大跨度橋梁中幾何非線性綜述

1、大跨度橋梁中幾何非線性綜述摘要：隨著橋梁跨度的不斷增加，非線性因素對(duì)結(jié)構(gòu)的影響也越來越大。本文首先對(duì)三種非線性因素進(jìn)行了較為詳細(xì)的介紹，并且對(duì)斜拉橋、懸索橋和拱橋等受非線性影響較為明顯的三種橋梁進(jìn)行了非線性分析。文章的最后介紹了目前通用的七種有限元程序?qū)τ诜蔷€性問題的考慮程度。關(guān)鍵詞：大跨度橋梁、非線性、有限元分析引言橋梁(指懸索橋和斜拉橋)的幾何非線性源于四個(gè)方面：1、恒載初始內(nèi)力；2、 斜纜垂度效應(yīng)；3、梁一柱效應(yīng)；4、大變形效應(yīng)。普通的結(jié)構(gòu)計(jì)算位移和內(nèi)力時(shí)并不需要考慮自重的影響，但是對(duì)于這兩種橋梁，恒載作用下，在索中產(chǎn)生巨大的拉力，對(duì)結(jié)構(gòu)的整體剛度影響較大，從而對(duì)結(jié)構(gòu)的位移、內(nèi)力有影響，

2、解決方法是：在剛度矩陣中考慮幾何剛度項(xiàng)。單元初內(nèi)力對(duì)單元?jiǎng)偠染仃嚨挠绊憽Ｒ话闱闆r下是指單元軸力對(duì)彎曲剛度的影響，有時(shí)也考慮彎矩對(duì)軸向剛度的影響，常通過引入穩(wěn)定函數(shù)或單元幾何剛度矩陣的方法來考慮。在大跨徑橋梁結(jié)構(gòu)分析中遇到的初應(yīng)力（或初應(yīng)變）問題，就是結(jié)構(gòu)現(xiàn)有內(nèi)力引起的結(jié)構(gòu)剛度變化對(duì)本期荷載響應(yīng)的影響問題。1關(guān)于纜索的垂度效應(yīng)，它也是一種大變形效應(yīng)，目前，一般都采用厄恩斯特(Ernst)公式來修正單元的彈性模量，用一等效的桿單元來模擬斜纜索；也有采用多根直連桿或曲線單元來模擬，曲線單元精度較高，但較復(fù)雜。關(guān)于粱一柱效應(yīng)，較精確的方法是用穩(wěn)定函數(shù)法，它能考慮彎矩對(duì)軸力、軸力對(duì)彎矩、彎矩對(duì)扭轉(zhuǎn)、剪力

3、對(duì)軸力等影響。通常計(jì)人幾何剛度的方法是穩(wěn)定函數(shù)法的一階近似。關(guān)于大變形效應(yīng)，采用TL法或UL法。對(duì)橋梁的材料非線性動(dòng)力問題研究得較多，但是對(duì)幾何非線性的動(dòng)力問題研究得較少且不成熟。23目前，對(duì)于懸索橋、斜拉橋的幾何非線性動(dòng)力問題的處理。只限于恒載初始內(nèi)力和纜索垂度效應(yīng)，即考慮恒載產(chǎn)生的初始內(nèi)力對(duì)剛度項(xiàng)的修正后，其它仍按線性分析計(jì)算。這樣處理的原因在于：1、計(jì)算簡單，動(dòng)力問題的時(shí)程分析可以看作有限多個(gè)靜力問題的集合，如果每個(gè)靜力問題都按非線性處理，計(jì)算量將非常大；2、精度較好，恒載在結(jié)構(gòu)外荷載中所占比例較大，橋梁在恒載作用下，纜索已被拉緊，再產(chǎn)生大的變形可能性較小。但是，隨著跨度的增加，結(jié)構(gòu)柔性

