考研數(shù)學(xué)重要公式

1、標(biāo)準(zhǔn)高等數(shù)學(xué)重要定理及公式作者：電子科技大學(xué) 通信學(xué)院張宗衛(wèi)說(shuō)明：本文檔是筆者在考研過(guò)程中花費(fèi)將近一個(gè)月的時(shí)間，總結(jié)得出的數(shù)學(xué)(一)重要公式及一些推論，并使用 word及MathType輸入成文，覆蓋了微積分、線(xiàn)性代數(shù)、概率論這 些課程。因?yàn)闀r(shí)間有限，難免存在一些輸入錯(cuò)誤，請(qǐng)讀者仔細(xì)對(duì)照所學(xué)知識(shí)，認(rèn)真查閱。線(xiàn)性代數(shù)重要公式1 .矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣關(guān)系：AA = A E0,r(A)<n-12 .矩陣行列式：A=、A*A = An， (kA)*=kn,A* r(A*) =1,r(A) = n1 "n,r(A) = nr(AB) ,minr(A),r(B“ r(A B) ,r(A) r

2、(B)3 .矩陣與其秩:r(A, B) <r(A) +r(B) r( A, B) _max(r(A) r(B)4 .齊次方程組 Ax=0：非0解u線(xiàn)性相關(guān)u R(A) = n5 .非齊次方程組 Ax = b ：有解之 R(A) = R(A) u 線(xiàn)性表出6 .相似與合同：相似一n階可逆矩陣A,B如果存在可逆矩陣 P使得P/AP = B則A與B相似，記作：A B ;合同一A,B為n階矩陣，如果存在可逆矩陣C使得B =CTAC則稱(chēng)a與B合同。(等價(jià)，A與B等價(jià)一A與B能相互線(xiàn)性表出。)7,特征值與特征向量：Aa=?a ,求解過(guò)程：求行列式|KE-A = 0中參數(shù)人即為特征值，再求解( E-A

3、)x = 0即可求出對(duì)應(yīng)的特征向量。矩陣A的特征值與A的主對(duì)角元及行n nnNA苞a.列式之間有以下關(guān)系：1 11。上式中tra(A)=£ aii稱(chēng)為矩陣的跡。2= A J8 .特征值特征向量、 相似之間的一些定理及推論：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的互異特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)；若n階矩陣的特征值都是單特征根，則A能與對(duì)角矩陣相似；n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是對(duì)于A的每一個(gè)ki重特征根，齊次方程組(KiE-A)x=0的基 礎(chǔ)解析由ki個(gè)解向量組成即對(duì)應(yīng)每一個(gè) ki重特征根 % R( E-A) = n-ki o9 .實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)， 如果A為一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣， 那么對(duì)應(yīng)于A

4、的不同特征值的 特征向量彼此正交。任意n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A都存在一個(gè)n階正交矩陣C,使得CTAC =C"AC 為對(duì)稱(chēng)矩陣。%，Q2.0S化為與之等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正（;1）（-3, ：1）（1,1）（：3, -2）:nzrj2（ s， -1）二HUT1（：s，-2）:2-.（：s，-sj）（，、）10 .施密特正交矩陣化方法：一般地，把線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組 交向量組的施密特正交過(guò)程如下:則Z，%.工是一組與0tl,u20（s等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。 ss11 .正交矩陣的定義：如果實(shí)矩陣 A滿(mǎn)足：ATA = AAT =E則稱(chēng)A為正交矩陣。12 .設(shè)A, B為n階方陣，如果存在可逆矩陣C,使得B=CTAC

5、,則稱(chēng)A與B合同。13 .用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型步驟：a） 寫(xiě)出二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)矩陣A;b） 求A的特征值和特征向量，（EE -A = 0）%；c） 將特征向量 叫正交化（實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量彼此正交，多重特征根在取特征向量時(shí)盡量取正交向量，方便計(jì)算）、單位化得Pix1-3 1X=，x2yd）令 .,C = ",P2,.Pj, Y="則 X =CY ,是正交變換，且.Ixn J,222f （X1,X2,.,Xn） = 'iYi-2Y2 .,nYn °14 .如果任一非零向量 X都使得二次型 XT AX >0 ,則稱(chēng)之為正定二次型，

6、對(duì)應(yīng)的矩陣A為正定矩陣。二次型為正定矩陣的充要條件是矩陣A的特征值全部為正實(shí)數(shù)、正慣性指數(shù)是n、矩陣A與E合同、矩陣A的順序主子式全大于零，且以上條件等價(jià)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)重要知識(shí)點(diǎn)及公式: 1.條件概率：P(A| B) = P(AB) 如果 P(A|B) = P(A)P(B),則 A 與 B 獨(dú)立。P(A_. B)= P(A) P(B)-P(A- B)2.常用概率公式:4 P(A B) = P(AB) = P(A) P(AB)(對(duì)于給定如：A二 B 這樣的條p(AB) =P(A|B)P(B)件，常常通過(guò)畫(huà)圖(如下圖)來(lái)解決，直觀明了)p(AB) = p(B)-p(AB) p(AB) =p(A

