數(shù)列求和方法匯編及典題訓(xùn)練

1、數(shù)列求和方法匯編【教學(xué)目標(biāo)】、知識(shí)目標(biāo)1 .熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式；2 .能運(yùn)用倒序相加、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等重要的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求和運(yùn)算;3 .熟記一些常用的數(shù)列的和的公式.、能力目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的含情推理能力”、等價(jià)轉(zhuǎn)化”和演繹歸納”的數(shù)學(xué)思想方法，以及創(chuàng)新意識(shí)，滲透運(yùn)用定義、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.三、情感目標(biāo)通過(guò)數(shù)列求和的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的聯(lián)系和差異，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.【教學(xué)重點(diǎn)】1 .求數(shù)列的和注意方法的選?。宏P(guān)鍵是看數(shù)列的通項(xiàng)公式；2 .求和過(guò)程中注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用；3 .轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用；【教學(xué)難點(diǎn)】錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法的應(yīng)

2、用【知識(shí)點(diǎn)梳理】1.直接法：即直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。(1)等差數(shù)列的求和公式：Sn=n(a1an)=na1n(n-1)d22(2)等比數(shù)列的求和公式Snna1(q = 1)a1"qn)/ 八-(q 01)L. 1 _q(切記：公比含字母時(shí)一定要討論)2.公式法:k之一廣？323n±n(n1)(n.kW6n"k3=132333HIn3k13 .錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.比如a擇差,tn粹比，求a1bl+a2b2#一+an

3、bn的和.4 .裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.常見(jiàn)拆項(xiàng)公式:n(n 1)11/11=一(n(n 2)2 n n 21111二一(一)nn!=(n1)!n!(2n-1)(2n1)22n-12n15 .分組求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列相加或相減組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減.6 .并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和.形如an=(1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解.例如，Sn=1002992+982972+-+22-12=(100+99)+(98+97

4、)+(2+1)=5050.7 .倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的.8 .其它求和法：如歸納猜想法，奇偶法，導(dǎo)數(shù)法等【典型例題】題型一、公式法求和例題1：已知數(shù)列an是首項(xiàng)a1=4,公比qwi的等比數(shù)列，&是其前n項(xiàng)和，且4日，35,2a3成等差數(shù)列.(1)求公比q的值；(2)求I=a2+a4+a6+a2n的值.【解析】(1)由題意得2a5=4a-2a3.an是等比數(shù)列且a1=4,公比qw1，2a1q4=4a1-2a1q2,q4+q2-2=0,解得q2

5、=2(舍去)或q2=1,，q=-1.(2)a2,a4,a6,，a2n是首項(xiàng)為a2=4X(1)=-4,公比為q2=1的等比數(shù)列，Tn=na2=4n.【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用公式法求和時(shí)，要保證公式使用的正確性，尤其要區(qū)分好等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式.變式1:已知數(shù)列I1滿足an=-4n+21,（1）證明an是等差數(shù)列;(2)求ai+a2+a3+an解:(1 ) an+i an = 4( n之1),二an 是以17為首項(xiàng)，公差為-4的等差數(shù)列(2)顯然an是遞減數(shù)列，令an=0,得n=4二當(dāng)n<6時(shí)，an>0,當(dāng)n之6時(shí)，an<0,設(shè)Sn=a+a2+an二當(dāng) n < 6

6、時(shí)，a1 + |a21 + + |an當(dāng) n26時(shí)，a1 +a2 十+an-a1 a2an(17+(-4n+21)n2二 n(19-2n)=a1 a2 + + a5 - (a6 - a7 + + an)2=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn=2n-19n,90【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于等差數(shù)列的絕對(duì)值的求和，我們一般是轉(zhuǎn)化為分段求和來(lái)解決題型二、分組求和例題2:求和：Sn=1+11+111+111n個(gè)12212n12Sn=(x-)2(x2f2(xnf)2xxx2k1k【解析】：ak=11111=1十10十102十+10k=(10k-1)飛個(gè)912n 12 n 1 10(10n -1)Sn(10-1) (10

