非線性微分方程

1、第六章 非線性微分方程教學(xué)目的：使學(xué)生重點掌握二維自治系統(tǒng)奇點的分類及其附近的軌線分布；理解穩(wěn)定性概念及其判定定理，會應(yīng)用穩(wěn)定性概念、線性化系統(tǒng)的特征值、Liapunov第二方法討論自治系統(tǒng)的解的穩(wěn)定性；了解周期解和極限環(huán)的概念教學(xué)內(nèi)容：1、存在唯一性定理、穩(wěn)定性2、相平面相平面、奇點分類、按線性近似決定微分方程組的穩(wěn)定性3、Liapunov第二方法Liapunov第二方法4、極限圈周期解、極限環(huán)教學(xué)重難點：奇點的分類與相應(yīng)零解的穩(wěn)定性教學(xué)過程：§6.1 穩(wěn)定性6.1.1 常微分方程組的存在唯一性定理本章討論非線性常微分方程組 （6.1）的解的性態(tài). 設(shè)給定方程組（6.1）的初值條件

2、為 ， （6.2）考慮包含點的某區(qū)域 .在這里的范數(shù)定義為. 所謂在域上關(guān)于滿足局部利普希茨條件是指：對于內(nèi)任一點，存在閉鄰域，而于上關(guān)于滿足利普希茨條件，即存在常數(shù)，使得不等式 （6.3）對所有成立. 稱為利普希茨常數(shù). 存在唯一性定理 如果向量函數(shù)在域上連續(xù)，且關(guān)于滿足利普希茨條件，則方程組（6.1）存在唯一解，它在區(qū)間上連續(xù)，而且 這里. 解的延拓與連續(xù)定理 如果向量函數(shù)在域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足局部利普希茨條件，則方程組（6.1）的滿足初值條件（6.2）的解可以延拓，或者延拓到（或）；或者使點任意接近區(qū)域的邊界. 而解作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的. 可微性定理 如果向量函數(shù)及在域內(nèi)連

3、續(xù)，那么方程組（6.1）由初值條件（6.2）確定的解作為的函數(shù)，在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)可微的.6.1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性考慮一階非線性方程 （6.4）其中為常數(shù)且，初值條件為.為研究方程組（6.1）的特解鄰近的解的性態(tài)，通常先利用變換 （6.6） 把方程組（6.1）化為 ， （6.7）其中 . 此時顯然有 （6.8）而把方程組（6.1）的特解變?yōu)榉匠探M（6.7）的零解. 于是，問題就化為討論方程組（6.7）的零解鄰近的解的性態(tài).駐定微分方程常用的特解是常數(shù)解，即方程右端函數(shù)等于零時的解，如方程（6.4）的特解. 微分方程的常數(shù)解，又稱為駐定解或平衡解.考慮微分方程組（6.7），假設(shè)其右端函數(shù)

4、滿足條件（6.8）且在包含原點的域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，從而滿足解的存在唯一性、延拓、連續(xù)性和可微性定理的條件.定義1 如果對任意給定的，存在，使當(dāng)任一滿足時，方程組（6.7）的由初值條件確定的解，對一切均有 .則稱方程組（6.7）的零解為穩(wěn)定的.如果（6.7）的零解穩(wěn)定，且存在這樣的使當(dāng)時，滿足初值條件的解均有，則稱方程組（6.7）的零解為漸近穩(wěn)定的.如果零解漸近穩(wěn)定，且存在域，當(dāng)且僅當(dāng)時滿足初值條件的解均有，則域稱為（漸近）穩(wěn)定或吸引域. 若穩(wěn)定域為全空間，即，則稱零解為全局漸近穩(wěn)定的或簡稱全局穩(wěn)定的.當(dāng)零解不是穩(wěn)定時，稱它是不穩(wěn)定的. 即是說：如果對某個給定的不管怎樣小，總有一個滿足，使由初

5、值條件所確定的解，至少存在某個使得 ，則稱方程組（6.7）的零解為不穩(wěn)定的.二維情形零解的穩(wěn)定性態(tài)，在平面上的示意圖如圖（6.2）（見254頁） 按線性近似決定穩(wěn)定性考慮一階常系數(shù)線性微分方程組 （6.10）由第五章5.3的（5.52）式可知，它的任一解均可由 （6.11）的線性組合，這里為方程組（6.10）的系數(shù)矩陣的特征方程 （6.12）的根，為零或正整數(shù)，由根的重數(shù)決定.根據(jù)（6.11），與第五章相對應(yīng)的可得如下結(jié)論.定理1 若特征方程（6.12）的根均具有負實部，則方程組（6.10）的零解是漸近穩(wěn)定的；若特征方程（6.12）具有正實部的根，則方程組（6.10）的零解是不穩(wěn)定的；若特征方