7、)-p(AB)n3 .全概率公式：P(A)=£ P(A)P(A|B)i 14 .貝葉斯公式：p(Bi|A)二風(fēng)魯二產(chǎn)型4 (結(jié)合條件概率公式和全概率公p(Bi)' p(Bj)p(A|Bj)j i式推導(dǎo)而出)5 .幾個(gè)重要分布：a)二項(xiàng)分布(n次重復(fù)，伯努利類(lèi)型)：p(A) =C；npn(1p)mjb) 泊松分布：二項(xiàng)分布當(dāng) m,很大，p 很小且np =九時(shí)，,kX p( ) Ip = x:2 - e ,= k 0 , 1 , 2k!c)均勻分布:X U(a,b), f(x) = b-,a x : b a文案0,otherelsed)指數(shù)分布:f兒e"x, x A0：

8、f (x)=0,x<01 ite)正態(tài)分布：X N(u,g2), f (x；u,g) 一 L 一 - p 25.2 二。6 .隨機(jī)變量的數(shù)字特征:A)數(shù)學(xué)期望：存在前提n£ x Pi，i 1*xf(x)dx要絕對(duì)可積，那么nE(x) =£ xr ,i 140E(x) =( xf (x)dx ;B)方差:D(X) =E 1(x E(x)2)D(X) =E(x2)-E2(x)E(C)二 CC)期望性質(zhì)：|e(cX)=cE(X), X, Y獨(dú)立則 E(XY)= E(X)E(Y)E(X Y) = E(X) E(Y)D(C) =0D)方差性質(zhì)：«D(cX) =c2D(

9、x)，若X, 丫相互獨(dú)立則D(X _Y) =D(X) D(Y) _2cov(X,Y)D(X ±Y) =D(X) + D(Y).。7 .常用分布數(shù)字特征：a) (0,1)分布 E(z) = p; D(z) = p(1 - p)b) b (n, p)二項(xiàng)分布 E(z) = np; D(z) = np(1 - p),kc) 泊松分布 二e± E(z)=九, D(z)=兒;k!d)均勻分布: a b (b a)2 Ub'bl'E二二 ,D(z)二;e)指數(shù)分布:e-x,x 011,E(z) = 一 ,D(z)=;0,otherelsef)正態(tài)分布：N (N, 62)

10、, E(z) = N,D(z) = 62;8 .協(xié)方差：定義式 cov(X ,Y) = EIx-E(x)Iy-E(y)計(jì)算式 cov(X,Y) = E(xy)-E(x)E(y)cov(X,丫 Y2) =cov(X,Y) cov(X,Y2) cov(aX,bY) =abcov(X,Y)cov(Z,Z) = D(Z)9 .相關(guān)系數(shù)：P = c0V（X,Y） , P <1; Jd（x）d（y）10 .幾種特殊函數(shù)的分布問(wèn)題:a) 極值分布 乙=max(X ,Y), Z2 = min( X ,Y)FZ(z) =P(max(X,Y) , z) =P(X _ z,Y _ z)= P(X Mz)P(Y

11、 Mz) =Fx(z)Fy(z)Fz2 (z) =P(min( X,Y) <z)=1 - P(min( X ,Y) > z)=1 -P(X z)P(Y z)= 1-1-px<z1 -py<z =1-1-Fx(z)1 -Fy(z)b)和的分布：Z=X+Y分分布函數(shù)是Fz(z) = PX Y<z = f(x,y)dxdyx: Oy <z, 、 國(guó)一fz(z) = Fz(z) =_ f(z-y, y)dyfz(z) = J-f(x,z-x)dx一般的 X 與 Y 相互獨(dú)立，且X N(N12),Y N(N2,6；), 則Z =X +YN(H +匕,612+喘)，其概

12、率密度公式為：c c1f(z;1 2,二 12 二12)： ,2二(二1(x44 -2)2a 2(02 冊(cè):e02 二12)c)商的分布Z = XY分布函數(shù)是：Fz(z) = P(Z M z) = f (x, y)dxdyx/y_z0；fz(z) = ：0 yf(zy, y)dy - . ：.yf(zy, y)dy - J- y f(zy, y)dy11.參數(shù)估計(jì)：a)矩估計(jì)方法：構(gòu)造關(guān)于參數(shù)組成的k階原地矩與樣本k階原點(diǎn)矩之間的等式關(guān)系：.1 n建(耳，62,.凡)=乙x ,斛此萬(wàn)程組斛為 “="(Xi,X2,.4)就作為”的矩估 n i 1計(jì)。b)極大似然估計(jì)方法：基本思想是按照

13、最大可能性的準(zhǔn)則進(jìn)行推斷，把已經(jīng)發(fā)生的事件，看成最可能出現(xiàn)的事件，即認(rèn)為它具有最大的可能性。求法，寫(xiě)出最大似然函數(shù)，并求最大似然函數(shù)的最大值點(diǎn)，一般取最大似然函數(shù)的對(duì)數(shù)方便運(yùn)算，即求解如下的似然方程組£lnL = 0,k=1,2,3，m,似然方程組的解可能不唯一，這時(shí)需要微積分知識(shí)進(jìn)一步的判定哪一個(gè)是最大值點(diǎn)，若似然函數(shù)關(guān)于參數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)，就無(wú)法得到似然方程組，因此必須回到極大似然股及 的定義式直接求解。13 .矩估計(jì)的優(yōu)良性：若 E(e)= e則稱(chēng)日是a的無(wú)偏估計(jì)量，若 日1,仇是e的無(wú)偏估計(jì)量， 且D(01)<D(02)則稱(chēng)2為8的最小無(wú)偏估計(jì)量。1 n14 .數(shù)理統(tǒng)計(jì)