7、 -1)(10 -1)(10 10 " 10 )-n 999910 一 n,n 1 - 9n -1081Sn=(x242)(x4:2)(x2n±2)xxx111=(x2x4-x2n)(-7-4-f)2nxxx(1)當(dāng) x ¥±1 時(shí)，Snx2(x2n -1)x2 -1xxn 7)x" -12n2n2n 2(x - 1)(x1)2n f 2 公x (x -1)2n(2)當(dāng)x=1時(shí),Sn=4n【點(diǎn)評(píng)】：1、通過(guò)分組，直接用公式求和。2、運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意公比q=1或4#1討論。變式2：已知數(shù)列xn的首項(xiàng)x1=3,通項(xiàng)xn=2np+n

8、q（nCN*,p,q為常數(shù)），且x1，刈,飛成等差數(shù)列.求：（1）p,q的值；（2）數(shù)列xn前n項(xiàng)和Sn的公式.【解析】（1）由x1=3,得2p+q=3,又因?yàn)閤4=24p+4q,x5=25p+5q,且x+x5=2x4,得3+25p+5q=25p+8q,解得p=1,q=1.(2)由(1),知xn=2n+n,所以Sn=(2+22+2n)+(1+2+n)=2n+1-2+nn1)【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于不能由等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式直接求和的問(wèn)題，一般需要將數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的拆分，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和.題型三、裂項(xiàng)相消法求和例題3 :數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an1，求匕的刖 n項(xiàng)和n(

9、n 1)【解析】：Sn =a +a2 +a3+川+an- an二111iii2 334I+|3 41 1n 1 n 1【點(diǎn)評(píng)】：裂項(xiàng)相消法求和的關(guān)鍵是數(shù)列的通項(xiàng)可以分解成兩項(xiàng)的差, 這兩項(xiàng)的結(jié)構(gòu)應(yīng)一致，并且消項(xiàng)時(shí)前后所剩的項(xiàng)數(shù)相同且這兩項(xiàng)是同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)，即變式3:求和Sn(2n -1)(2n 1)【解析】ak_ 2(2k)(2k -1)(2k 1)_2(2k) -1 1/二 1(2k -1)(2k 1)(2k -1)(2k 1)11=1(2 2k -1六)1111"”1-1)+。-5)i2n 1、2n(n 1)=占彳變式4在數(shù)列an中,an =7+ +-n+1 n+1n+1bn

10、= -an an+ 1,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.【解析】an=+-+n+1n+1n+11+2+nn(n+1nn+ 12(n+1 ) 2-bn= -an an+1n n+ 1 n(n+ 1 )2 . 2=81_，8nn+1.變式5等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，2a4,a3,4a5成等差數(shù)列，且a3=2a22.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn .2n5(2)僅bn=an,2n12n3【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,依題意，有a3 =2 a44a51a3 = 2a2 .I23 ad, 2a5, 即 34 25j a3 = 2a2 .所以a1qaq34uqq2aq2 2 由于 a

11、 # 0 , q # 0 =2a1 q .a1,解之得Jq1212或 a1 =2, q = -1. 一 一一. 1又 a1 >0,q >0 ,所以 a1 = 一，q2an的通項(xiàng)公式為an_,2n 5(2)解：由(1),得 bn =2nan n 2n 1 2n 3 n2n 52n 1 2n 312n所以bn2n 1 2n 3 2n(2n1)2n4(2n3)2n所以Sn=nb2Lbn13 5 2 J 157 22 )L(j：2n - 1 22n 3 2n32n32n故數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn32n32n【點(diǎn)評(píng)】有時(shí)候需要根據(jù)實(shí)際情況自己去拼湊。題型四、錯(cuò)位相減法求和例題4：已知數(shù)列1,3a,

