TOPSIS分析方法研究

1、TOPSIS分析方法研究 摘要本文主要介紹了TOPSIS分析方法理論及其主要思想，運(yùn)用數(shù)學(xué)理論，對(duì)其算法進(jìn)行了詳細(xì)的分析，并指出原始方法存在的優(yōu)缺點(diǎn)；在此基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)的TOPSIS分析方法，給出具體求權(quán)重的方法，突出其客觀公正性.本文還分析了TOPSIS方法逆序產(chǎn)生的原因及其改進(jìn)的方法，突出其實(shí)用性，推廣其應(yīng)用范圍.關(guān)鍵詞 TOPSIS法; 改進(jìn)的TOPSIS; 權(quán)重；逆序TOPSIS ANALYSIS METHODABSTRACT This paper describes a method of theoryTOPSIS, and its main idea. Using mathe

2、matical theory, its algorithm for a detailed analysis and noted the advantages and disadvantages of the original methods. On this base ,an improved TOPSIS method is given, and specific for weight, in order to highlight its objective impartiality. The paper also analyzes the causes of TOPSIS Reverse

3、and its improved methods, highlight its practicality and the promotion of its use. Keywords TOPSIS method; Improved TOPSIS; weight; Reverse目 錄中文摘要 .英文摘要 .引言 .11 一般TOPSIS分析方法1.1 TOPSIS分析方法概念.2 1.2 TOPSIS分析方法的一般解題步驟.21.3 應(yīng)用實(shí)例.42 改進(jìn)的TOPSIS法2.1 一般TOPSIS解法的缺點(diǎn).52.2 改進(jìn)的TOPSIS法.52.2.1統(tǒng)一指標(biāo)，確定理想解.52.2.2 指標(biāo)權(quán)重的

4、確定.62.2.3 各方案優(yōu)劣排序.72.3 實(shí)例分析.73. 關(guān)于TOPSIS法的逆序問題93.1 逆序產(chǎn)生的原因.93.1.1 由于增加新的方案產(chǎn)生逆序.93.1.2 由于指標(biāo)權(quán)重改變原始數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生逆序.103.2 逆序消除的方法.11結(jié)論.13參考文獻(xiàn).13致謝.14引 言TOPSIS的全稱是“逼近于理想值的排序方法”(Technique for Order Preference bv Similarity to Ideal Solution)，是Hwang和Yoon于1981年提出的一種適用于根據(jù)多項(xiàng)指標(biāo)、對(duì)多個(gè)方案進(jìn)行比較選擇的分析方法.這種方法的中心思想在于首先確定各項(xiàng)指標(biāo)的正理

5、想值和負(fù)理想值，所謂正理想解是一設(shè)想的最好值(方案) ,它的各個(gè)屬性值都達(dá)到各候選方案中最好的值,而負(fù)理想解是另一設(shè)想的最壞值(方案)，然后求出各個(gè)方案與理想值、負(fù)理想值之間的加權(quán)歐氏距離，由此得出各方案與最優(yōu)方案的接近程度，作為評(píng)價(jià)方案優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn).TOPSIS法是有限方案多目標(biāo)決策的綜合評(píng)價(jià)方法之一，它對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行同趨勢和歸一化的處理后，消除了不同指標(biāo)量綱的影響，并能充分利用原始數(shù)據(jù)的信息，所以能充分反映各方案之間的差距、客觀真實(shí)的反映實(shí)際情況，具有真實(shí)、直觀、可靠的優(yōu)點(diǎn)，而且其對(duì)樣本資料無特殊要求，故應(yīng)用日趨廣泛.TOPSIS法較之單項(xiàng)指標(biāo)相互分析法，能集中反映總體情況、能綜合分析評(píng)價(jià)，