14、概念： X Xi (樣本均值) n i 111 n c S2= H (Xi X)2 (樣本方差) n -1 i -1n ,AkXikn y(樣本k階原點(diǎn)矩)1 nMk = £ (Xi -X)k (樣本k階中心矩) n y15 .三個(gè)重要分布:a)設(shè)n個(gè)相互獨(dú)立并且都服從正態(tài)分布N(0,1)的隨機(jī)變量X1, X2,., Xn記n2 八 Xi2i 1則稱(chēng)隨機(jī)變量？2服從自由度為n的厘2分布。對(duì)于給定的正數(shù)a(0<a<1),稱(chēng)滿(mǎn)足關(guān)系式P(72 >矛何)=J 一 f)(x)dx = a的數(shù)7；(n)為72(n)的上側(cè)臨界值或上 ；(n)側(cè)分位數(shù)。性質(zhì)：E( 2) = n,

15、 D( 2) = 2n設(shè)Y,%相互獨(dú)立，且 Y "(nJK- ?2(%)則有 Y +K，2(口 +%)b )設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X N(0,1),Y 72(n),記X n的t分布。=一尸=則隨機(jī)變量T服從自由度為Y nc )設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,X 72(n1),Y 72(n2)記 F =Xn1則隨機(jī)變量F服Y n2從第一自由度為 n1第二自由度為 電的5分布。16設(shè)X1，X2，Xn是正太總體N (也62)的樣本，X,S2分別是樣本均值和樣本方差，則有2 .X與S相互獨(dú)立，則有X N() nn -1S2 2(n -1)、S/品 t(n -1)-1 n 1nE(X) =E(X

16、i ) = E(XJ 3B)當(dāng)簿=6； =62 時(shí)，T =(X -Y) -(L -口2)11n1也 t(n1 + n2 -2)其中,、.2上式中，"Ini1 n1D(X);D- Xi)2D(XJ :n y n17 .設(shè)X1,X2，Xn1和丫,丫2,Yn2分別是來(lái)自正態(tài)總體 N(%6；),N(匕,6；)的樣本，并且它們相互獨(dú)立，X,S12,Y,S2分別是這兩組樣本的均值和樣本方差，則有：S2 / 12A)入1);Q (m -1)S2 (n2 -1)S1n2-。18 .已知隨機(jī)變量 X的分布函數(shù) F(x),分布函數(shù)在x=a 處不連續(xù)，則PX =a=F(x=a)lim F(x)。(PX a

17、Fa()Fa( 0-)x a 一19 .概率密度函數(shù)滿(mǎn)足：f "(x)dx=1,通常用此條件求概率密度函數(shù)中的參數(shù)值。020 .多重概率密度函數(shù)同樣滿(mǎn)足：口 f (x, y)d每=1 G為積分空間.G微積分部分:1 , 無(wú)窮小與無(wú)窮大：當(dāng)X-A0時(shí)，有下列等價(jià)無(wú)窮小sin x x,tan x x,arcsin x x,arctan x x,nX121 3 1 x -1 ,1 - cosx x ,tanx - sin x x , n22 1x , X ,ln(x 1)x,loga(1 x)x,e-1x,a -1 xlnln aa；3Xarcsinx - x , x -arctanx 6

18、13tanx -sin x x2XX,tanx - x332,若 lim f (x) =0,lim g(x) =0則 lim1 + f (x)g(X) X J%X此X的lim f (x)g(x)二 ex 3.導(dǎo)數(shù)概念：f(x0)=limf(X0x) - f (X0)xx微分概念：Ay = f (Xo+Ax) - f(xO) =AAx+o(x)稱(chēng) f(x)在 X0可微，dy = Ax 為 Ay 的1線(xiàn)性王部。切線(xiàn)萬(wàn)程： y_y0=f (X0)(X_X0)法線(xiàn)方程： 丫一丫0 = '(X-X0)f (Xo)4,極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則，夾逼準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限。''&

19、#39;(u 二 v)(x)= u (x)二 v (x) '''(uv) (x) = u (x)v(x) u(x)v (x)5.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則:«")(X)v1 (-)(X),vu (x)v(x) -u(x)v (x)v2(x)(v(x)v2(x)6,常用導(dǎo)數(shù)和不定積分:, ，(C) =0n n 'n 1(x ) =nx(aX) = aXlna(a>0, a*1)X 'X(e ) =e(lOgaX)' =- xln a,1 、,1(lnx) x，.、'(sin x) = cosx，、'.(cos x)