12、5a2,，（2n_1）an,（a=0）,求前n項(xiàng)和。.一2一n1_23_n_【解析】Sn=13a5a(2n-1)a_1aSn=a3a5a(2n-1)a2Sn =1 十 a (2n + 1)an + (2n 1)an 書(shū)(1-a)21-2:(1-a)Sn=12a2a22a32an-(2n-1)an當(dāng)a:1時(shí),(1a)Sn=12a(1a2)-(2n-1)n(1-a)當(dāng)a=1時(shí),Sn=n2【點(diǎn)評(píng)】1、已知數(shù)列各項(xiàng)是等差數(shù)列1,3,5,2n-1與等比數(shù)列a0,a,a2,，an對(duì)應(yīng)項(xiàng)積，可用錯(cuò)位相減法求和。2、運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意公比q=1或4#1討論。3、錯(cuò)位相減法的求解步驟：在等式兩邊

13、同時(shí)乘以等比數(shù)列cn的公比q；將兩個(gè)等式相減；利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求和.變式5已知an=n*2nJL,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.【解析】Sn=12+22+(n-1)攵n"+n攵n，2Sn=13+2122+(n-1)+n12n一得Sn=n?-心0-21-2n，)n12n-2n1【點(diǎn)評(píng)】注意識(shí)別數(shù)列形式，運(yùn)用相應(yīng)的方法題型五、倒序相加法求和例題5：求證：C：+3C：+5C：+(2n+1)Cnn=(n+1)2n【解析】令Sn=C：+3C：+5C；+(2n+1)Cn(1)貝US=(2n，1)Cn，(2n-1)Cn,，-5C23C1C0(2)Cm=Cn_mSnyn)Cnn)CnCnOC

14、nCn(ZJCnCn(1)+(2)有:2Sn=(2n+2)C：+(2n+2)C：+(2n+2)C2+(2n+2)C：,Sn=(n+1)C0+C：+C：+C：=(n+1)"等式成立【點(diǎn)評(píng)】解題時(shí)，認(rèn)真分析對(duì)某些前后具有對(duì)稱(chēng)性的數(shù)列，可以運(yùn)用倒序相加法求和已知函數(shù)f x =(1)證明：f (X )十 f (1x )= 1;=IM = f1010變式6:令$=fi1f2IHfi8j；fi910101010貝底二fi9fi8mff10101010兩式相加得：fr1)f9,92S=9xf+fI=9所以5=-.IU0j110，2題型六、并項(xiàng)求和例6:Sn=1002992+982972+2212【

15、解析】Sn=1002992+982972+2212=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.【點(diǎn)評(píng)】一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和.形如an=(1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解.題型七、其它求和方法(歸納猜想法，奇偶法等供參考)例7：已知數(shù)列Alan=2n(1)n,求Sn。2m【解析】：an=-2n+2(1)n,若n=2m,則Sn=S2m=2(1+2+3+2m)+2£(-1)kkWSn=-2(1232m)=-(2m1)2m=-n(n1)若n=2m1,則Sn=S2m,=S2ma2m=(2m+1)2m+22m(1)2m=(2m+1)2m+2(

16、2m1)222=-4m2m-2=-(n1)(n1)-2=-n-n-2.Snn(n+1)(n為正偶數(shù))-n2-n-2(n為正奇數(shù))【點(diǎn)評(píng)】：an=-2n-2(-1)n,通過(guò)分組，對(duì)n分奇偶討論求和。6n-5變式7：已知數(shù)列an的通項(xiàng)an=(心奇數(shù)),求其刖n項(xiàng)和Sn.(nM禺?dāng)?shù))n【解析】：奇數(shù)項(xiàng)組成以a1=1為首項(xiàng)，公差為12的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)組成以a2=4為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)有口二口項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有口二項(xiàng)，22n1(16n-5)Sn=-24(14為(n十1)(3n2)4(2n'1)TT,1-4當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別有2n1日一項(xiàng)，2n(16n-5)S