6、具有普遍適用性.例如，其在評(píng)價(jià)衛(wèi)生質(zhì)量、計(jì)劃免疫工作質(zhì)量、醫(yī)療質(zhì)量；評(píng)價(jià)專業(yè)課程的設(shè)置、顧客滿意程度、軟件項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)、房地產(chǎn)投資選址；評(píng)價(jià)企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益、城市間宏觀經(jīng)濟(jì)效益、地區(qū)科技競爭力、各地區(qū)農(nóng)村小康社會(huì)等方面都已得到廣泛、系統(tǒng)的應(yīng)用.盡管如此，該方法在評(píng)價(jià)各類不同問題過程中還存在著不同的問題，例如權(quán)重信息是事先給定，因此結(jié)果有一定主觀性；另外此方法在應(yīng)用中由于新增加方案而容易產(chǎn)生逆序問題等，需要對(duì)其進(jìn)行更加具體深入的分析研究.1一般TOPSIS分析方法11 TOPSIS分析方法概念TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to

7、 Ideal Solution)稱為逼近于理想解的排序方法.它的基本思想是：對(duì)歸一化后的原始數(shù)據(jù)矩陣，確定出理想中的最佳方案和最差方案，然后通過求出各被評(píng)方案與最佳方案和最差方案之間的距離，得出該方案與最佳方案的接近程度，并以此作為評(píng)價(jià)各被評(píng)對(duì)象優(yōu)劣的依據(jù). 假設(shè)有m個(gè)目標(biāo)，每個(gè)目標(biāo)都有n個(gè)屬性，則多屬性決策問題的數(shù)學(xué)描述如式(1)所示： Z=maxmin| i=l，2，m，j=l，2，.n (1)12 TOPSIS分析方法的一般解題步驟設(shè)有m個(gè)目標(biāo)(有限個(gè)目標(biāo))，n個(gè)屬性,專家對(duì)其中第i個(gè)目標(biāo)的第j個(gè)屬性的評(píng)估值為,則初始判斷矩陣V為： (2)由于各個(gè)指標(biāo)的量綱可能不同，需要對(duì)決策矩陣進(jìn)行歸

8、一化處理： (3)其中 =/ , i=1,2m; j=1,2n. （4）根據(jù)DELPHI法獲取專家群體對(duì)屬性的信息權(quán)重矩陣B，形成加權(quán)判斷矩陣： = （5）根據(jù)加權(quán)判斷矩陣獲取評(píng)估目標(biāo)的正負(fù)理想解： 正理想解： (6) 負(fù)理想解： (7)其中，為效益型指標(biāo)，為成本型指標(biāo).計(jì)算各目標(biāo)值與理想值之間的歐氏距離： (8) (9) 計(jì)算各個(gè)目標(biāo)的相對(duì)貼近度： (10) 依照相對(duì)貼近度的大小對(duì)目標(biāo)進(jìn)行排序，形成決策依據(jù).1.3應(yīng)用實(shí)例某公司需要對(duì)其信息化建設(shè)方案進(jìn)行評(píng)估，方案由4家信息咨詢公司分別提供，記為方案一(S1)、方案二(S2)、方案三(S3)、方案四(S4). 每套方案的評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)均包括以下6項(xiàng)

9、內(nèi)容：Pl(目標(biāo)指標(biāo))、P2(經(jīng)濟(jì)成本)、P3(實(shí)施可行性)、P4(技術(shù)可行性)、P5(人力資源成本)、P6(抗風(fēng)險(xiǎn)能力).，四個(gè)方案作為4個(gè)目標(biāo)，6個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)作為6個(gè)屬性. 其中，P2和P5是成本型指標(biāo)，其他為效益型指標(biāo). 這里每個(gè)目標(biāo)所對(duì)應(yīng)的屬性值均由4名評(píng)估專家分別給出，表l列出了去模糊化之后4位專家評(píng)估值的集結(jié)結(jié)果，并把它作為多屬性決策的初始矩陣，每個(gè)屬性在評(píng)估結(jié)果中所占的比重(W)根據(jù)德爾菲法獲得，整個(gè)決策方法的處理步驟如下所述： 表1 專家評(píng)估值結(jié)果表目標(biāo)屬性P1P2P3P4P5P6S18.125512.613.2765.4S26.721013.210.71027.2S36.023

