11代數(shù)式的恒等變換方法與技巧

1、11 代數(shù)式的恒等變換方法與技巧一、代數(shù)式恒等的一般概念定義1 在給定的數(shù)集中，使一個(gè)代數(shù)式有意義的字母的值，稱(chēng)為字母的允許值。字母的所有允許值組成的集合稱(chēng)為這個(gè)代數(shù)式的定義域。對(duì)于定義域中的數(shù)值，按照代數(shù)式所包含的運(yùn)算所得出的值，稱(chēng)為代數(shù)式的值，這些值的全體組成的集合，稱(chēng)為代數(shù)式的值域。定義2 如果兩個(gè)代數(shù)式A、B，對(duì)于它們定義域的公共部分（或公共部分的子集）內(nèi)的一切值，它們的值都相等，那么稱(chēng)這兩個(gè)代數(shù)式恒等，記作A=B。兩個(gè)代數(shù)式恒等的概念是相對(duì)的。同樣的兩個(gè)代數(shù)式在它們各自的定義域的某一個(gè)子集內(nèi)是恒等，但在另一個(gè)子集內(nèi)可能不恒等。例如，在x0時(shí)成立，但在x<0時(shí)不成立。因此，在研究

2、兩個(gè)代數(shù)式恒等時(shí)，一定要首先弄清楚它們?cè)谑裁捶秶鷥?nèi)恒等。定義3 把一個(gè)代數(shù)式變形成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式，這種變形稱(chēng)為恒等變換。代數(shù)式的變形，可能引起定義域的變化。如lgx2的定義域是，2lgx的定義域是，因此，只有在兩個(gè)定義域的公共部分內(nèi)，才有恒等式lgx2=2lgx。由lgx2變形為2lgx時(shí)，定義域縮小了；反之，由2lgx變形為lgx2時(shí)，定義域擴(kuò)大了。這種由恒等變換而引起的代數(shù)式定義域的變化，對(duì)研究方程和函數(shù)等相關(guān)問(wèn)題時(shí)也十分重要。由于方程的變形不全是代數(shù)式的恒等變形，但與代數(shù)式的恒等變形有類(lèi)似之處，因此，在本節(jié)里，我們把方程的恒等變形與代數(shù)式的恒等變形結(jié)合起來(lái)討論。例1：設(shè)p為實(shí)常數(shù)

3、，試求方程有實(shí)根的充要條件，并求出所有實(shí)根。由于代數(shù)式的變形會(huì)引起定義域的改變，因此，在解方程時(shí)，盡量使用等價(jià)變形的方法求解。這樣可避免增根和遣根的出現(xiàn)。解：原方程等價(jià)于由上式知，原方程有實(shí)根，當(dāng)且僅當(dāng)p滿(mǎn)足條件這說(shuō)明原方程有實(shí)根的充要條件是。這時(shí)，原方程有惟一實(shí)根。二、恒等變換的方法與技巧恒等變換的目的是使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，便于求解。因此，式的恒等變換是根據(jù)需要進(jìn)行的，根據(jù)不同問(wèn)題的特點(diǎn)，有其不同的規(guī)律性。1分類(lèi)變換當(dāng)式的變換受到字母變值的限制時(shí)，可對(duì)字母的取值進(jìn)行分類(lèi)，然后對(duì)每一類(lèi)進(jìn)行變換，以達(dá)到求解的目的。分類(lèi)變換方法適用于式的化簡(jiǎn)與方程（組）的化簡(jiǎn)、求解。例1：當(dāng)x取什么樣的實(shí)數(shù)值時(shí)，下列