17、nn4(1-42)1-4n(3n-2)十4(2n-1)(n+1)(3n-2)J(2n-1)(n奇數(shù))所以，Sn=(n為偶數(shù))n(3n-2)4(2n-1)I+例8:借助導(dǎo)數(shù)求和2.n1*pn(x)=12x3x|l|nx(x=1,nN)'fn#、/_/、_n+加,221innx'x-x1(n+1)x+nx【斛析】pn(x)=(x+x+|x)=2<1-xJ(1-x)【點(diǎn)評(píng)】本題可以用錯(cuò)位相減法完成，用導(dǎo)數(shù)法求和也可以。變式8：借助導(dǎo)數(shù)求和C：+2C2+3C3+111+nC：【解析】由二項(xiàng)式定理(1+x)n=C：+C：x+C2x2+H|C：xn。求導(dǎo)得n(1+xy=Cn+2C：x

18、+3C3x2+|+nCnxn，令x=1得Cn+2C：+3C3+IM+nCn=n'2n【方法與技巧總結(jié)】1數(shù)列求和需注意方法的選取：關(guān)鍵是看數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)選擇適當(dāng)?shù)姆椒?2.求和過(guò)程中注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用；【鞏固練習(xí)】1.求下列數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn：5n(1)5,55,555,5555,，(10n-1),;9(2)1111再，國(guó),而排環(huán)(3)(4)a,2a2,3a3|,nanJH；(5) lM3,2x4,3M5,|,n(n+2),川;(6) sin21'sin22'sin23，JJIIIHsin289l.1',+2>,+2+4j，<+2+4+

19、"+211)2、已知等差數(shù)列an的前3項(xiàng)和為6,前8項(xiàng)和為一4.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=(4an)qn1(qw0,nCN),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.3、已知等差數(shù)列anM足a2=-7,S4=-24，求a1+a2+03+an4、設(shè)an是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且ai=b=1,a3+b5=21,a5+b3=13.（I）求an,bn的通項(xiàng)公式；an（II）求數(shù)列的刖n項(xiàng)和Sn.a5、已知工）x- 10051006 - x '(1)"0)+/+"2)+T"2011)+FQQ12)；(2)1)+/+5)+”2009)+/

20、(2011).【課后作業(yè)】1 .等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2“一1,貝Ua12+a2+a2+a2=2 .設(shè)Sn=1+35+7W+(1)n(2n1),則S0=1113 .=1447(3n-2)(3n1)11114 .-2*43*54*6(n1)(n3)5.數(shù)列 1,(1+2),(1 +2 +22)/H(1 +2 +2 2+川+2 ndM| 的通項(xiàng)公式 為=，前n項(xiàng)和Sn =7、在數(shù)列an中,求Sn的表達(dá)式;2n -1的前n項(xiàng)和為2n ,'a1=1,當(dāng)n>2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足S2= an!Sn -Sn(2)設(shè) bn=2n+ 1，求bn的刖 n 項(xiàng)和 Tn.8、已知等差數(shù)列an滿

21、足a2 =。, a6+a8=10.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列ijnn1的前n項(xiàng)和.9,、設(shè)數(shù)列an滿足ai+3a2+32a3+3n1an=，nCN.3求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；設(shè)bn=£",求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.J1一一一.n,n為偶數(shù)I,10、已知數(shù)列的通項(xiàng)為：an=nI乙，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.2n,n為奇數(shù)11、_已知函數(shù)/=下二點(diǎn)&（甬口】）為J：層函數(shù)/a陽(yáng)像上任意兩點(diǎn)，且線段rp的申點(diǎn)的4-2橫坐標(biāo)為；Jh求證：（1）點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值；在數(shù)列沖，若/=/（30=/（2）、七二八與（用已入）,mmm求數(shù)列4的前加娜口.【拓展訓(xùn)練】11111