4、的增大，這種近似的處理方法有可能出現(xiàn)問題。如在進(jìn)行懸索橋和斜拉橋的動(dòng)力特性分析時(shí)，懸索橋考慮其恒載初始內(nèi)力的影響，而斜拉橋則不考慮，但是當(dāng)斜拉橋跨度超過500m 時(shí)，若其主梁采用混凝土材料，結(jié)構(gòu)自重將在橋塔內(nèi)產(chǎn)生非常大的軸壓力，忽略其影響，將可能造成對(duì)結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算很重要的前幾階頻率產(chǎn)生較大的誤差。目前對(duì)于纜索非線性采用等效彈性模量法，隨著纜索長度的增大，誤差也會(huì)越來越大。另外，在時(shí)程分析中，忽略大變形的影響，將造成誤差累計(jì)，最終計(jì)算結(jié)果可能偏離很大。這些問題都需要進(jìn)一步研究。41. 橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性分析 橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性分析一般采用有限位移理論，在建立以桿系結(jié)構(gòu)有限位移理論為基礎(chǔ)的大跨徑橋

5、梁結(jié)構(gòu)幾何非線性分析平衡方程時(shí)，一般考慮以下三方面的幾何非線性效應(yīng)：（1）桿端初內(nèi)力對(duì)單元?jiǎng)偠染仃嚨挠绊憽Ｒ话闱闆r下是指單元軸力對(duì)彎曲剛度的影響，有時(shí)也考慮彎矩對(duì)軸向剛度的影響，常通過引入穩(wěn)定函數(shù)或單元幾何剛度矩陣的方法來考慮。結(jié)構(gòu)分析中的初應(yīng)力（或初應(yīng)變）問題，就是結(jié)構(gòu)現(xiàn)有內(nèi)力引起的剛度變化對(duì)本期荷載響應(yīng)的影響問題。（2）大位移對(duì)建立結(jié)構(gòu)平衡方程的影響。此問題有兩種考慮辦法，一是將參考坐標(biāo)選在未變形的結(jié)構(gòu)上，通過引入大位移單元?jiǎng)偠染仃噥砜紤]大位移問題，稱為T.L列式法；另一種是以將參考坐標(biāo)選在變形后的位置上，讓節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)跟隨結(jié)構(gòu)一起變化，從而使平衡方程直接建立在變形后的位置上，稱為U.L列式法

6、。（3）索垂度效應(yīng)對(duì)單元?jiǎng)偠鹊挠绊憽４藛栴}亦有兩種處理方法，一是引入Ernst公式，通過等效模量法來近似修正垂度效應(yīng)，而用桿單元近似模擬索類構(gòu)件；另一種是直接導(dǎo)出索單元切線剛度矩陣。22. 桿端初內(nèi)力對(duì)單元?jiǎng)偠染仃嚨挠绊憽?2.1 軸力對(duì)彎曲剛度的影響如圖所示壓桿的內(nèi)力和位移為正，其撓曲平衡微分方程為： （2-1）方程的解為： （2-2）引入邊界條件： （2-3）于是 （2-5） （2-6）如果軸力為拉力，則： （2-7）c和s為軸力影響下，桿端單位力矩引起的桿端角形變形，c為力矩作用端的角變形，s為另一端的角變形。最后，可導(dǎo)出有初軸力的桿單元?jiǎng)偠确匠虨椋?（2-8） （2-9）其中：是軸力的

7、函數(shù)，稱為穩(wěn)定函數(shù)，其值隨的變化而變化。以穩(wěn)定函數(shù)表達(dá)的剛度系數(shù)包含了軸力對(duì)彎曲剛度的影響，相當(dāng)于切線剛度陣中彈性剛度系數(shù)與幾何剛度系數(shù)之和。2.2 彎矩對(duì)軸向剛度的影響桿單元的彎曲將引起桿件計(jì)算長度（桿件兩端節(jié)點(diǎn)的距離）的改變，從而影響桿件的軸向剛度。在桿件微段上，彎曲引起的桿件軸線計(jì)算長度的改變量為： （2-10）在外力作用下，桿件總的縮短量為： （2-11） （2-12） （2-13） （2-14）將上面兩式代入積分公式中得到：（）當(dāng)（壓桿）時(shí)： （2-15）當(dāng)（拉桿）時(shí)：（2-16）3. 大位移對(duì)建立結(jié)構(gòu)平衡方程的影響25幾何非線性理論將平衡方程建立在結(jié)構(gòu)變形后的位置上。事實(shí)上，任何結(jié)