20、 = sin x、'2(tan x) =sec x,、'2(cot x) = - csc x(secx) =secxtanx，、'(cscx)=-cscQanx、1(arcsinx)-7l -x2，、'(arccosx)=1,、1(arctan x) =21+x2(arccotx)= 11+x2，,、'.(shx) =chx，、一、sin x .一.,對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：y=x (xA0),求 y。解：ln y zin x_ln x1,1_ y =cos xln x E sin xyx1y =y(cosxln x-|=_ sin x)x1.兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)2.兩邊

21、同時(shí)求導(dǎo)參數(shù)求導(dǎo)法：!x = x(t)確定的y = y(x)求dy ly = y(t)Jdx' ， 、，'，、 2,dy y (t) zdy _dy_dt 吆) 一 y 、一加d_y _d_d ',( ') *力1寸效.2 -dx x (t) dx dt dx dx dx x (t)dx dt dxdt一 一、，、一1 '11 '1反函數(shù)求導(dǎo)：(f )(x) ,(f )(y)|y,f (y). f (x) |x0dt dx高階導(dǎo)數(shù)：sin(n) x =sin(x + n 土) 2cos x = cos(x + n 2)ln(1 +x)(n)=2

22、(nR、n " n (1+x)/ x、(n)、n x(a ) = (ln a) a(xq(n)=(Xot)(0(2).(C(-n 41)x&(1)小坐 xx/ n、(n)1(x ) = n!基本積分公式：J0dx = Cjx%xx* +C.1 +adx = ln x + C . xxfaxdx =- C C ln aJexdx =ex +Ccosxdx =sin x +C/sin xdx =-cosx +C2J sec xdx = tan x + C>2.fcsc xdx = cotxsecxtanxdx = secx +Ccscxcot xdx =-cscx +C1.

23、-=r dx = arcsin /1 . x2x,1.2dx = arctan xF +x2冗t tan xdx =-In cosx +Cf cot xdx = In sin x +CsIn>ecxdx =secx + tan x +Cjcscxdx =1/ 1 dx 二2 2 22va -xd dxdx222 1h-alIn +C2a |x+a一In cscx-cotx +C/ 2 .2 一/x ±ax _ arcsin - 十C aInx+Jx2 ±a2 +C1.將復(fù)雜部分求導(dǎo)2.主要處理根式部分3.將復(fù)雜部分用新變量 t替換4.分部積分主要處理兩類(lèi)函數(shù)乘積的積分

24、5.有理公式處理真分式積分。6.萬(wàn)能代換。7 .羅爾定理：f(x) wCa,bcD(a,b)且 f(a) = f(b)則mUw (a,b)使得 f 償)=08 .看到函數(shù)值差，聯(lián)想單拉格朗日定理 f(b)-f (a) = f'(£)(b-a),b>a用于求極限證明不 等式。9 .柯西定理：若 f(x),g(x)w Ca,bc D(a,b)且,Vx (a,b),g(x)¥ 0 則式 w (a,b)使 得f(b)-f(a) _ f'()g(b)-g(a) g'()10 .駐點(diǎn)x0, f (x0) =0的點(diǎn)；極值點(diǎn)f (%),根據(jù)實(shí)際情況判斷，通常看

25、在x0兩側(cè)的一 、 . . . _ . " , _ 階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有次判斷是極大值或極小值；拐點(diǎn)(x0, f (x。)，拐點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)f (x0) =0 ,且在x°兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)異號(hào)。11 .哥指數(shù)函數(shù)極限的一般處理方法：lim uv =lim evlnu =elimvlnu對(duì)于1 .未定式，一般1lim uv =lim(1 +o產(chǎn)產(chǎn)=elimCv,(cc =u -1)12 .可分離變量微分方程：=f (x)g(y)解法dy = f f (x)dxdxg(y)13 . f (tx,ty) =tkf(tx,ty)令 t有 f (x, y)三 f (tx,ty) = f (1% =

26、中心稱(chēng)之為其次方 xx x程，引入變量u=y則型=u +x四帶入方程 2=Cp(_y)得u + xdu=(u)兩邊同時(shí)積分x dx dxdx xdx求解。dy_ p(x)dxp(x)dx14 .一階線(xiàn)性非齊次方程：_L+p(x) y = Q(x)通解為：y = e l fQ(x)e)+cdx15 .伯努利方程：+ P(x)y =Q(x)yn ,令 z= y1"則=(1 -n)yJ,即dxdxdxy”=_d并入原式得 包+(1_n)p(x)z = (1_n)Q(x)。d x 1 - n d x dx'dp16 . y = f (x, y )型高階微分方程求解：令p = y則原式

27、化為 上=f (x, p)用上述方法求解dx可得y' =、(x，G),于是再積分可得y =嚴(yán)(x,G)dx+C217 . y = f (y, y)型高階微分方程求解： 可令y = p(y),則y = y = 業(yè)=電業(yè) =p dx dx dy dx dx于是y'' = f (y, y')變?yōu)閜 dp = f (y, p)求得通解為p = 9(y,C1)即電=中(丫,。),分離變 dydx量積分得 j=x + C2。Xy,Ci)18 .二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分萬(wàn)程解法：y + py+qy0 (p, q為常數(shù))即一 2_、-2-(D+pD+q y=0 (D為微分算子)，

