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文檔簡介
1、第六章 非線性微分方程教學(xué)目的:使學(xué)生重點(diǎn)掌握二維自治系統(tǒng)奇點(diǎn)的分類及其附近的軌線分布;理解穩(wěn)定性概念及其判定定理,會(huì)應(yīng)用穩(wěn)定性概念、線性化系統(tǒng)的特征值、Liapunov第二方法討論自治系統(tǒng)的解的穩(wěn)定性;了解周期解和極限環(huán)的概念教學(xué)內(nèi)容:1、存在唯一性定理、穩(wěn)定性2、相平面相平面、奇點(diǎn)分類、按線性近似決定微分方程組的穩(wěn)定性3、Liapunov第二方法Liapunov第二方法4、極限圈周期解、極限環(huán)教學(xué)重難點(diǎn):奇點(diǎn)的分類與相應(yīng)零解的穩(wěn)定性教學(xué)過程:§6.1 穩(wěn)定性6.1.1 常微分方程組的存在唯一性定理本章討論非線性常微分方程組 (6.1)的解的性態(tài). 設(shè)給定方程組(6.1)的初值條件
2、為 , (6.2)考慮包含點(diǎn)的某區(qū)域 .在這里的范數(shù)定義為. 所謂在域上關(guān)于滿足局部利普希茨條件是指:對(duì)于內(nèi)任一點(diǎn),存在閉鄰域,而于上關(guān)于滿足利普希茨條件,即存在常數(shù),使得不等式 (6.3)對(duì)所有成立. 稱為利普希茨常數(shù). 存在唯一性定理 如果向量函數(shù)在域上連續(xù),且關(guān)于滿足利普希茨條件,則方程組(6.1)存在唯一解,它在區(qū)間上連續(xù),而且 這里. 解的延拓與連續(xù)定理 如果向量函數(shù)在域內(nèi)連續(xù),且關(guān)于滿足局部利普希茨條件,則方程組(6.1)的滿足初值條件(6.2)的解可以延拓,或者延拓到(或);或者使點(diǎn)任意接近區(qū)域的邊界. 而解作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的. 可微性定理 如果向量函數(shù)及在域內(nèi)連
3、續(xù),那么方程組(6.1)由初值條件(6.2)確定的解作為的函數(shù),在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)可微的.6.1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性考慮一階非線性方程 (6.4)其中為常數(shù)且,初值條件為.為研究方程組(6.1)的特解鄰近的解的性態(tài),通常先利用變換 (6.6) 把方程組(6.1)化為 , (6.7)其中 . 此時(shí)顯然有 (6.8)而把方程組(6.1)的特解變?yōu)榉匠探M(6.7)的零解. 于是,問題就化為討論方程組(6.7)的零解鄰近的解的性態(tài).駐定微分方程常用的特解是常數(shù)解,即方程右端函數(shù)等于零時(shí)的解,如方程(6.4)的特解. 微分方程的常數(shù)解,又稱為駐定解或平衡解.考慮微分方程組(6.7),假設(shè)其右端函數(shù)
4、滿足條件(6.8)且在包含原點(diǎn)的域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而滿足解的存在唯一性、延拓、連續(xù)性和可微性定理的條件.定義1 如果對(duì)任意給定的,存在,使當(dāng)任一滿足時(shí),方程組(6.7)的由初值條件確定的解,對(duì)一切均有 .則稱方程組(6.7)的零解為穩(wěn)定的.如果(6.7)的零解穩(wěn)定,且存在這樣的使當(dāng)時(shí),滿足初值條件的解均有,則稱方程組(6.7)的零解為漸近穩(wěn)定的.如果零解漸近穩(wěn)定,且存在域,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)滿足初值條件的解均有,則域稱為(漸近)穩(wěn)定或吸引域. 若穩(wěn)定域?yàn)槿臻g,即,則稱零解為全局漸近穩(wěn)定的或簡稱全局穩(wěn)定的.當(dāng)零解不是穩(wěn)定時(shí),稱它是不穩(wěn)定的. 即是說:如果對(duì)某個(gè)給定的不管怎樣小,總有一個(gè)滿足,使由初