10、315.39.5633.1S44.520215.2131202.6初始條件：根據(jù)表l的專家決策結(jié)果生成初始判斷矩陣V利用德爾菲法則，生成集結(jié)后的群體偏好矩陣： .正、負(fù)理想解如下： 結(jié)果(計(jì)算貼近度)：= （0.6621，0.4666，0.6106，0.5851），依據(jù)從小到大的順序?qū)Q策方案進(jìn)行排序可知，表明方案一更優(yōu).結(jié)果分析: 根據(jù)方案的排序結(jié)果，可以看出, 技術(shù)可行性占方案的比重最大，經(jīng)濟(jì)成本次之，他們對(duì)整個(gè)評(píng)估結(jié)果的影響也最大. 2.改進(jìn)的TOPSIS法2.1 一般TOPSIS解法的缺點(diǎn)從TOPSIS法的排序決策步驟可知，TOPSIS法存在如下的缺點(diǎn)： 用(4)式求規(guī)范決策矩陣時(shí)比較

11、復(fù)雜，不易求出正理想解和負(fù)理想解；權(quán)重 (j=l，2， ，n)是事先確定的，其值通常是主觀值，因而具有一定的隨意性；當(dāng)方案，關(guān)于和的連線對(duì)稱時(shí)，由于=， =， 因而無法比較、的優(yōu)劣. 文獻(xiàn)10提出了一種改進(jìn)的TOPSIS法，既保留了TOPSIS法的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)又克服了TOPSIS法存在的三個(gè)缺點(diǎn).2.2 改進(jìn)的TOPSIS法2.2.1統(tǒng)一指標(biāo)，確定理想解此處舉一工程招標(biāo)的例子來說明改進(jìn)的TOPSIS法的求解步驟. 一般來說，對(duì)承包單位的選擇需要從招標(biāo)單位的利益出發(fā)，考慮的因素包括投標(biāo)單位的工程報(bào)價(jià)、工程工期等等，由于評(píng)標(biāo)方案有多指標(biāo)性特點(diǎn)，各方案指標(biāo)的優(yōu)劣程度可能會(huì)不統(tǒng)一. 除此之外，在這類評(píng)標(biāo)

12、過程中，對(duì)客觀、公正性要求較高，因此，我們運(yùn)用改進(jìn)的理想解法對(duì)各個(gè)承包單位進(jìn)行優(yōu)選. 設(shè)經(jīng)過資格初審后的投標(biāo)單位有m家，評(píng)標(biāo)采用的指標(biāo)有n個(gè)，設(shè)第i家投標(biāo)單位的第j個(gè)指標(biāo)值為，構(gòu)成一個(gè)m行n列的評(píng)價(jià)矩陣：A=. 顯然是從各投標(biāo)單位在投標(biāo)或資格初審時(shí)提供的資料中獲取的.求解步驟：求矩陣進(jìn)行規(guī)范化，將其統(tǒng)一為效益型指標(biāo)，得到標(biāo)準(zhǔn)化矩陣對(duì)于效益型指標(biāo) (1)對(duì)于成本型指標(biāo) (2). 確定標(biāo)準(zhǔn)化矩陣的理想解： ， . （3）其中為效益型指標(biāo)集，為成本型指標(biāo)集，表示第j個(gè)指標(biāo)的理想值.顯然，對(duì)于矩陣R，因?yàn)槎冀y(tǒng)一為效益型指標(biāo)了，故理想解=(1，1，1)，負(fù)理想解=(0，0，0).2.2.2 指標(biāo)權(quán)重的確