6、程（6.12）沒有正實部的根，但有零根或具有零實部的根，則方程組（6.10）的零解可能是穩(wěn)定的也可能是不穩(wěn)定的，這要看零根或具有零實部的根其重數(shù)是否等于1而定.考慮非線性方程組 ， （6.13）其中，且滿足條件 （當(dāng)時）. （6.14）顯然是方程組（6.13）的解. 亦是方程組的奇點.問題 在什么條件下，（6.13）的零解穩(wěn)定性能由線性微分方程組（6.10）的零解的穩(wěn)定性來決定. 這便是所謂按線性近似決定穩(wěn)定性的問題.定理2 若特征方程（6.12）沒有零根或零實部的根，則非線性微分方程組（6.13）的零解的穩(wěn)定性態(tài)與其線性近似的方程組（6.10）的零解的穩(wěn)定性態(tài)一致. 這就是說，當(dāng)特征方程（6

7、.12）的根均具有負實部時，方程組（6.13）的零解是漸近穩(wěn)定的，而當(dāng)特征方程（6.12）具有正實部的根時，其零解是不穩(wěn)定的.（6.2中再補充證明）該定理說明非線性微分方程組（6.13）的零解是否為漸近穩(wěn)定的取決于其相應(yīng)的特征方程（6.12）的全部的根是否具有負實部.臨界情形至于特征方程（6.12）除有負實部的根外還有零根或具零實部的根的情形，非線性微分方程組（6.13）的零解的穩(wěn)定性態(tài)并不能由線性近似方程組（6.10）來決定. 因為可以找到這樣的例子，適當(dāng)變動（條件（6.14）仍滿足），便可使非線性微分方程組（6.13）的零解是穩(wěn)定的或是不穩(wěn)定的.例1 考慮有阻力的數(shù)學(xué)擺的振動，其微分方程為

8、 ， （6.15）這里長度，質(zhì)量和重力加速度均大于0，并設(shè)阻力系數(shù). 令，將方程（6.15）化為一階微分方程組 （6.16）原點是方程組的零解. 赫爾維茨（Hurwitz）判別代數(shù)方程的根的實部是否均為負的法則.定理3 設(shè)給定常系數(shù)的次代數(shù)方程 ， （6.18）其中，作行列式 其中（對一切）.那么，方程（6.18）的一切根均有負實部的充分必要條件是下列不等式同時成立： . 證明見高等代數(shù)的課本，略.例2 考慮一階非線性微分方程組 例3 對三次方程，其中，考慮其根均具有負實部時參數(shù)的變化范圍.習(xí)題6.1 第260頁1（1），（3）；3（1），（3）；4（1），（3）；5§6.2 函數(shù)方

9、法 李雅普諾夫定理 對于數(shù)學(xué)擺的振動，當(dāng)擺有阻力時可由其線性近似方程組決定它的穩(wěn)定性. 但當(dāng)擺無阻力時，方程組（6.16）變成 （6.19）屬于臨界情形，不能按線性近似決定其穩(wěn)定性. 為判斷其零解的穩(wěn)定性態(tài). 直接對方程組（6.19）進行處理. 李雅普諾夫第二方法的思想：構(gòu)造一個特殊的函數(shù)，并利用函數(shù)及其通過方程組的全導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來確定方程組解的穩(wěn)定性. 具有此特殊性質(zhì)的函數(shù)稱為李雅普諾夫函數(shù)，簡稱函數(shù).如何應(yīng)用函數(shù)來確定非線性微分方程組的解穩(wěn)定性態(tài)問題. 只考慮非線性駐定微分方程組 （6.20）定義2 假設(shè)為在域內(nèi)定義的一個實連續(xù)函數(shù)，. 如果在此域內(nèi)恒有，則稱函數(shù)為常正的；如果對一切都有，則