5、值條件所確定的解,至少存在某個(gè)使得 ,則稱方程組(6.7)的零解為不穩(wěn)定的.二維情形零解的穩(wěn)定性態(tài),在平面上的示意圖如圖(6.2)(見254頁) 按線性近似決定穩(wěn)定性考慮一階常系數(shù)線性微分方程組 (6.10)由第五章5.3的(5.52)式可知,它的任一解均可由 (6.11)的線性組合,這里為方程組(6.10)的系數(shù)矩陣的特征方程 (6.12)的根,為零或正整數(shù),由根的重?cái)?shù)決定.根據(jù)(6.11),與第五章相對(duì)應(yīng)的可得如下結(jié)論.定理1 若特征方程(6.12)的根均具有負(fù)實(shí)部,則方程組(6.10)的零解是漸近穩(wěn)定的;若特征方程(6.12)具有正實(shí)部的根,則方程組(6.10)的零解是不穩(wěn)定的;若特征方
6、程(6.12)沒有正實(shí)部的根,但有零根或具有零實(shí)部的根,則方程組(6.10)的零解可能是穩(wěn)定的也可能是不穩(wěn)定的,這要看零根或具有零實(shí)部的根其重?cái)?shù)是否等于1而定.考慮非線性方程組 , (6.13)其中,且滿足條件 (當(dāng)時(shí)). (6.14)顯然是方程組(6.13)的解. 亦是方程組的奇點(diǎn).問題 在什么條件下,(6.13)的零解穩(wěn)定性能由線性微分方程組(6.10)的零解的穩(wěn)定性來決定. 這便是所謂按線性近似決定穩(wěn)定性的問題.定理2 若特征方程(6.12)沒有零根或零實(shí)部的根,則非線性微分方程組(6.13)的零解的穩(wěn)定性態(tài)與其線性近似的方程組(6.10)的零解的穩(wěn)定性態(tài)一致. 這就是說,當(dāng)特征方程(6
7、.12)的根均具有負(fù)實(shí)部時(shí),方程組(6.13)的零解是漸近穩(wěn)定的,而當(dāng)特征方程(6.12)具有正實(shí)部的根時(shí),其零解是不穩(wěn)定的.(6.2中再補(bǔ)充證明)該定理說明非線性微分方程組(6.13)的零解是否為漸近穩(wěn)定的取決于其相應(yīng)的特征方程(6.12)的全部的根是否具有負(fù)實(shí)部.臨界情形至于特征方程(6.12)除有負(fù)實(shí)部的根外還有零根或具零實(shí)部的根的情形,非線性微分方程組(6.13)的零解的穩(wěn)定性態(tài)并不能由線性近似方程組(6.10)來決定. 因?yàn)榭梢哉业竭@樣的例子,適當(dāng)變動(dòng)(條件(6.14)仍滿足),便可使非線性微分方程組(6.13)的零解是穩(wěn)定的或是不穩(wěn)定的.例1 考慮有阻力的數(shù)學(xué)擺的振動(dòng),其微分方程為
8、 , (6.15)這里長度,質(zhì)量和重力加速度均大于0,并設(shè)阻力系數(shù). 令,將方程(6.15)化為一階微分方程組 (6.16)原點(diǎn)是方程組的零解. 赫爾維茨(Hurwitz)判別代數(shù)方程的根的實(shí)部是否均為負(fù)的法則.定理3 設(shè)給定常系數(shù)的次代數(shù)方程 , (6.18)其中,作行列式 其中(對(duì)一切).那么,方程(6.18)的一切根均有負(fù)實(shí)部的充分必要條件是下列不等式同時(shí)成立: . 證明見高等代數(shù)的課本,略.例2 考慮一階非線性微分方程組 例3 對(duì)三次方程,其中,考慮其根均具有負(fù)實(shí)部時(shí)參數(shù)的變化范圍.習(xí)題6.1 第260頁1(1),(3);3(1),(3);4(1),(3);5§6.2 函數(shù)方