13、定從上面的分析中可知，應(yīng)用改進(jìn)理想解法進(jìn)行評(píng)價(jià)必須先確定各指標(biāo)的權(quán)重. 確定指標(biāo)權(quán)重通常有兩類方法：一類是主觀方法，如專家打分法、層次分析法、經(jīng)驗(yàn)判斷法等；另一類是客觀方法，如熵權(quán)計(jì)算法、主成分分析法等. 因評(píng)標(biāo)過程中，指標(biāo)的權(quán)重對(duì)被評(píng)價(jià)對(duì)象的最后得分影響很大，要做到評(píng)標(biāo)盡可能客觀，所以采用客觀計(jì)算法來計(jì)算指標(biāo)的權(quán)重比較合適. 即根據(jù)決策矩陣的數(shù)值信息建立目標(biāo)規(guī)劃優(yōu)化評(píng)標(biāo)模型，通過一定的高等數(shù)學(xué)求解方法來計(jì)算權(quán)重. 求解步驟：設(shè)有指標(biāo), ,，對(duì)應(yīng)的權(quán)重分別為, ,，, 各方案正理想解和負(fù)理想解的加權(quán)距離平方和為= (4)在距離意義下，越小越好，由此建立如下的多目標(biāo)規(guī)劃模型 ， (5) 其中 ，

14、. 由于上述多目標(biāo)規(guī)劃可以化為單目標(biāo)規(guī)劃， (6)其中 ，. 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) . (7) 令 （8） 解之得 . （9） 其中 . （10）2.2.3 各方案優(yōu)劣排序根據(jù)（4）式可求出各方案的值，將其由大到小排序，即可得優(yōu)劣順序.2.3 實(shí)例分析某公司擬向國內(nèi)外招標(biāo)，現(xiàn)有數(shù)家單位投標(biāo)，經(jīng)資格預(yù)選后，有4家單位達(dá)到條件標(biāo)準(zhǔn)，可參與最后的競標(biāo)，其具體資料如下表所示表2 4家單位競標(biāo)資料單位投標(biāo)標(biāo)價(jià)x1/萬元工程工期x2/月優(yōu)良工程率x3/%主材用量x4/萬元施工經(jīng)驗(yàn)率x5/%合同完成率x6/%甲4900358019008075乙4950377519508080丙5050357520507575丁

15、5100378021007580由上述各指標(biāo)，顯然在評(píng)標(biāo)中優(yōu)良工程率、施工經(jīng)驗(yàn)率、合同完成率是作為效益指標(biāo)處理；其他作為成本型指標(biāo)處理. 這些指標(biāo)構(gòu)成決策矩陣 ，按改進(jìn)理想解的步驟，首先由 （1）（2）式對(duì)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理得標(biāo)準(zhǔn)化矩陣 ，計(jì)算結(jié)果見表3.表3 經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化處理后得標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Y甲111110乙0.75000.7511丙0.25100.2500丁001001根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化矩陣y，用本文給出求權(quán)重的方法，即由式(9)可求得各指標(biāo)的權(quán)重分別為= .利用改進(jìn)理想解法，求得的值并排序.由(4)式得：=(0.024，0.0525，0.1128，0.1206)，因此，方案優(yōu)劣排序?yàn)椋杭?gt;乙>

16、丙>丁.從上述結(jié)果可知，改進(jìn)理想解法的評(píng)標(biāo)結(jié)果同文獻(xiàn)8中的線性規(guī)劃優(yōu)化模型評(píng)標(biāo)結(jié)果相吻合. 這表明，將改進(jìn)理想解法應(yīng)用于工程評(píng)標(biāo)是合理有效的，且在技術(shù)操作上顯得更簡便、易行.3.關(guān)于TOPSIS法的逆序問題3.1 逆序產(chǎn)生的原因3.1.1 由于增加新的方案產(chǎn)生逆序下面，舉一個(gè)簡單的例子來說明使用傳統(tǒng)的TOPSIS法很容易產(chǎn)生逆序情況.假設(shè)多指標(biāo)問題僅有兩個(gè)指標(biāo)(即n=2)，且兩指標(biāo)權(quán)重相等，則每一個(gè)方案都可以用點(diǎn)表示. 設(shè)有4個(gè)可行方案，分別為(1，2)，(2，2)，(1.9，2.2)，(2，3). 根據(jù)TOPSIS法計(jì)算步驟，首先將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理，有(0.2817，0.4280)，

