連通域，畫圖說明然后回憶牛頓-菜布尼茲公式，由此推出格林公式(書上定理1)并證明。提出格林公式將二重積分與曲線積分聯(lián)系起來了。舉2個例子說明格林公式的用法再介紹平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件。給出149頁定理3,并證明，更重點(diǎn)講151頁公式，然后舉2個例子說明該公式的用法。該堂課講153頁習(xí)題3,再由此說

14、明格林公式的條件。二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)第四節(jié)對面積的曲面積分一、內(nèi)容要點(diǎn)弓I例：求空間曲面的質(zhì)量由例子引進(jìn)對面積的曲面積分的定義，并給出性質(zhì)介紹將對面積的曲面積分化為二重積分的計(jì)算方法，該方法可概括為“一代二換三投影”。舉3個例子提出該積分與二重積分的區(qū)別二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)了解對面積的面積分的定義，掌握其計(jì)算方法在本章的講述中，應(yīng)提醒學(xué)生注意：求空間曲面的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量，曲面面積及重心坐標(biāo)用對面積的曲面積分；第五節(jié)對坐標(biāo)的曲面積分一、內(nèi)容要點(diǎn)先介紹有向曲面引例：穩(wěn)定流體在單位時(shí)間流過曲面的流量由例子引入對坐標(biāo)的曲面積分的定義，給出性質(zhì)重點(diǎn)說清楚對坐標(biāo)的曲面積分與曲面的側(cè)有關(guān)，同時(shí)提醒學(xué)生注意區(qū)別兩類曲面積分。再介紹對坐標(biāo)的曲面積分化為二重積分的方法，舉2個例子說明該方法。最后給出兩類曲面積分之間的聯(lián)系。二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)1、二類曲面積分的定義及計(jì)算方法，并講清楚它們的聯(lián)系和區(qū)別。2、曲線積分與曲面積分計(jì)算空間立體的體積。3、求穩(wěn)定的流體在單位時(shí)間內(nèi)通過曲面的流量用對