4、等式成立：（a）； （b）；（c）。解：我們來(lái)求解更一般的方程：記方程左邊為f(x)，則由此可知，當(dāng)時(shí)，原方程的解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，原方程變形為，解得。即當(dāng)時(shí)，原方程的解集為。例2：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程組解：考慮數(shù)列。不難證明此數(shù)列滿(mǎn)足遞推式，其中。利用基本恒等式，得，的遞推式化為由此得由，得，。綜上所述知，原方程組等價(jià)于由韋達(dá)定理知，x，y，z是關(guān)于t的三次方程的三根，此三次方程即，這說(shuō)明原方程組在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解集為（1，1，1）。注：此題還可以利用三次單位根的性質(zhì)來(lái)解。2利用對(duì)稱(chēng)性定義4 一個(gè)n元解析式稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)式，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的，都有。由定義可知，對(duì)稱(chēng)式的各變?cè)幍牡匚幌嗤?，?/p>

5、此，一個(gè)對(duì)稱(chēng)式具有下列性質(zhì)：（1）若對(duì)于變?cè)獂1，x2，f具有性質(zhì)p，則對(duì)于任意的變?cè)簿哂行再|(zhì)p。（2）對(duì)于x1，x2，xn的任意排，有，因此，對(duì)于討論f具有某一性質(zhì)時(shí)，可不妨設(shè)。定義5 一個(gè)n元解析式稱(chēng)為輪換對(duì)稱(chēng)式，當(dāng)且僅當(dāng)x2代x1，x3代x2，xn代xn-1，x1代xn時(shí)有。顯角，對(duì)稱(chēng)式一定是輪換式，但輪換式不一定是對(duì)稱(chēng)式。例如，x2y+y2z+z2x是輪換式，但不是對(duì)稱(chēng)式。因此，對(duì)稱(chēng)式所具有的性質(zhì)（1）、（2）對(duì)輪換式一般不成立。由輪換的特點(diǎn)，在解題中，為了方便起見(jiàn)，我們可指定變?cè)衳1最大（或最?。?。例3：設(shè)x，y，z>0，求證(x+y+z)5-(x5+y5+z5)10(x+

6、y)(y+z)(z+x)(xy+yz+zx)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z。證：令。易知是對(duì)稱(chēng)式。當(dāng)x+y=0時(shí)，f(x，y，z)=0，。從而，。注意到f是關(guān)于x，y，z的五次齊次式，故可設(shè),令，得2A+B=15。令，得A+B=10。因此，A=B=5。注意到，且，得等號(hào)成立的條件為。例4：設(shè)a，b，c是三角形的邊長(zhǎng)，證明并說(shuō)明等號(hào)何時(shí)成立。證：令欲證不等左邊為，則易證為輪換式（非對(duì)稱(chēng)）。故可設(shè)。注意到，則可先考慮將f中分離出一個(gè)含b+c-a的非負(fù)式子。事實(shí)上再令令，有令，有。又，。注意到關(guān)于c是二次式，a，b是三次式，故可設(shè)令b=c，得，令a=0，得，。于是。從而顯然，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)f=0。

7、注：對(duì)于，也可直接通過(guò)提取公因式法來(lái)分解因式。事實(shí)上3逆推分析從一個(gè)數(shù)學(xué)過(guò)程的結(jié)果出發(fā)，按與原來(lái)相反的程序去推求初始條件的方法叫做逆推分析法，它的特點(diǎn)是每一步逆推均可逆。由此可見(jiàn)，逆推分析法是證明恒等式的重要方法。例5：設(shè)a，b，c，d，x，y為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足。求證：。證：注意到的表達(dá)式有利用式，將欲證等式兩邊通分化簡(jiǎn)，等價(jià)于式左邊=式右邊。故原等式得證。4整體代換把若干變?cè)恼麄€(gè)式子換成一個(gè)新的字母，于是問(wèn)題中的變?cè)蜏p少了，有利于式的變形求解。例6：求出所有四元實(shí)數(shù)組使其中任一數(shù)與其他三數(shù)的積之和都等于2。解：根據(jù)題意，四元數(shù)組滿(mǎn)足方程組；易知，所有。于是可作整體代換：令，則上述每一個(gè)方程