17、(0.5634，0.4280)，(0.5352，0.4708)，(0.5634，0.6420)，可求得負(fù)理想解=(0.2817，0.4280)，正理想解=(0.5634，0.6420)，點(diǎn)距負(fù)理想解的距離=0.2817，距理想解的距離=0.2140， 所以點(diǎn)的相對(duì)貼近度 =0.5682 .計(jì)算點(diǎn)距負(fù)理想解的距離=0.2571,距理想解的距離=0.1735,點(diǎn)的相對(duì)貼近度 .可得4個(gè)方案的優(yōu)劣排序?yàn)椋?gt;>>.設(shè)現(xiàn)又增加了一個(gè)方案 (5，2).，則將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后有(0.1631，0.3934)，(0.3261，0.3934)，(0.3098，0.4328)，(0.3261，0

18、.5902)，(0.8153，0.3934)，由此知負(fù)理想解 =(0.1631，0.3934)，理想解 =(0.8153，0.3934)，點(diǎn)距負(fù)理想解的距離為 =0.1630，距理想解的距離為 =0.5273，點(diǎn)的相對(duì)貼近度為 =0.2361；點(diǎn)距負(fù)理想解的距離為 =0.1510，距理想解的距離為 =0.5294，點(diǎn)的相對(duì)貼近度為 =0.221同理可計(jì)算出點(diǎn)和的相對(duì)貼近度分別為 =0.3431，=0.7682這樣5個(gè)方案的優(yōu)劣排序?yàn)? 比較以上兩個(gè)排序結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)只有4個(gè)方案時(shí)，優(yōu)于，而增加了一個(gè)方案，其他方案均無變化時(shí)，優(yōu)于，出現(xiàn)了逆序.產(chǎn)生逆序的根本原因是因?yàn)樵黾有碌臎Q策方案后，決策問

19、題的理想解和負(fù)理想解發(fā)生了變化，從而引起評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的變化，這樣就會(huì)產(chǎn)生方案優(yōu)劣順序的變化.3.1.2 由于指標(biāo)權(quán)重改變原始數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)而產(chǎn)生逆序當(dāng)給出各指標(biāo)權(quán)重W=時(shí)，傳統(tǒng)的TOPSIS法是將其直接加權(quán)于標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù).設(shè)4個(gè)可行方案分別為(1，2)，(2，2)，(1.9，2.1)，(2，3). 若不考慮指標(biāo)的權(quán)重，則經(jīng)過計(jì)算可求得4個(gè)方案的優(yōu)劣順序?yàn)?現(xiàn)設(shè)給出的指標(biāo)權(quán)重為(0.6，0.4)，則標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)經(jīng)指標(biāo)加權(quán)后為：(0.1690，0.1729)(0.3380，0.1729)(0.3211，0.1815)(0.3380，0.2594),由此知負(fù)理想解 =(0.1690，0.1729)，理想解

20、 =(0.3380，0.2594)，點(diǎn)距負(fù)理想解的距離 =0.169，距理想解的距離=0.0865，點(diǎn)A2的相對(duì)貼近度=0.6614；點(diǎn)距負(fù)理想解的距離=0.1523，距理想解的距離=0.0797，點(diǎn)的相對(duì)貼近度=0.6565則4個(gè)方案的優(yōu)劣順序?yàn)?gt;>>與前排序結(jié)果相比可以看出，由于在原始數(shù)據(jù)上人為地乘上權(quán)系數(shù)，從而改變了原決策數(shù)據(jù)間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，從而使排序結(jié)果產(chǎn)生逆序傳統(tǒng)TOPSIS法在計(jì)算中直接將指標(biāo)權(quán)重作用于原始數(shù)據(jù)，這樣做不僅會(huì)改變原決策數(shù)據(jù)間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，而且也不符合權(quán)重使用的原意3.2 逆序消除的方法根據(jù)前面模型，傳統(tǒng)TOPSIS法的理想解和負(fù)理想解分別為理想解 （1