8、構(gòu)的平衡只有再起變形后的位置上滿足，材質(zhì)真實(shí)意義上平衡的。線性理論之所以能得以廣泛應(yīng)用，是因?yàn)橐话憬Y(jié)構(gòu)受力狀態(tài)不因變形而發(fā)生明顯改變，而有些問題則不然，以橋梁結(jié)構(gòu)為例，由于橋跨的長大化和柔性結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，橋梁在荷載作用下上部結(jié)構(gòu)的幾何位置變化顯著，從有限元的角度來說，結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)隨荷載的增量變化較大，各單元的長度、傾角等幾何特性也相應(yīng)產(chǎn)生較大的改變，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣成為幾何變形的函數(shù)，因此平衡方程F=K不再是線性關(guān)系，小變形假設(shè)中的疊加原理不再適用。解決方法是在計(jì)算應(yīng)力及反力時(shí)計(jì)入結(jié)構(gòu)位移的影響，即位移理論。平衡條件是根據(jù)變形后的幾何位置給出的，荷載與位移不再成線性關(guān)系，內(nèi)力與外荷載之間的正比關(guān)系也不

9、再存在，由于結(jié)構(gòu)大變位的存在產(chǎn)生了與荷載增量不成正比的附加應(yīng)力。大位移對(duì)建立平衡方程的影響。在這個(gè)問題上。目前流行的T.L列式法和U.L列式法各有不同的處理方法。前者將參考坐標(biāo)選在未變形的結(jié)構(gòu)上，通過引入大位移單元?jiǎng)偠染仃噥砜紤]大位移問題；后者將參考坐標(biāo)選在變形后的位置上，讓節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)跟隨結(jié)構(gòu)一起變化，從而使平衡方程直接建立在變形后的位置上。任何變形體在空間都占據(jù)一定的區(qū)域，構(gòu)成一定的形狀，這種幾何形狀簡稱為構(gòu)形。物體在問題求解開始的構(gòu)形稱為初始構(gòu)形，在任一瞬時(shí)的構(gòu)形稱為現(xiàn)時(shí)構(gòu)形，物體位移的改變叫運(yùn)動(dòng)。3.1 總體拉格朗日列式法在整個(gè)分析過程中，以t=0時(shí)的構(gòu)形作為參考，且參考位形保持不變，這種

10、列式稱為總體拉格朗日列式法。對(duì)于任意應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與幾何運(yùn)動(dòng)方程，桿系單元的平衡方程可由虛功原理推導(dǎo)得到： (3-1)式中：單元的應(yīng)力向量；單元桿端力向量；單元體積分域，對(duì)T.L列式，是變形前的單元體積域；應(yīng)變矩陣，是單元應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系矩陣，即： (3-2)桿端位移向量。在有限位移情況下是位移的函數(shù)。后面將看到，矩陣可分解為與桿端位移無關(guān)的部分和與桿端位移有關(guān)的部分兩部分，即： (3-3)直接按式(3-1)建立單元?jiǎng)偠确匠滩⒔⒔Y(jié)構(gòu)有限元列式，稱為全量列式法。在幾何非線性分析中，按全量列式法得到的單元?jiǎng)偠汝嚭徒Y(jié)構(gòu)剛度陣往往是非對(duì)稱的，對(duì)求解不利，因此多采用增量列式法。將(3-1)寫成微分形

11、式： (3-4)或 (3-5)根據(jù)式(11-3)和(11-5)等式左邊第一項(xiàng)可寫成： (3-6)另一方面，單元的應(yīng)力、應(yīng)變?cè)隽筷P(guān)系可表示成： (3-7)式中：彈性矩陣。當(dāng)材料滿足線彈性時(shí)： (3-8)式中：單元初應(yīng)變向量；單元初應(yīng)力向量。將式(3-2)、(3-3)帶入(3-7)得： (3-9)于是，式(3-5)左邊第二項(xiàng)可表示為：(3-10)記： (3-11) (3-12)則式(3-5)最后可表達(dá)為： (3-13)式(3-13)就是增量形式T.L列式的單元平衡方程。式中是三個(gè)剛度陣之和，稱為單元切線剛度矩陣，它表示荷載增量的位移增量之間的關(guān)系，也可以理解為單元在特定應(yīng)力、變形下的瞬時(shí)剛度與單元