10、稱函數(shù)為定正的；如果函數(shù)是定正的（或常正的），則稱函數(shù)為定負（或常負）的.進而假設(shè)函數(shù)關(guān)于所有變元的偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，以方程（6.20）的解代入，然后對求導(dǎo)數(shù) ，這樣求得的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)通過方程（6.20）的全導(dǎo)數(shù).例1 函數(shù) 是常正的；而函數(shù)是定正的；定理4 如果對微分方程組（6.20）可以找到一個定正函數(shù)，其通過（6.20）的全導(dǎo)數(shù)為常負函數(shù)或恒等于零，則方程組（6.20）的零解是穩(wěn)定的.如果有定正函數(shù)，其通過（6.20）的全導(dǎo)數(shù)為定負的，則方程組（6.20）的零解是漸近穩(wěn)定的.如果存在函數(shù)和某非負常數(shù)，而通過（6.20）的全導(dǎo)數(shù)可以表示為 ，且當(dāng)時，為定正函數(shù)，而當(dāng)時為常正函數(shù)或恒等于零；

11、又在的任意小鄰域內(nèi)都至少存在某個，使，那么，方程組（6.20）的零解是不穩(wěn)定的.證明詳見第265頁.幾何解釋 由未知函數(shù)組成的空間稱為相空間，二維相空間又稱為相平面，微分方程的解在相空間中的軌跡稱為軌線，軌線亦可定義為積分曲線在相空間中的投影. 以平面微分方程組為例，從相平面上軌線與函數(shù)的關(guān)系來說明穩(wěn)定性定理的幾何意義.例2 考慮平面微分方程組 ， （6.26）定理4是李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本定理，對含有時間的非駐定的微分方程組及含有時間的函數(shù)也有相應(yīng)的定理，其證明也一樣.定理5 如果存在定正函數(shù)，其通過方程組（6.20）的全導(dǎo)數(shù)為常負，但使的點的集中除零解之外并不包含方程組（6.20）的整條正

12、半軌線，則方程組（6.20）的零解是漸近穩(wěn)定的. 定理5的證明與定理4的類似.例3 數(shù)學(xué)擺的穩(wěn)定性問題6.2.2 二次型函數(shù)的構(gòu)造應(yīng)用李雅普諾夫第二方法判斷微分方程組零解的穩(wěn)定性的關(guān)鍵是找到合適的函數(shù). 如何構(gòu)造滿足特定性質(zhì)的函數(shù)是一個有趣而復(fù)雜的問題. 這里考慮常系數(shù)線性微分方程組構(gòu)造二次型函數(shù)的問題，并利用它來補充證明按線性近似決定穩(wěn)定性的定理2定理6 如果一階線性方程組 （6.10）的特征根均不滿足關(guān)系，則對任何負定（或正定）的對稱矩陣，均有唯一的二次型 （6.27）使其通過方程組（6.10）的全導(dǎo)數(shù)有 . （6.28）且對稱矩陣滿足關(guān)系式 ， （6.29）這里， 分別表示的轉(zhuǎn)置. 如果

13、方程組（6.10）的特征根均具有負實部，則二次型（6.27）是定正（或定負）的；如果方程組（6.10）有均正實部的特征根，則二次型（6.27）不是常正（或常負）的.例4 考慮二階線性微分方程 ，經(jīng)過變換習(xí)題6.2 1（1），（3），（5）；2（1），（3）；3（1），（3），（5）；4；5§6.3 奇點考慮二維（平面）一階駐定微分方程組 （6.33）同時滿足的點是微分方程組（6.33）的奇點，是方程的解. 可從通過坐標(biāo)平移將奇點移到原點，此時.考慮駐定微分方程組是線性的情形下其軌線在相平面上的性態(tài)，并根據(jù)奇點鄰域內(nèi)軌線分布的不同性態(tài)來區(qū)分奇點的不同類型. 這時方程的形式為 （6.36

14、）顯然，坐標(biāo)原點是奇點. 如果方程組的系數(shù)滿足條件 （6.37）則此奇點還是唯一的. 以下假定條件（6.37）成立.按特征根為相異實根、重根或共軛復(fù)根，分五種情形進行討論.情形1 同號相異實根 這時方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為 ， （6.40）其解為 ， （6.41）其中為實特征根，而是任意實數(shù).同為負實數(shù)時，方程的零解是漸近穩(wěn)定的，稱對應(yīng)的奇點為穩(wěn)定結(jié)點.同為正實數(shù)時，方程的零解為不穩(wěn)定的，而對應(yīng)的奇點稱為不穩(wěn)定結(jié)點.情形2 異號實根, 奇點稱為鞍點.鞍點是不穩(wěn)定的.情形3 重根 這時可分兩種情況討論：（1）或. 如前面所指出的，這時方程可化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式 ， （6.42）其解為 ， （6.43）其中為

