上海交通大學(xué)線性代數(shù)期末考試題07081線代BA卷

1、 線性代數(shù)考試題及答案一 單項(xiàng)選擇題（每題3分，共18分） 1 設(shè)的特征值為1，2，3，是行列式 中元素的代數(shù)余子式，則 （ ）a. ； b. ； c. ； d. 6。2已知，則以下選項(xiàng)中正確的是 （ ） a. ； b. ； c. ； d. 。3n維向量線性無關(guān)的充要條件是 （ ）a存在不全為零的數(shù)，使；b中任意兩個(gè)向量都線性無關(guān)；c中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示；d中存在一個(gè)向量，它不能用其余向量線性表示。4設(shè)是正定矩陣，則以下矩陣中，一定是正定矩陣為（其中為任意常數(shù)） （ ） a. ； b. ； c. ； d. 。5已知矩陣，伴隨矩陣，且有非零解，則 （ ）a. ； b. 或； c

2、. ； d. 且。6設(shè)是非齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解，則以下選項(xiàng)中一定是對(duì)應(yīng)特征值的特征向量為 （ ）a. ； b； c； d。二 填空題（每題3分，共18分）7設(shè)行列式 ，是中元素的代數(shù)余子式，則 。8設(shè)是實(shí)對(duì)稱可逆矩陣，則將化為的線性變換為_。9設(shè)矩陣有特征值6，2，2，且能相似于對(duì)角陣，則_ _。10已知是維實(shí)列向量，矩陣，為非零常數(shù)，則為正交矩陣的充分必要條件為 。11. 設(shè)，其中互不相同，則線性方程組的解是_ _。12若實(shí)二次型 為正定二次型,則的取值范圍為 。三 計(jì)算題（每題8分，共48分）13計(jì)算階行列式： 。14已知線性方程組 ，（1）試問：常數(shù)取何值時(shí)，方程組有無窮多解、唯

3、一解、無解？（2）當(dāng)方程組有無窮多解時(shí)，求出其通解。15設(shè)，已知線性方程組有解但不唯一。試求：（1）的值； （2）正交矩陣為對(duì)角矩陣。16設(shè)矩陣的伴隨矩陣，且。求矩陣。17已知線性空間的基到基的過渡矩陣為，且 ，；試求：(1) 基；(2) 在基 下有相同坐標(biāo)的全體向量。18設(shè)為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，且滿足 已知對(duì)應(yīng)特征值的特征向量有, 。 試求：矩陣，。其中為自然數(shù)。四 證明題（每題8分，共16分）19設(shè)為階矩陣，已知秩。試證： (1) 線性方程組同解； (2) 。20設(shè)是維非零實(shí)向量，為使得的任意常數(shù)。以下結(jié)論若正確，請(qǐng)證明；若不正確，請(qǐng)舉出反例。(1) 若與正交，且與也正交，則與正交。(2) 若

4、與線性無關(guān)，且與也線性無關(guān)，則與線性無關(guān)。參 考 答 案（線代）一 選擇題 b d c a d b二 填空題 7. 11； 8. ； 9. ； 10； 11. ； 12.。三 計(jì)算題13. 。14. （1） 無窮多解； 唯一解； 無解 （4分） （2） （8分）15. 解：（1）方程組有解但不唯一，所以，故。 （2分）（2） 特征值為 ，。 （4分）， 。 （8分）16由，有，得。 （2分）用，左右乘方程的兩端，得 （4分） （8分）17（1）設(shè),則，故，； （2分）（2）設(shè)所求向量的坐標(biāo)為 ，則，即， 因?yàn)闉榭赡婢仃?，?，由 （4分）得， （6分）故 （8分）18，特征值1、1、2， （2分），特征向量， （4分） （6分） （8分）四 證明題19證：(1) 因?yàn)椋缘慕舛际堑慕?，又，故它們的解空間相同，因此它們同解。 (2) ，所以的解都是的解。反之，若