22、,數(shù)列an滿足：a1=1,且對(duì)任息的m,nCN都有：am+n=am+an+mn,則一*十*a a2 a3a2008()4016A .20092008B. 20092007C. 10042007D. 20082.數(shù)列an、bn都是公差為1的等差數(shù)列,若其首項(xiàng)滿足a+b1=5, a1>b1,且a1，bKN*,則數(shù)列 a® 前10項(xiàng)的和等于A. 100()B. 85C. 70D. 553 .設(shè)m=1X2+2X3+3X4+(n-1)n,則m等于A n(n2 -1)3B. ； n(n+4)j ， L、C. n(n+5)D. n(n+7)24 .若Sn=1-2+3-4+(-1)n1，n,則

23、S17+S33+S50等于A.1B.-1C.05 .設(shè)an為等比數(shù)列， bn為等差數(shù)列，且()A.978B.557C.4676 . 1002-992+982-972+ +22-12 的值是A.5000B.5050C.10100D.2bl=0,Cn=an + bn,若數(shù)列 Cn是 1,1,2,，貝U Cn的前D.979()D.2020010項(xiàng)和為7 .一個(gè)有2001項(xiàng)且各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為.8 .若12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn,貝Ua=,b=,c=.1.11*9、已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a1=4，公比q=4的等比數(shù)列，設(shè)bn+2=3log.an(nCN

24、),數(shù)列Cn滿足Cn=anbn.求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Sn.10、設(shè)數(shù)列an滿足a+3a2+32a3+3n1an=n,nCN*.3(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=-,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.bn的第11、已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)ai=1,公差d>0,且其第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是等比數(shù)列二、三、四項(xiàng).(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；c1C2c30n(2)設(shè)數(shù)列Cn對(duì)任意自然數(shù)n均有十*+-3+巴=an書(shū)成立.b1b2b3bn求C1+C2+C3+C2003的值.12、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=2an+(-1)n,n>1.(1)求證

25、數(shù)列an+2(-1)n是等比數(shù)列；3(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；1117(3)證明：對(duì)任,國(guó)的整數(shù)m>4,有+<一.a4a5am813、已知二次函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)=6x-2,數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(n,Sn)(nwN*)均在函數(shù)y=f(x)的圖像上。(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;一、“1一一，一(n)設(shè)bn=,Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求使得Tnanan1<對(duì)所有nwN”都成立的最小正整數(shù)m；20鞏固練習(xí)答案51、解:(1)Sn=5+55+555+111+551115=2(9+99+999+川+99|1|9)95=(10-1)(1095

26、2=10102109-1)(103-1)I"(10n-1)+lll+10nn=50(10n1)5n.819一11/1=_(一n(n2)2n)，Snf1。CT(3-5)吠11心2(12)11(3)anv.n1：/n,n、.n1(.n.n1)(.n1-Jn)=.n1-Jn-Sn=.4、=(疵1)+(由&)+H|+(Vn+T-Vn)=Vn+T-1.2(4) Sn =a 2a2+ 3a3 +| + nan,當(dāng)a=1時(shí)，Sn=1+2+3+n=n(n",2當(dāng)a#1時(shí)，Sn=a+2a2+3a3十+nan,aSn=a2+2a3+3a4+nan*,兩式相減得23nn1a

27、(1-a)n1(1a)Sn=a+a+a+a-na=-na,1-an2n1_na(n1)aaSn=Ta2。-a)(5)-n(n+2)=n2+2n,2222n(n1)(2n7)原式=(12+22+32+n2)+2父(1+2+3+n)=-(.6(6)設(shè)S=sin21'+sin22"+sin23'+|+sin289，又S=sin289：sin288，sin2871IHHlsin21,892S=89,S=.2(7) 和式中第k項(xiàng)為一/1-臣,人ak=1+2+4+*r=1=21一2k.1-2")+ (1-.Sn=2«2卜=21(1+1+1+22+-+111-2