12、節(jié)點(diǎn)位移無關(guān)，是單元彈性剛度矩陣。稱為單元初位移剛度矩陣，或單元大位移剛度矩陣。是由大位移引起的結(jié)構(gòu)剛度變化，是的函數(shù)。稱為初應(yīng)力剛度矩陣，它表示初應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的影響。當(dāng)應(yīng)力為壓應(yīng)力時(shí)，單元切線剛度減小，反之單元切線剛度增加。將各單元節(jié)線剛度方程按節(jié)點(diǎn)力平衡條件組集成結(jié)構(gòu)增量剛度方程，即有： (3-14)式中：結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣，可以由單元切線剛度矩陣按常規(guī)方法進(jìn)行組集形成；荷載增量。由于荷載增量一般取為有限值而不可能取成微分形式，結(jié)構(gòu)在求得的位移狀態(tài)下，抗力與總外荷載之間有一定差量，即失衡力，結(jié)構(gòu)必須產(chǎn)生相對(duì)位移以改變結(jié)構(gòu)的抗力來消除這個(gè)失衡力。在計(jì)算中，一般通過迭代法來求解。3.2 更新的

13、拉格朗日列式法(U.L列式)在建立時(shí)刻物體平衡方程時(shí)，如果我們選擇的參照構(gòu)形不是未變形狀態(tài)t=0時(shí)的構(gòu)形，而是最后一個(gè)已知平衡，即以本增量步起時(shí)的t時(shí)刻構(gòu)形為參照構(gòu)形，這種列式法稱為更新的拉格朗日列式法(U.L列式)由于采用了U.L列式，平衡方程式(11-5)的積分需在t時(shí)刻單元體積內(nèi)進(jìn)行，且的積分式是的一階或二階小量，因此，代表的積分式可以略去。這是U.L列式與T.L列式的一個(gè)重要區(qū)別。最后增量形式的U.L列式結(jié)構(gòu)平衡方程可寫成： (3-15) 3.3 T.L列式與U.L列式的異同即適用范圍T.L列式與U.L列式是不同學(xué)派用不同的簡化方程及理論導(dǎo)出的不同方法，但是它們?cè)谙嗤暮奢d增量步內(nèi)其線

14、性化的切線剛度矩陣應(yīng)該相同，這一點(diǎn)已的到多個(gè)實(shí)際例題的證明。T.L列式與U.L列式的不同點(diǎn)表11-2給出。T.L列式與U.L列式的不同 表3-1比較內(nèi)容更T.L列式U.L列式注意點(diǎn)計(jì)算剛度的積分域在初始構(gòu)形的體積域內(nèi)進(jìn)行在變形后的t時(shí)刻體積域內(nèi)進(jìn)行U.L列式必須保留各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值精度保留了剛度矩陣中所有線性與非線性忽略了高階非線性項(xiàng)U.L列式的荷載增量不能過大單剛組集成總剛用初始時(shí)刻各單元結(jié)構(gòu)總體坐標(biāo)系中的方向余弦形成轉(zhuǎn)換陣，計(jì)算過程中不變用變形后t時(shí)刻單元在結(jié)構(gòu)總體坐標(biāo)中的方向余弦形成轉(zhuǎn)換陣，計(jì)算過程中不斷改變U.L列式中組集荷載向量也必須注意方向余弦的改變本構(gòu)關(guān)系的處理在大應(yīng)變是，非線性本構(gòu)

15、關(guān)系不易引入比較容易引入大應(yīng)變非線性本構(gòu)關(guān)系U.L列式方法更適合于混凝土徐變分析從理論上講，這兩種方法都可以用于各種幾何非線性分析，但通過表11-2的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，T.L列式適合用于大位移、中等轉(zhuǎn)角和小應(yīng)變的幾何非線性問題，而U.L列式除了適應(yīng)于上述問題外，還適用于非線性大應(yīng)變分析、彈塑性徐變分析，可以追蹤變形過程的應(yīng)力變化。目前，國內(nèi)使用的橋梁非線性分析程序，一般都采用U.L列式方法。4. 垂度效應(yīng)2在大跨徑的橋梁中，一般是斜拉橋和懸索橋，由于斜拉索或纜索較長，索自重產(chǎn)生的垂度較大，索的伸長量與索內(nèi)拉力不成正比關(guān)系，造成了大跨度橋梁的幾何非線性影響。索兩端的相對(duì)運(yùn)動(dòng)受到索本身三個(gè)因素的影響：