9、法 李雅普諾夫定理 對(duì)于數(shù)學(xué)擺的振動(dòng),當(dāng)擺有阻力時(shí)可由其線性近似方程組決定它的穩(wěn)定性. 但當(dāng)擺無阻力時(shí),方程組(6.16)變成 (6.19)屬于臨界情形,不能按線性近似決定其穩(wěn)定性. 為判斷其零解的穩(wěn)定性態(tài). 直接對(duì)方程組(6.19)進(jìn)行處理. 李雅普諾夫第二方法的思想:構(gòu)造一個(gè)特殊的函數(shù),并利用函數(shù)及其通過方程組的全導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來確定方程組解的穩(wěn)定性. 具有此特殊性質(zhì)的函數(shù)稱為李雅普諾夫函數(shù),簡稱函數(shù).如何應(yīng)用函數(shù)來確定非線性微分方程組的解穩(wěn)定性態(tài)問題. 只考慮非線性駐定微分方程組 (6.20)定義2 假設(shè)為在域內(nèi)定義的一個(gè)實(shí)連續(xù)函數(shù),. 如果在此域內(nèi)恒有,則稱函數(shù)為常正的;如果對(duì)一切都有,則
10、稱函數(shù)為定正的;如果函數(shù)是定正的(或常正的),則稱函數(shù)為定負(fù)(或常負(fù))的.進(jìn)而假設(shè)函數(shù)關(guān)于所有變?cè)钠珜?dǎo)數(shù)存在且連續(xù),以方程(6.20)的解代入,然后對(duì)求導(dǎo)數(shù) ,這樣求得的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)通過方程(6.20)的全導(dǎo)數(shù).例1 函數(shù) 是常正的;而函數(shù)是定正的;定理4 如果對(duì)微分方程組(6.20)可以找到一個(gè)定正函數(shù),其通過(6.20)的全導(dǎo)數(shù)為常負(fù)函數(shù)或恒等于零,則方程組(6.20)的零解是穩(wěn)定的.如果有定正函數(shù),其通過(6.20)的全導(dǎo)數(shù)為定負(fù)的,則方程組(6.20)的零解是漸近穩(wěn)定的.如果存在函數(shù)和某非負(fù)常數(shù),而通過(6.20)的全導(dǎo)數(shù)可以表示為 ,且當(dāng)時(shí),為定正函數(shù),而當(dāng)時(shí)為常正函數(shù)或恒等于零;
11、又在的任意小鄰域內(nèi)都至少存在某個(gè),使,那么,方程組(6.20)的零解是不穩(wěn)定的.證明詳見第265頁.幾何解釋 由未知函數(shù)組成的空間稱為相空間,二維相空間又稱為相平面,微分方程的解在相空間中的軌跡稱為軌線,軌線亦可定義為積分曲線在相空間中的投影. 以平面微分方程組為例,從相平面上軌線與函數(shù)的關(guān)系來說明穩(wěn)定性定理的幾何意義.例2 考慮平面微分方程組 , (6.26)定理4是李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本定理,對(duì)含有時(shí)間的非駐定的微分方程組及含有時(shí)間的函數(shù)也有相應(yīng)的定理,其證明也一樣.定理5 如果存在定正函數(shù),其通過方程組(6.20)的全導(dǎo)數(shù)為常負(fù),但使的點(diǎn)的集中除零解之外并不包含方程組(6.20)的整條正
12、半軌線,則方程組(6.20)的零解是漸近穩(wěn)定的. 定理5的證明與定理4的類似.例3 數(shù)學(xué)擺的穩(wěn)定性問題6.2.2 二次型函數(shù)的構(gòu)造應(yīng)用李雅普諾夫第二方法判斷微分方程組零解的穩(wěn)定性的關(guān)鍵是找到合適的函數(shù). 如何構(gòu)造滿足特定性質(zhì)的函數(shù)是一個(gè)有趣而復(fù)雜的問題. 這里考慮常系數(shù)線性微分方程組構(gòu)造二次型函數(shù)的問題,并利用它來補(bǔ)充證明按線性近似決定穩(wěn)定性的定理2定理6 如果一階線性方程組 (6.10)的特征根均不滿足關(guān)系,則對(duì)任何負(fù)定(或正定)的對(duì)稱矩陣,均有唯一的二次型 (6.27)使其通過方程組(6.10)的全導(dǎo)數(shù)有 . (6.28)且對(duì)稱矩陣滿足關(guān)系式 , (6.29)這里, 分別表示的轉(zhuǎn)置. 如果