28、2、（1）設(shè)an的公差為d,則由已知得a1+a2+a3=6,3a1+3d=6,L+a2+as=4,即、8a1+28d=4,解得a1=3,d=1,故an=3(n1)=4n.(2)由(1)知，bn=nqn1,于是Sn=1q0+2q1+3q2+-+nqn1,若qwl,上式兩邊同乘以q.qSn=1q1+2q2+-+(n1)qn1+nqn,兩式相減得：(1q)Sn=1+q1+q2+qn1-nqn1qnn二而一nq.二 Sn =1 qn n qn nqn一(口+1式+12一1-q 1-q21-q若q=1,則Sn=1+2+3+n="”21),（q=1），q4.rn(n+1)2Sn1nqn1(n+1

29、qn+1(1-q)ad-7解：(ai+a1+3d)4，得a1=-9，d=2，an=2n-111 1-=-2423、顯然a0是遞增數(shù)列，令an=0,得n=11nn2，當(dāng)n<6時(shí)，an<0,當(dāng)n26時(shí)，an>0,設(shè)Sn=a1+a2+an止h(-9+2n-11)n:當(dāng)nc6時(shí)，a1+a2+,+an=(a1+a2+,+an)=n(n-10)12當(dāng)n26時(shí)，a1|+a2|+|an|=一(a1+a2+a5)+(a6+a7+an)二一S5(Sn-Ss)=Sn-2s5=n(n-10)504覽12d1q=21在”曰解：4，解得：d=2,q=214d1q2=13.an=2n-1,bn=2nan2

30、n-1bn2nc135Sn=202T/2n-12nd.2n_d2n兩式相減得：-Sn212n-111202nz11+2(丁+)十，十21222n1)=12n1-12nA力2Sn=2-2n-14(12門(mén)5解一因?yàn)榍В┎穮R。二x-10052012-X-10051006-jc1006-(2012-jc)-/(0)+/(2012)=/(I)+/(2011)=(1)設(shè)S=f(0)+f+/(2)+/(2011)+/(2012)S=/(2012)+/(2011)+/(2010)+-+/(l)+/(0).2,=2013(/(0)+/(2012)=026.Sn=2013(2)5="D+f(3)+”5)

31、+/Q009)+/(2011)S=/(2011)+/(2009)+/(2007)+*-+/(3)+/(1)/.25原=1006(/(1)+/(2011)=-2012=-1006課后作業(yè)答案1、4-z1 2、(T)n n 3、3n1.+111'3n+1、2123n+2n+3)5、2n-1;2n1-2-n6Sn=3沖。2n7、解（1）；Sn=an0-2i,anSnSn-1(n2),Sn=(Sn一Sn1)Sn一2)，即2Sn-1Sn=Sn-1Sn,由題意Sn1Sn*0,11式兩邊同除以SniSn,得=2,SnSn1z、一ii、,，數(shù)列v混首項(xiàng)為-=-=i,公差為2的等差數(shù)列.SnSiai1c

32、1STwm-,fm.(2)又 bn =Sn2n 112n 1 2n+1=2?n12n+1./Tn=b1+b2+bn， 2n+ 1 /J:=q2< 2n+1> 2n+1.a1 + d = 0,8解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由已知條件可得.+12d1。,解得31=1,、d=1.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an = 2 n.an設(shè)數(shù)列i”的前n項(xiàng)和為Sn,._an_ j 。工 2n 1 2n 1 2n 2-2n 1,c c /1 I 1.&= 2+ 1 + 2+27+- +彳2 31 + 2+22+2 , 3 n記 Tn= 1 + 2+ 22+,-,+ 2n-T,i1_ 1 23 n則