28、可得特征方程r + pr+q = 0 ,特征方程的兩個(gè)根為12二一"、口，分三種情況:2a) 當(dāng) p24q0 解為 y=C1eu1x+C2eu2x 2rxb)當(dāng) p -4q =0 解為 y = (G+Czx)ec)當(dāng)p2-4q<0,特征方程有一隊(duì)共軻復(fù)根r1=a+加,r2=a iP ,則通解為y =ecx(C1 cos Px +C2 sin 口x) " '19.二階線(xiàn)性非齊次線(xiàn)性方程的斛法：一般形式y(tǒng) + py +qy=f(x) (p、q為常數(shù))f(x) =pm(x)e>x, p (x)是 m次多項(xiàng)式1.入不是對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程的根，則2.* y3

29、.* yy =Qm(x)e 九人是單根，則對(duì)應(yīng)的特解為= xQm(x)e*人是重根，則對(duì)應(yīng)的特解為= x2Qm(x)e /f (x) =e*P(x) cosox +Pn sin oxy = xke'x Rm) cosccx + Rm2) sin s x,其中Rm) (x), Rm2)是系數(shù)待定的m次多項(xiàng)式，m = max l, n而k按九+ i®不是或是特征方程的根分別取0或1.20 .多元函數(shù)微分：z= f(x, y)在點(diǎn)(Xo,y0)處的全微分 dz = A(X0,yo)dx+B(X0,yo)dy ,其中 A(Xo, yo)=、'z |、:x (",y0

30、)'z ,B(x0,y0)= |(x),yo)o、yFyFz求得。F(x,y,z) = 0偏導(dǎo)數(shù)可由2-z = _ Fx、x 一 Fz21 . F(x, y)=0,可由dy =一且求得導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于 dxFy22 .空間曲線(xiàn)L的參數(shù)方程L:x=x(t), y 二 y(t), z =z(t), a -t - b;曲線(xiàn)上一點(diǎn)M 的0。：。)，則向量s = (x(t0),y'(t0),z(t0)就是曲線(xiàn)L在點(diǎn)M處切線(xiàn)的方向向量，也稱(chēng)為切向量，于是在 M點(diǎn)的切線(xiàn)方程為 x-x0- y ,-y0 -zz0 ,法平面方程為 x(t°)y(t°)z(t°)'

31、;''x (t0)(x Xo) + y (t°)(y y°) + z (t°)(z Zo) =0。23 .空間曲線(xiàn)由兩平面方程確定 Fix,y，Z)= 01則可確定曲線(xiàn)L: H = y(X)于是在點(diǎn) G(x,y,z) =0 |z 二z(x)'，、'M0處的切向量為 s = (1，y(x)，z(x)|Mo o24 .方向?qū)?shù)：設(shè)函數(shù)z = f(x, y)在點(diǎn)p(xo,yo)處可微，則函數(shù)在此點(diǎn)處存在沿任一方向的dfdfdfl的萬(wàn)向?qū)?shù)，則萬(wàn)向?qū)?shù) =(cosa +cosP)展y),其中cosa ,cos P為l萬(wàn)向上 dldxdy的方

32、向余弦。干 干25 .梯度：gradf =fij ,它是一個(gè)向量，可將二兀函數(shù)f(x,y)沿任一方向l的方向 jx；:y導(dǎo)數(shù)寫(xiě)成向量?jī)?nèi)積的形式：f = gradf U' =口 gradf | cosO ,日是代與grad f之間的夾角。_ l方向?qū)?shù)的最大值為|gradf | = J()2 +()2 ,當(dāng)日=0,即l的方向就是gradf的方向 ：x：y時(shí)，巨最大，也就是沿著梯度方向，函數(shù)的變化率最大，函數(shù)值增長(zhǎng)最快。日=n時(shí)，l取Fl負(fù)梯度方向-grad f時(shí)，方向?qū)?shù)達(dá)到最小值一|gradf| = J(f )2 + (當(dāng)2 也就是沿負(fù)梯:x Fy度方向函數(shù)值減少最快。26 .極值的充

33、分條件：設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(xo, yo)額某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且有fx(x0, y0 ) =0, fy(x0, y0)=。,令 fxx(xo,yo)= A,fxy(xo,yo)= fyx(xo,yo)= B, fyy(x°,yO)= C ,函數(shù)在點(diǎn)(xo,yo)的黑塞ffxxfxy)A B)矩陣為：H f (xo, yo) =y =,則有一下結(jié)論：° °ExSB eg1)若AC -B2 >o, Ao,則Hf為正定矩陣，故 f(xo,yo)為極小值。22)若ACB >o, A <o,則Hf為負(fù)定矩陣，故f(xo,yo)為極大值。3)若

34、AC B2 <o,則Hf為不定矩陣，故f (xo,yo)為不是極值。27 .有界區(qū)域上的最大值與最小值：求出 f (x,y)在D內(nèi)所有的駐點(diǎn)和駐點(diǎn)處的函數(shù)值，求出f (x, y)在邊界上的最大(小)值，對(duì)比上面求出的函數(shù)值，其中最大的就是f (x,y)在D 上的最大值，最小的就是最小值。28 .條件極值和拉格朗日數(shù)乘法：u = f (Xi,X2,.,Xn)在 m個(gè)條件*(Xi,X2,., Xn) =0(i =1,2,., n)下的極值。求解步驟如下：a)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：F (x, y, z,兀，) = f (x, y, z)+兒Q(x, y, z)+九22(x, y, z)b)對(duì)F求x