16、（1）索受力后發(fā)生的彈性應(yīng)變受索材料的彈性模量控制。（2）索的垂度變化與材料應(yīng)力無關(guān)，完全是幾何變化的結(jié)果，受索內(nèi)張力、索的長度和重力控制?？估瓌偠入S軸力的變化而變化，索的拉力若為零或受壓，則抗拉剛度變?yōu)榱?。垂度變化與索的拉力不是線性關(guān)系。（3）在荷載作用下，索中各股鋼絲作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，重新排列的結(jié)果使橫截面更為緊密。這種變形引起的伸長叫構(gòu)造伸長，大部分是永久持續(xù)的，它發(fā)生在一定的張力以下，所以，可在纜索的制作過程中，采用預(yù)張拉的辦法予以消除。而非永久性的伸長可以通過折減的有效彈性模量Eeff來考慮，Eeff是獨(dú)立于索內(nèi)張力的量。在分析斜拉橋的垂度效應(yīng)引起的非線性影響中，考慮斜拉索非線性變化的簡便

17、方法是把它視為與它的弦長等長度的桁架直桿，如下圖4-1所示。其等效彈性模量包括材料變形、構(gòu)造伸長和垂度變化三個(gè)因素的影響，其表達(dá)式稱為Ernst公式。即： （4-1）圖4-1 斜拉索式中：Eeff為包括鋼束壓密影響在內(nèi)的有效彈性模量； W單位長度斜拉索的重里； L索的水平投影長度； A索的橫截面面積； F索內(nèi)的張力。經(jīng)過這樣處理后，斜拉索的單元?jiǎng)偠染仃嚭推矫鏃U件系統(tǒng)的單元?jiǎng)偠染仃嚮疽恢拢ㄐ崩鲉卧捎玫氖堑刃椖EQ，長度則取為Lc。對(duì)于懸索橋，以上三種因素中，第三項(xiàng)構(gòu)造伸長可以在纜索制造安裝時(shí)采用預(yù)先超張拉方法來消除而不予考慮，主要要考慮的是自重垂度變化的影響。如同在斜拉橋分析中一樣，

18、處理這一非線性影響的簡便方法就是對(duì)纜索材料的彈性模量進(jìn)行修正，將非線性的自重垂度影響問題轉(zhuǎn)化成線性問題來分析。用桿單元近似模擬索類構(gòu)件有索垂度引起的單元?jiǎng)偠茸兓?，也可以通過倒出索元切線剛度矩陣，用索單元直接描述索類構(gòu)件。斜拉橋的斜拉索、懸索橋的主纜、施工中用的纜風(fēng)和扣索等都可抽象成柔索。柔索的特點(diǎn)是抗彎剛度小，索的自重對(duì)結(jié)構(gòu)平衡影響不可忽略，用拉桿模擬柔索會(huì)引起誤差，因此，有必要建立柔索單元?jiǎng)偠染仃?。為討論方便，且不影響?jì)算精度，作如下假定：（1）柔索僅能承受張力而不承受彎曲內(nèi)力（抗彎剛度為0）；（2）柔索僅受索端集中力和沿所長均勻分布的荷載作用，荷載合力效應(yīng)力為q;（3）柔索材料符合虎克定律

19、；（4）局部坐標(biāo)系取在柔索荷載合力平面內(nèi)?？疾煜聢D中所示柔索，無應(yīng)力索長為S0，索的荷載集度q向下為正。圖4-2 柔索單元上圖中參變量之間有如下關(guān)系： （4-2）易導(dǎo)得各力素與幾何變量之間的關(guān)系如下： （4-3）對(duì)式（4-3）取全微分有： （4-4）于是，i端力和位移的增量關(guān)系可寫成： （4-5）j端力和位移的增量關(guān)系可寫成： （4-5）式中： （4-6） （4-7）將式（4-1）（4-7）合并整理后寫成矩陣形式： （4-8）式中： （4-9） （4-10）其中： （4-11）式（4-8）即為柔索單元切線剛度方程，在索端平衡力已知的情況下，可直接計(jì)算柔索切線剛度矩陣。在索端平衡力未知的情況下，