15、實特征根，而是任意實常數(shù).當(dāng)時，奇點稱為穩(wěn)定退化結(jié)點.假如，奇點是不穩(wěn)定退化結(jié)點.（2），這時方程組（6.36）取形式 ，其解為 ， 于是 .奇點稱為奇結(jié)點，且時為穩(wěn)定的，而時為不穩(wěn)定的.情形4 非零實部復(fù)根 這時方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為 ， （6.44）這里分別為特征根的實部和虛部. 方程（6.44）的解的極坐標(biāo)形式 ， （6.45）其中和為任意常數(shù).奇點為焦點，且時為穩(wěn)定的，而時為不穩(wěn)定的.情形5 純虛根奇點稱為中心. 零解為穩(wěn)定，但非漸近穩(wěn)定的.定理7 如果平面線性駐定方程組（6.36）的系數(shù)滿足條件（6.37），則方程的零解（奇點）將依特征方程（6.39）的根的性質(zhì)而分別具有如下的不同特性：（

16、1）如果特征方程的根為實根，而時奇點為結(jié)點，且當(dāng)時結(jié)點是穩(wěn)定的，而對應(yīng)的零解為漸近穩(wěn)定的，但當(dāng)時奇點和對應(yīng)的零解均為不穩(wěn)定的；當(dāng)時奇點為鞍點，零解為不穩(wěn)定的.（2）如果特征方程具有重根，則奇點通常為退化結(jié)點，但在的情形奇點為奇結(jié)點. 又當(dāng)時，這兩類結(jié)點均為穩(wěn)定的，而零解為漸近穩(wěn)定的，但當(dāng)時奇點和對應(yīng)的零解均為不穩(wěn)定的.（3）如果特征方程的根為共軛復(fù)根，即，則當(dāng)時奇點為焦點，且當(dāng)時焦點為穩(wěn)定的，對應(yīng)的零解為漸近穩(wěn)定的，而當(dāng)時奇點和對應(yīng)的零解均為不穩(wěn)定的；當(dāng)時奇點為中心，零解為穩(wěn)定但非漸近穩(wěn)定的.程（6.36）的奇點，當(dāng)時，根據(jù)的特征根的不同情況可有如下的類型： 的系數(shù)與奇點分類的關(guān)系1） 2）

17、3） 復(fù)數(shù)根的實部不為零，奇點為焦點 復(fù)數(shù)根的實部為零，奇點為中心.綜合上面的結(jié)論，由曲線，軸及軸把平面分成幾個區(qū)域，不同的區(qū)域，對應(yīng)著不同類型的奇點（見288頁（圖6.10）.例1 考慮二階線性微分方程 ，通過變換可將它化為下列方程組 習(xí)題6.3 1；2；3.§6.4 極限環(huán)和平面圖貌6.4.1 極限環(huán)對于二階常系數(shù)微分方程組，除了在中心型奇點鄰域內(nèi)軌線是一族圍繞原點的閉曲線（對應(yīng)于方程組的周期解）外；其余的情形均是一端趨于奇點（或），另一端趨于無窮遠（或）或兩端都趨于無窮遠的軌線，不存在其他的復(fù)雜情形. 對于非線性微分方程組，在6.1中利用線性近似方程組討論了奇點鄰域的軌線性態(tài)，

18、至于全相平面的軌線圖貌，情況就復(fù)雜多了.例1 對平面二階非線性駐定方程組 （6.47）如取極坐標(biāo)，則方程組（6.47）可化為 ， 孤立的周期解（閉軌線），在相平面上稱為極限環(huán). 當(dāng)極限環(huán)附近的軌線均正向（即時）趨近于它時，稱此極限環(huán)為穩(wěn)定的. 如果軌線是負方向（即時）趨近于它時，稱此極限環(huán)為不穩(wěn)定的. 當(dāng)此極限環(huán)的一側(cè)軌線正向趨近于它時，稱此極限環(huán)為半穩(wěn)定的.不先求出特解（如上例的），而僅僅由構(gòu)造出的環(huán)域便可以證明在此環(huán)域內(nèi)必存在極限環(huán). 這種構(gòu)造特殊環(huán)域來尋求極限環(huán)的方法稱為本迪克松（）方法.定理8 如果內(nèi)存在有界的環(huán)形閉域，在其內(nèi)不含有方程組（6.33）的奇點，而（6.33）的經(jīng)過域上點的解，當(dāng)（或）時不離開該域，則或者其本身是一個周期解（閉