21、）負(fù)理想解 （2）由此可以看出，這樣定義的理想解和負(fù)理想解與決策方案是緊密相連的，因此是相對(duì)的. 如果能夠定義一種絕對(duì)理想解和負(fù)理想解(即在決策的有效區(qū)域內(nèi)，任何決策方案都不會(huì)比絕對(duì)理想解更好，也不會(huì)比絕對(duì)負(fù)理想解差)，則可以證明，這樣使用TOPSIS方法就不會(huì)出現(xiàn)逆序的現(xiàn)象.基于這一思想，提出一種改進(jìn)的TOPSIS法-RTOPSIS. RTOPSIS法的計(jì)算步驟為：用向量歸一化法對(duì)決策矩陣作標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到標(biāo)準(zhǔn)化矩陣：y= (3) 其中， ，i=1，2m;j=1,2n. 確定絕對(duì)理想解和負(fù)理想解：絕對(duì)理想解和負(fù)理想解可以由決策者自己根據(jù)對(duì)決策問題的了解設(shè)定，也可由有關(guān)專家根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定.設(shè) ,

22、 .計(jì)算各決策方案距絕對(duì)理想解和負(fù)理想解的距離： , i=1,2,m . (4) , i=1,2,m . (5)計(jì)算相對(duì)貼近 , i=1,2,m.按照相對(duì)貼近度的大小對(duì)決策方案進(jìn)行排序.由(2)、(3) 式可見，使用絕對(duì)理想解和負(fù)理想解，由于和值不發(fā)生任何變化，無論再增加或減少?zèng)Q策方案，相對(duì)貼近度沒有任何變化，因此不會(huì)出現(xiàn)逆序的問題.使用RTOPSIS法的關(guān)鍵是要確定合理的絕對(duì)理想解和負(fù)理想解，這點(diǎn)在實(shí)踐中并不難做到. 特別是在對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理后，決策數(shù)據(jù)均轉(zhuǎn)化為0，1之間的值， 故絕對(duì)理想解可以設(shè)定為向量；絕對(duì)負(fù)理想解可以設(shè)定為向量，更加便于計(jì)算.結(jié)論：TOPSIS 法是系統(tǒng)工程中用

23、于綜合評(píng)價(jià)的一種方法,近幾年已開始用于經(jīng)濟(jì)和衛(wèi)生領(lǐng)域. 該法對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行同趨勢和歸一化處理,不僅消除了不同指標(biāo)量綱的影響,又能充分利用原始數(shù)據(jù)信息,可以定量評(píng)價(jià)不同單元的優(yōu)劣程度、結(jié)果客觀、準(zhǔn)確.本文討論了一般TOPSIS 法的缺點(diǎn)及其改進(jìn)，并討論了該法逆序問題產(chǎn)生的原因及改進(jìn)的方法. 應(yīng)用TOPSIS 法進(jìn)行綜合評(píng)價(jià),對(duì)數(shù)據(jù)分布、樣本含量指標(biāo)多少均無嚴(yán)格限制,既適用于小樣本資料,也適用于多評(píng)價(jià)單元、多指標(biāo)的大系統(tǒng)資料,既可用于橫向(多單位之間) 對(duì)比,也可用于縱向(不同年度) 分析,應(yīng)用靈活,數(shù)學(xué)計(jì)算比較簡單,結(jié)果量化客觀,因此認(rèn)為該法在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域工作質(zhì)量、經(jīng)濟(jì)效益等的綜合評(píng)價(jià)中有一定的實(shí)用價(jià)值.參考文獻(xiàn)1. 喬永輝. 一種基于TOPSIS的多屬性決策方法研究.企業(yè)技術(shù)開發(fā)，2006,25（9）：89-912. 陳 偉. 關(guān)于TOPSIS法應(yīng)用中的逆序問題及消除的方法. 運(yùn)籌與