20、首先按單根柔索計(jì)算索端力，求解時(shí)先初估一個(gè)Fxi和Fyi，若式（4-3）自然滿足，初估值即為真實(shí)值；否則，設(shè)估算值使式（4-3）產(chǎn)生的誤差為： （4-12）式中：l0由估算的Fxi和Fyi計(jì)算出的柔索水平投影長； h0由估算的Fxi和Fyi計(jì)算出的柔索垂直投影長； 下一次計(jì)算希望通過和的修正，使誤差趨于零，即： （4-13）將式（4-4）代入式（4-13）易得: （4-14）用，修正和，再按照?qǐng)D4-3所示的流程迭代，就可以在已知l,h,q,E,A,S0的情況下，求出所有索端力。最后，計(jì)算切線剛度陣流程見圖4-4。 用直桿代替柔索計(jì)算是常用的近似方法，柔索的垂度效應(yīng)可用Ernst公式對(duì)彈性模量進(jìn)

21、行修正，這種方法在小位移、高應(yīng)力水平下，具有較高精度。但如果索工作在大位移狀態(tài)或應(yīng)力水平不高的情況下，就會(huì)出現(xiàn)很大的誤差，因此，采用近似方法計(jì)算時(shí)需謹(jǐn)慎。進(jìn)入輸入已知量坐標(biāo)允許誤差計(jì)算l，h 初估Fxi，F(xiàn)yi計(jì)算l0，h0計(jì)算ex，ey計(jì)算Ai，Bi，C，修正Fxi，F(xiàn)yi計(jì)算各索端節(jié)點(diǎn)力計(jì)算索有應(yīng)力索長帶出Ai，Bi，C及索端力、索長返回YN圖4-3 求索端力的計(jì)算流程帶入基本參數(shù)計(jì)算Ai，Bi，C計(jì)算kij迭代計(jì)算索端力索端力已知否？開始結(jié)束NY圖4-4 柔索單元切線剛度矩陣計(jì)算流程5. 斜拉橋、懸索橋、拱橋等大跨度橋梁的非線性分析6165.1 斜拉橋斜拉橋主要組成部分是主梁、斜拉索及索

22、塔。因此其結(jié)構(gòu)形式也主要是以這三部分的布置為標(biāo)推來劃分。按主梁所用的材料來劃分，斜拉橋可分為:鋼斜拉橋，混凝土斜拉橋、結(jié)合梁（疊合梁）斜拉橋、混合梁斜拉橋。按照斜拉索組成的平面的多少，通常分為單索面和雙索面；按索的形狀可分為放射形、扇形和豎琴形。在密索體系的前提下，按塔、梁和墩的相互連接方式，可分為塔墩固結(jié)、塔梁固結(jié)、塔梁墩固結(jié)和漂浮體系。斜拉橋的結(jié)構(gòu)分析與傳統(tǒng)的連續(xù)梁和桁架橋的結(jié)構(gòu)分析相比較，幾何非線性的影響尤為突出，影響因素也多。特別是大跨徑的斜拉橋，由于斜拉索較長，索自重產(chǎn)生的垂度較大，索的伸長量與索內(nèi)拉力不成正比關(guān)系。整個(gè)結(jié)構(gòu)的幾何變形也大，大變形問題很突出，加上彎矩和軸向力的相互作用

23、等影響因素，使得大跨徑斜拉橋的幾何非線性分析顯得較為復(fù)雜。斜拉橋幾何非線性影響因素概括為三個(gè)效應(yīng)，在前面的章節(jié)里已經(jīng)詳細(xì)介紹。斜拉橋非線性簡化分析程序斜拉橋非線性簡化分析程序NACSB全面考慮了他的三個(gè)主要的幾何非線性因素，即斜拉索的垂度效應(yīng)、結(jié)構(gòu)大變形效應(yīng)及彎矩和軸向力的組合效應(yīng)，可以對(duì)單索面斜拉橋體系在恒載、斜拉索初始拉力、集中荷載和分布荷載等的作用下進(jìn)行內(nèi)力分析，計(jì)算出結(jié)點(diǎn)位移、桿端力、斜拉索最終拉力、穩(wěn)定性函數(shù)和支反力。非線性的處理方法采用混合法，即在每次迭代循環(huán)中，不平衡荷載均以增量的形式逐級(jí)加上去，而每次加載后都要根據(jù)桿端力和結(jié)點(diǎn)位移的變化對(duì)結(jié)構(gòu)剛度矩陣進(jìn)行修正，直到不平衡荷載小于