13、方程組(6.10)的特征根均具有負(fù)實(shí)部,則二次型(6.27)是定正(或定負(fù))的;如果方程組(6.10)有均正實(shí)部的特征根,則二次型(6.27)不是常正(或常負(fù))的.例4 考慮二階線性微分方程 ,經(jīng)過變換習(xí)題6.2 1(1),(3),(5);2(1),(3);3(1),(3),(5);4;5§6.3 奇點(diǎn)考慮二維(平面)一階駐定微分方程組 (6.33)同時(shí)滿足的點(diǎn)是微分方程組(6.33)的奇點(diǎn),是方程的解. 可從通過坐標(biāo)平移將奇點(diǎn)移到原點(diǎn),此時(shí).考慮駐定微分方程組是線性的情形下其軌線在相平面上的性態(tài),并根據(jù)奇點(diǎn)鄰域內(nèi)軌線分布的不同性態(tài)來區(qū)分奇點(diǎn)的不同類型. 這時(shí)方程的形式為 (6.36
14、)顯然,坐標(biāo)原點(diǎn)是奇點(diǎn). 如果方程組的系數(shù)滿足條件 (6.37)則此奇點(diǎn)還是唯一的. 以下假定條件(6.37)成立.按特征根為相異實(shí)根、重根或共軛復(fù)根,分五種情形進(jìn)行討論.情形1 同號(hào)相異實(shí)根 這時(shí)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為 , (6.40)其解為 , (6.41)其中為實(shí)特征根,而是任意實(shí)數(shù).同為負(fù)實(shí)數(shù)時(shí),方程的零解是漸近穩(wěn)定的,稱對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).同為正實(shí)數(shù)時(shí),方程的零解為不穩(wěn)定的,而對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).情形2 異號(hào)實(shí)根, 奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn).鞍點(diǎn)是不穩(wěn)定的.情形3 重根 這時(shí)可分兩種情況討論:(1)或. 如前面所指出的,這時(shí)方程可化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式 , (6.42)其解為 , (6.43)其中為
15、實(shí)特征根,而是任意實(shí)常數(shù).當(dāng)時(shí),奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn).假如,奇點(diǎn)是不穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn).(2),這時(shí)方程組(6.36)取形式 ,其解為 , 于是 .奇點(diǎn)稱為奇結(jié)點(diǎn),且時(shí)為穩(wěn)定的,而時(shí)為不穩(wěn)定的.情形4 非零實(shí)部復(fù)根 這時(shí)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為 , (6.44)這里分別為特征根的實(shí)部和虛部. 方程(6.44)的解的極坐標(biāo)形式 , (6.45)其中和為任意常數(shù).奇點(diǎn)為焦點(diǎn),且時(shí)為穩(wěn)定的,而時(shí)為不穩(wěn)定的.情形5 純虛根奇點(diǎn)稱為中心. 零解為穩(wěn)定,但非漸近穩(wěn)定的.定理7 如果平面線性駐定方程組(6.36)的系數(shù)滿足條件(6.37),則方程的零解(奇點(diǎn))將依特征方程(6.39)的根的性質(zhì)而分別具有如下的不同特性:(