35、,y,z,%,%的偏導(dǎo)數(shù)并令其為零，即FX =0Fy =0Fz =0F 1 = 1(X, y,z) = 0F2 = 2(x,y,z) =0 2.c)求解(X0, y0,z0), 11,九2。d)根據(jù)問(wèn)題性質(zhì)判斷(X0, y0, )是否為極值點(diǎn)。29 .二重積分的計(jì)算，熟悉 X型y型積分區(qū)域的計(jì)算，以及改變積分順序。一 一 x = r cos 一.一.30 .極坐標(biāo) 卜貝U d6 = rdrd 0 ,那么 17 f (x, y)d$ = f f (r cos6, r sin8)rdrdB ,y 二rsinudd使用時(shí)注意積分上下限的變換。Jx = r cos n 一 / 1I -八.一31 .枉

36、坐標(biāo)下的極坐標(biāo)變換：y = rsin日,dV = rdrddz那么z二z川 f (x y z dV )川 f r q r c 由 rdrdQdz°sVV32 .球坐標(biāo)下計(jì)算三重積分：0 < P <,0 <n,0 <0 <2JTx = Psin : cos -y y = Psin*sin e , dV = P2 sin 中d Pd*d z = cos ：則球坐標(biāo)下三種積分的計(jì)算公式為：! f (x, y, z)dV = f (: sin ： cos-, "sin : sin -,cos ): 2 sin d ：、d d- VV33 .曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)：

37、曲線(xiàn)L: 丫 = 丫(*),(2<*功弧微分$=/17'y (x)dx ,則曲線(xiàn)弧段的長(zhǎng) 為 s = j,1 +y'2(x)dx ;曲線(xiàn)參數(shù)方程 x = x(t), y = y(t),(s WtMP),弧微元為ds = Jx'2(t) +y'2 dt, s=，Jx'2(t) +y'2(t)dt 同理， 三元 函數(shù)有s = L、；x2(t) y'2(t)z'2(t)dt平面曲線(xiàn)由x = r(i )y = r(u )c oS i.定d s J ' (x ) + 座 a +)糧宜為與d Q Jr (8)+r (0)d9 0

38、34 .第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算：設(shè)函數(shù)f(x,y)平面弧線(xiàn)L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為1 x = x(t)''2一”一 ，(a<tgp)，則f(x, y)ds=fx(t), y(t)Jx (t) + y (t)dt(c(<B)。 y=y(t)l-35 .曲面S的方程為z=z(x, y)在xoy上的投影為 Dxy,函數(shù)z = z(x,y)在Dxy上具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則S為光滑曲面，則s= nJl+()2+()2dxdy,同理在yoz面上的投影為 Dxy -入 ZDyz ,則有 s = f.(1 +()2 +()2dzdy ,在 z o xh 的投影為 Dzx ,則有Dyz

39、二z二 ys= 口 J 十(當(dāng)2 十(當(dāng)2dxdz。 D . N: xDzx36 .第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算：設(shè)函數(shù)f(x, y,z)在曲面S上連續(xù)，S的方程為z = z(x, y), S 在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy,函數(shù)z = z(x, y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則： f(x,y,z)dS=fx,y,z(x,y)"l + z2(x,y) +zy(x, y)dxdy。SDxy37 .第二類(lèi)曲線(xiàn)積分：_&d_一P(x, y)dxQ(x,y)dy= . F (x,y)ds= . . Px(t),y(t)x (t) Qx(t),y(t)y (t)dtLL-38 .對(duì)于y =

40、 y( x)計(jì)算公式可為bfP(x, y)dx +Q(x, y)dy = f Px, y(x) +Qx, y(x) y (x)dt。應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)沿著曲線(xiàn) L運(yùn)動(dòng), aL八, -J,冒Et ,在場(chǎng)力 F(x, y, z) =P(x, y, z)i +Q(x, y,z)j +R(x, y, z)k 的作用下所做的功為W =F (x,y,z)ds=P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz。39 .第二類(lèi)曲面積分：曲面S ,曲面面積微元向量dS =10ds ,(x, y,z)=(x, y,z)ix, y, z)j,y, z)k 則:.F(x,y,z)dS =2)

41、對(duì)函數(shù)Rx, y,z(x,y)在曲面S的投影區(qū)域Dxy上計(jì)算二重積分。JjP(x, y, z)dydz+Q(x, y,z)dxdz+ R(x, y, z)dxdy。40 .第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算一一分面投影法：將JJP(x, y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+ R(x, y, z)dxdy 的三項(xiàng)分另U化在坐標(biāo)平面Syoz, zox,xoy上的二重積分，其中函數(shù)P(x, y, z),Q(x, y,z), R(x, y,z)在S上連續(xù)，求解步 驟：1)將被積函數(shù) R(x,y,z)中的變量z換為表示曲面的函數(shù) z = z(x,y)確定正負(fù)號(hào)，曲面 S取上側(cè)，即單位法向量 n0與z軸的正向夾