33、 2Tn = 2+22+ 23+ 外,i1111 n得： Rn： 1+2+22+ * 2n，彳111-2nn一2%=1 2n.2-1即 Tn=4 J 2n !- 2n-12i1-S)Sn=11-2.In4 J 2n ；+ 2n-1=4 12n 4 1 1 , n2nj+ *n2n1.9、解(1)a1 + 3a2 +32a3+ 3n 1an=n,3.當(dāng)n2時(shí),a1 + 3a2 + 32a3 + + 3n 2an 1 =".1,3一得:3n-1an = n3n 1 1=3，.an=3n.，1,一，、當(dāng)n=1時(shí)，a1=.也適合上式,3(2)bn=*n3n,.Sn=1X3+2X32+3X33

34、+n3n,則3Sn=32+2X33+3X34+-+n3n+1,得：2&=3+32+33+-+3nn3n13(13n)9+1=1-3n3=-|(1-3n)-n3n+1,o3nn3n1&=4(1-3)+2=32n13n144.10、解：a2m=2m,a2m=22m1=-4m當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，令n=2m(mnN十)，Sn=S2m=a1+a2+a3+a2m二(a1a3卜 卜a2m J )(a2a477a2 m )4(1 -4m) , 2 (1 m)m=2 4m m2 3_2-m2 = 2 2n n n _ 2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),n=2m-1(m N ), Sn=S2m-1O c _ 2 mS2m

35、 -a2m = 3 42m -m12n，. Sn2n3，n為偶數(shù)n為奇數(shù)解：設(shè) P(Xo,yo), Xix2 = 14X1 4x244均4X24V。二V1V21由(1)得：f (x)4x222(4x24x2) 42(4X24x2) 8.1 .一 . 1、“f(1-x)2 ff力f(m-1、)=二m2設(shè)am的前m®和為Sm,則f(0)+Sm=f(0)+f()+f()+Nm+f。)mmmf(0)Sm=f(1)f戶(hù))+f(m)+f(-)+f(0)mmm111兩式相加：2(f(0)+Sm)=(m+1),，Sm=-m-24123、拓展訓(xùn)練答案1.解：am+n=am+an+mn,an+1=an+

36、a1+n=an+1n?利用疊加法得到：an=n(n+1),工=-2一=2(1'),2ann(n1)nn11111a1a2a3a20081 = 2(1 -2111+ _ - + -x + !2 32008120091 、)=2(1 - ) 20094016=.2009答案：A.2 .解：:an=a+n1,bn=b+n13bn=a1+bn1=a1+(b+n1)1=a1+bi+n2=5+n2=n+3413則數(shù)列Rn也是等差數(shù)列，并且前10項(xiàng)和等于：m10=852答案：B.3 .解：因?yàn)閍n=n2-n.,則依據(jù)分組集合即得.答案；A.n+1-(n為奇)4 .解：對(duì)前n項(xiàng)和要分奇偶分別解決，即：

37、Sn=<22(n為偶)答案：A'q+d=15 .解由題意可得a1=1，設(shè)公比為q,公差為d,則,9q2+2d=2-q-2q=0,qw0,q=2,an=2,bn=(n-1)(-1)=1-n,Cn=2+1-n,Sn=978.答案：A6 .解:并項(xiàng)求和，每?jī)身?xiàng)合并，原式=(100+99)+(98+97)+-+(2+1)=5050.答案：B7 .解：設(shè)此數(shù)列an,其中間項(xiàng)為a1001,貝US奇=21+23+25+.一+22001=1001,a1001,S偶=22+24+26+一+a2000=1000a1001.答案：100110008.解:2n3-3n2n6111答案：1;-1;1326(1)由題意，知an=g)(neN*),9、41又bn=3log4an2,故bn=3n2(nCN).(2)由(1),知 an=*bn = 3n 2(n N ), .cn=(3n 2)X4X12+7X13+ (3n-5)x '4 n 1+(3n-2)x 1 n, vrZW于是1Sn=1X %+4X (+7X 少+(3n 5)X g)+(3n 2)x QJ+1,兩式相減，得3S = 4+ 3!+ £"+ Qin I- (3n-2)x C)1=2 (3n + 2)x 爐,2 3n+ 2Sn = Q - o X331,n