16、1)如果特征方程的根為實(shí)根,而時(shí)奇點(diǎn)為結(jié)點(diǎn),且當(dāng)時(shí)結(jié)點(diǎn)是穩(wěn)定的,而對(duì)應(yīng)的零解為漸近穩(wěn)定的,但當(dāng)時(shí)奇點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的零解均為不穩(wěn)定的;當(dāng)時(shí)奇點(diǎn)為鞍點(diǎn),零解為不穩(wěn)定的.(2)如果特征方程具有重根,則奇點(diǎn)通常為退化結(jié)點(diǎn),但在的情形奇點(diǎn)為奇結(jié)點(diǎn). 又當(dāng)時(shí),這兩類結(jié)點(diǎn)均為穩(wěn)定的,而零解為漸近穩(wěn)定的,但當(dāng)時(shí)奇點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的零解均為不穩(wěn)定的.(3)如果特征方程的根為共軛復(fù)根,即,則當(dāng)時(shí)奇點(diǎn)為焦點(diǎn),且當(dāng)時(shí)焦點(diǎn)為穩(wěn)定的,對(duì)應(yīng)的零解為漸近穩(wěn)定的,而當(dāng)時(shí)奇點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的零解均為不穩(wěn)定的;當(dāng)時(shí)奇點(diǎn)為中心,零解為穩(wěn)定但非漸近穩(wěn)定的.程(6.36)的奇點(diǎn),當(dāng)時(shí),根據(jù)的特征根的不同情況可有如下的類型: 的系數(shù)與奇點(diǎn)分類的關(guān)系1) 2)
17、3) 復(fù)數(shù)根的實(shí)部不為零,奇點(diǎn)為焦點(diǎn) 復(fù)數(shù)根的實(shí)部為零,奇點(diǎn)為中心.綜合上面的結(jié)論,由曲線,軸及軸把平面分成幾個(gè)區(qū)域,不同的區(qū)域,對(duì)應(yīng)著不同類型的奇點(diǎn)(見288頁(圖6.10).例1 考慮二階線性微分方程 ,通過變換可將它化為下列方程組 習(xí)題6.3 1;2;3.§6.4 極限環(huán)和平面圖貌6.4.1 極限環(huán)對(duì)于二階常系數(shù)微分方程組,除了在中心型奇點(diǎn)鄰域內(nèi)軌線是一族圍繞原點(diǎn)的閉曲線(對(duì)應(yīng)于方程組的周期解)外;其余的情形均是一端趨于奇點(diǎn)(或),另一端趨于無窮遠(yuǎn)(或)或兩端都趨于無窮遠(yuǎn)的軌線,不存在其他的復(fù)雜情形. 對(duì)于非線性微分方程組,在6.1中利用線性近似方程組討論了奇點(diǎn)鄰域的軌線性態(tài),
18、至于全相平面的軌線圖貌,情況就復(fù)雜多了.例1 對(duì)平面二階非線性駐定方程組 (6.47)如取極坐標(biāo),則方程組(6.47)可化為 , 孤立的周期解(閉軌線),在相平面上稱為極限環(huán). 當(dāng)極限環(huán)附近的軌線均正向(即時(shí))趨近于它時(shí),稱此極限環(huán)為穩(wěn)定的. 如果軌線是負(fù)方向(即時(shí))趨近于它時(shí),稱此極限環(huán)為不穩(wěn)定的. 當(dāng)此極限環(huán)的一側(cè)軌線正向趨近于它時(shí),稱此極限環(huán)為半穩(wěn)定的.不先求出特解(如上例的),而僅僅由構(gòu)造出的環(huán)域便可以證明在此環(huán)域內(nèi)必存在極限環(huán). 這種構(gòu)造特殊環(huán)域來尋求極限環(huán)的方法稱為本迪克松()方法.定理8 如果內(nèi)存在有界的環(huán)形閉域,在其內(nèi)不含有方程組(6.33)的奇點(diǎn),而(6.33)的經(jīng)過域上點(diǎn)的解,當(dāng)(或)時(shí)不離開該域,則或者其本身是一個(gè)周期解(閉
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