42、角為銳角，則取正號(hào)，若曲面 S取下側(cè)，即單位法向量 n0與z軸的正向夾角為鈍角，則取負(fù)號(hào)。.R(x, y,z)dxdy : 士！ Rx, y, z(x, y)dxdyDxy3)同理:! P(x, y, z)dydz ：十! Px(y,z), y,zdydzSDyz口Q(x, y, z)dzdx = ± 1Qx, y(x, z),zdzdx。zx41 .第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算一一合一投影法：將第二類(lèi)曲面積分JJP(x, y,z)dydz + Q(x, y,z)dxdz+ R(x, y,z)dxdy中的三項(xiàng)都化為某一坐標(biāo)平面上的S二重積分。計(jì)算步驟：1 .計(jì)算法向量n并確定正負(fù)號(hào)，若曲面

43、S取上側(cè)，即法向量 n與z軸的正向夾角為銳 角時(shí)，則取正號(hào)；若曲面S取下側(cè)，即單位法向量 n與z軸的正向夾角為鈍角時(shí)，則 取負(fù)號(hào)。2 .將被積函數(shù)F(x, y,z)中的變量在z換為表示曲面的函數(shù) z(x, y),并與向量n或n做點(diǎn)積。3 .對(duì)點(diǎn)積F|_n或F|J(-n)在曲面S的投影區(qū)域Dxy上計(jì)算二重積分。n =(-zx, -zy,1)F(x, y,z)dS !Fx, y,z(x,y)L_n(x, y)dxdySDxy同理，投影到其他平面上有：JfF(x,y,z)dS= JJFx, y(z, x), zL±n(z,x)dxdz, n =(-yx,1,-yz)Dzx口F(x,y,z)

44、dS= JJFx(y,z), y,z如(y,z)dydz, n = (l-xy,-x%)s42.微積分基本定理的推廣:格林公式：設(shè) D是由分段光滑的曲線(xiàn) L圍成的平面單連通區(qū)域，函數(shù) P(x, y), Q(x, y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)。則有1式。其中L是D的取正向的邊界曲線(xiàn)。設(shè)d是由分段光滑的曲線(xiàn) l與l2圍成的平面復(fù)聯(lián)通區(qū)域，函數(shù) P(x,y),Q(x, y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有2式。其中L1是D的取止方向的外邊界曲線(xiàn)，12是D的取正向的內(nèi)邊界的曲線(xiàn)。1 .”( P) dxdy =JL Pdx + QdyEQ 今- 八(-)dxdy=H Pdx + Qdy +2 . D 金 紂

45、叢口 Pdx + Qdy高斯公式：設(shè)空間區(qū)域V是由分片光滑的閉曲面 S 所圍成， 函數(shù)P(x,y,z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在 V 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則有右式成立，其中S是V的邊界曲面的外側(cè)。m cQ 方Rm Pdydz + Qdxdz川(十-+川丫=儼+二H V ex yyzz% +Rdxdy斯托克斯公式：設(shè) L為分段光滑的空間有向 閉曲線(xiàn)，S為以L(fǎng)為邊界額分片光滑的有向曲面，函數(shù) P(x,y,z),Q(x, y, z), R(x, y,z)在包含曲面S在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)有一階連 續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有右式成立，其中，L的方向與S的側(cè)符合右手規(guī)則，即用右手四指表示L的方向

46、，大拇指的防線(xiàn)與曲面S的側(cè)同向。"出為一印小cQ cP"()dydz+()dzdx + ( )dxdyS cycza-exacy由 Pdx +Qdy + RdzLPdx + Qdy+Rdz =*通常寫(xiě)為：dydz dxdz dxdy一 r r cccJ J =S ex制czPQRcosotcosPcos>ddSSex創(chuàng)czPQR43.曲線(xiàn)積分與路徑的無(wú)關(guān)性:a)設(shè)D為平面上的單連通區(qū)域，函數(shù) P(x, y),Q(x, y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則以下四個(gè)命題等價(jià):i.對(duì)于D內(nèi)任一分段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)L有:1P(x, y)dx Q(x, y)dy =0 Lii.曲線(xiàn)

47、積分0P(x, y)dx+ Q(x, y)dy的值在D內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。iii .被積表達(dá)式P(x, y)dx+Q(x, y)dy在D內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù) u(x, y)的全微分,即 du = P(x, y)dx Q(x, y)dyiv .在D內(nèi)每一點(diǎn)都滿(mǎn)足fy ；:xb )設(shè)G為空間一維單連通區(qū)域，函數(shù) P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z),在G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)，則以下四個(gè)命題等價(jià)：i. 對(duì)于G內(nèi)的任一分段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)L,有Pdx Qdy Rdz = 0 Lii. 曲線(xiàn)積分Pdx+Qdy+ Rdz的值在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。iii. 被積表達(dá)式Pdx十Qdy十Rdz在G