8、均可寫(xiě)成如下形式，即（p0），解之得,由于是實(shí)數(shù)，故。以下分兩種情況討論：（1）若p=1，則（2）若p<1，則有三種可能：（i）三個(gè)根為，一個(gè)根為，這時(shí)。但這和p<1的假設(shè)矛盾。（ii）三個(gè)根為，一個(gè)根為，這時(shí)，故有一個(gè)為3，其他三數(shù)為-1。（iii）兩個(gè)根為，兩個(gè)根為，這時(shí)，故p=1。這又和p<1的假設(shè)矛盾。綜上所述，原方程組共有五組不同的實(shí)數(shù)解：。6重新組合所謂重新組合是指把幾個(gè)獨(dú)立的式子依據(jù)某一運(yùn)算組合成新的式子，其目的是使組合后的解析式變得簡(jiǎn)單，以便于問(wèn)題求解。例8：確定所有能使不等式組成立的，其中為正實(shí)數(shù)。解：注意到此不等式組關(guān)于成輪換對(duì)稱(chēng)，因此可考慮將五個(gè)不等式重

9、新組合（相加）起來(lái)，得再重新組合各項(xiàng)，得從而可推出x1=x2=x3=x4=x5。經(jīng)檢驗(yàn)每組五個(gè)相等的正實(shí)數(shù)是原不等式組的解。故原不等式組的解為x1=x2=x3=x4=x5=a，aR+。在解題中既要注意到題目各個(gè)部分，又要從整體上把握題目。因此，必須把化整為零與重新組合的思想有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。7消去部分所謂消去部分是指或者讓一部分式子互相抵消，或者讓一部分式子代替另一部分式子。比如，在解方程中的加減消元法、代入消元法、比較消元法；數(shù)列求和（積）中的交叉消去（交叉相約）等。例11：求出所有的實(shí)數(shù)a，使得存在非負(fù)實(shí)數(shù)適合。解：我們對(duì)的個(gè)數(shù)為n來(lái)求解。注意到，可考慮先消去a，再由的值來(lái)確定a的值，事實(shí)上

10、，（=1，2，n，）。則對(duì)任意xk有下列兩種情況：（1），其余的均為零，得a=0；（2），其余均為零，得。綜上所述，a的取值集為。8構(gòu)造對(duì)偶式根據(jù)題中某式A的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造A的對(duì)偶式B。利用A與B之間的運(yùn)算（主要是加、減、乘）求得A、B的兩種關(guān)系式，從而使問(wèn)題獲得解決。常見(jiàn)的對(duì)偶式有a+b與a-b；ab與；sinx與cosx；tanx與cotx；與等等。例13：設(shè)且。求證：證：令不等式左邊為A，其對(duì)偶式，由平均不等式可得： 又 +得，。10數(shù)形結(jié)合對(duì)于某些特殊的代數(shù)式，它有其特殊的幾何意義，我們可利用這種幾何意義將代數(shù)式之間的變換轉(zhuǎn)化為幾何量之間的變換，使最終達(dá)到我們求解問(wèn)題的目的。例16：已知正實(shí)數(shù)p，q，r滿(mǎn)足關(guān)系式。求證方程組有惟一解。解：顯然，故存在三銳角A、B、C使，于是。易證上式當(dāng)且僅當(dāng)A+B+C=成立。故以A，B，C為內(nèi)角可構(gòu)造ABC。設(shè)其外接圓半徑為，其垂足三角形為DEF，H為垂心，則易計(jì)算得AEFABC（B，C，E，F(xiàn)共圓）。由A，F(xiàn)，H，E共圓得，而。，同理，。又。同理，。由即得。同理，。故為原方程組的一組解。若另有一組解，不妨設(shè)，則由式知，由式知，由式知矛盾。故原方程組有惟一解。習(xí)題111解方程。2設(shè)。求證：不等式成立的充要條件是或。3設(shè)，求證：。4設(shè)是滿(mǎn)足的正