48、內(nèi)是某個(gè)三元函數(shù) u(x, y, z)的全微分, 即du = Pdx Qdy Rdzivi j k。在G內(nèi)母點(diǎn)滿(mǎn)足d d dc日口濕閑cQ cP而心QcP=0,即滿(mǎn)=,=,=,ex cy £zQcz.czex excyP Q R(x,y,z)稱(chēng)函數(shù)u(x, y, z)=Pdx+Qdy + Rdz,其積分路徑可選取平行于(Xo，y0,Z0)坐標(biāo)軸的折線(xiàn)，則Xu(x, y,z);P(x,y0,Z0)dxx0yzQ(x, yz)dy R(x, y, z)dzy。z44 .全微分方程：du(x, y) = P(x, y)dx+Q(x, y)dy ,求解方法：先積 x,將y看做x的常數(shù)函數(shù)，或

49、者使用積分路徑無(wú)關(guān)性來(lái)求解。45 .場(chǎng)論初步一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的向量場(chǎng)可以用一個(gè)向量值函數(shù)A(x, y,z) = P(x, y, z)i +Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k ,那 么函數(shù) u( x, y, z) 梯度Gradu = i +j + k,它也是一個(gè)向量場(chǎng)，也稱(chēng)為 梯度場(chǎng)。jx Z ；z46 .通量與散度：給定向量場(chǎng)A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，S 為場(chǎng)內(nèi)某有向曲面，S上值頂一側(cè)的單位法向量為n，向量場(chǎng) A沿曲面S的第二類(lèi)曲面積分，稱(chēng)為向量場(chǎng)A通過(guò)有向曲面 S制定一側(cè)的通量。如果S是一分片光滑A dS = A n0dSS

50、S的閉曲面，c為外法向量，V為S所包圍的空間區(qū)域，由高斯公式A dS = A n0dS=Pdydz Qdzdx Rdxdy =(FP FQ 爾)dV.x Fy Fz將.:PQR-T- -T-：x y:z稱(chēng)為A(x, y,z)、2P Q ：R _,的散度，記divA = +十于是高斯公式可以寫(xiě)成二 x二 yczSS如下的向量形式：UidivAdV =口 A dSVS。一二 Snlim S ' S47 .級(jí)數(shù)Z un的部分和數(shù)列，有極限S,即Jim* S,則稱(chēng)級(jí)數(shù)工un收斂并稱(chēng)n 1n 1oOS為級(jí)數(shù)Un un的和，記做:n z1oO則稱(chēng)級(jí)數(shù)£ un發(fā)n坦S3S=£ U

51、n ,如果部分和數(shù)列 n沒(méi)有級(jí)數(shù),n =1散。QO48 .常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)：若 Z Un收斂,n 1QO收斂值S,則：Z kun收斂，收斂值為kS。n 1若Z Un和£ Vn收斂，且收斂值分別為n z1n 1S 、 二 二S_、和則，工Un ±Z Vn收斂，其和為 。另n=1n z1外在級(jí)數(shù)的前面部分去掉或者加上有限項(xiàng),不改變級(jí)數(shù)的斂散性，然而在級(jí)數(shù)收斂的條件下,級(jí)數(shù)的和一般要改變。49.級(jí)數(shù)收斂的必要條件：設(shè)級(jí)數(shù)oOUn n 1收斂，則段 =0。50.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂法：若-0,則稱(chēng)級(jí)數(shù)QOZ Un = u + u2+.+Un +是正項(xiàng)級(jí)數(shù)。設(shè)n 1QO£ Un是

52、正項(xiàng)級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)n 1QO工Un收斂的充分必要條件為它的部分和數(shù)列n 1Sn有界。二 二 un - vn二1 ）比較判斂法：正項(xiàng)級(jí)數(shù)Z un和£ vn且有，則有結(jié)論：1.如果級(jí)數(shù)Z un發(fā)散則n =1n =1n 100級(jí)數(shù)工vn發(fā)散。n 1cOQO2.如果級(jí)數(shù)Z vn收斂，則級(jí)數(shù)Z un收斂。n =1n =1QO oooo oo正項(xiàng)級(jí)數(shù)Z un和£ vn ,如果Ijm = l ,(0 < l <°°),則級(jí)數(shù)Z un和£ vn n 1n£VnnTn 1同時(shí)收斂或者發(fā)散。2）比值判斂法：設(shè)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)P ：二 1.二時(shí)級(jí)數(shù)正項(xiàng)

53、級(jí)數(shù)乙Un收斂n 100£ Un是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果n 1P >1當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；lim 照=P(0 w P <«)則當(dāng)P = 1時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。3)根值判斂法：設(shè)級(jí)數(shù)Jun是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果!imYun：p(0<p<f),則當(dāng)p<1時(shí) n 1i1 -1：=1級(jí)數(shù)工Un收斂，當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)可能發(fā)散也可能收斂。n 150 .交錯(cuò)級(jí)數(shù)的判斂法：設(shè)Un >0(n=0,1,2/稱(chēng)級(jí)數(shù)£ (1)n,Un或者£ (1)nUn是交 n 1n 1oO錯(cuò)級(jí)數(shù)。萊布尼茨判別法：若交錯(cuò)級(jí)數(shù)工(-1)n,Un滿(mǎn)足如下條件QOZ (一 1)nUn是收斂的，且其和n 1n工.Un Un+(n -.j ；.nmUn =0；則級(jí)數(shù)S <