24、某個(gè)限值時(shí)終止迭代。1. 計(jì)算圖示與假定圖5-1所示為一座典型的單索面斜拉橋的計(jì)算簡圖。對(duì)斜拉橋結(jié)構(gòu)構(gòu)造與構(gòu)件連接形式作如下假定：圖5-1 單索面斜拉橋的計(jì)算簡圖（1） 索塔與橋墩采取固結(jié)或鉸接形式連接；（2） 主梁在全橋長度內(nèi)連續(xù)；（3） 斜拉索直接錨固在索塔上而不是在塔上連續(xù)通過索鞍；（4） 在邊跨的端支點(diǎn)設(shè)置拉力支座。2. 程序NACSB結(jié)構(gòu)框圖根據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化原理編制的程序NACSB的結(jié)構(gòu)框圖見圖5-2。開始第一次不平衡荷載WUNBL計(jì)算不平衡荷載增量計(jì)算形成結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣引入約束條件求解該荷載增量后結(jié)點(diǎn)位移修正結(jié)構(gòu)幾何位置計(jì)算該荷載增量后相應(yīng)幾何位置下的桿端力修正斜索等效彈性模量計(jì)算穩(wěn)

25、定性函數(shù)計(jì)算支反力結(jié)束輸入荷載增量是否已經(jīng)完成不平衡荷載是否大于允許值輸出迭代數(shù)加1YYNN圖 5-2 NACSB結(jié)構(gòu)框圖5.2 懸索橋懸索橋的承重結(jié)構(gòu)主要為主纜、塔橋及錨碇構(gòu)成的大纜系統(tǒng), 其次為加勁梁, 吊索用來連接主纜和加勁梁. 主纜為幾何可變體系, 主要靠其自重及恒載產(chǎn)生的初始拉力以及改變幾何形狀來獲得結(jié)構(gòu)剛度, 以抵抗荷載產(chǎn)生的變形, 纜索受力呈明顯的幾何非線性性質(zhì). 目前對(duì)于大跨懸索橋,通用的計(jì)算方法是以有限位移理論為基礎(chǔ)的幾何非線性有限元法. 關(guān)于纜索的單元有桿單元、曲線單元、懸鏈線單元及拋物線單元. 但由于主纜取很多個(gè)單元, 若采用鉸接的纜索單元, 則整個(gè)結(jié)構(gòu)成為幾何可變體系,

26、 無法求解。12關(guān)于懸索橋的分析理論, 主要有不計(jì)幾何非線性影響的線彈性理論, 以及恒載初內(nèi)力和結(jié)構(gòu)豎向位移影響的撓度理論和充分考慮各種非線性影響的有限位移理論。有限位移理論是目前懸索橋結(jié)構(gòu)分析中, 理論上最嚴(yán)密精確和適用性好的、較為完善的理論。在采用有限位移理論對(duì)懸索橋進(jìn)行空間分析時(shí), 一般將懸索橋結(jié)構(gòu)離散為空間桿單元、索單元和梁單元, 并常用能量法推導(dǎo)單元切線剛度矩陣。然而能量法在應(yīng)變與位移的函數(shù)式中通常忽略了位移二次以上的高階項(xiàng), 使精度受到一定影響。10現(xiàn)在常采用反映桿單元初始狀態(tài)變至任意狀態(tài)下桿端力與桿件張力間關(guān)系的狀態(tài)平衡方程, 在整體坐標(biāo)系下直接推導(dǎo)出空間桿單元切線剛度矩陣的精確

27、表達(dá)式。在Oran等人研究的基礎(chǔ)上通過引人空間梁柱理論, 建立了空間梁單元切線剛度矩陣的精確表達(dá)式；把桿單元切線剛度矩陣中彈性模量用著名的Ernst公式修正后即得到索單元的切線剛度矩陣。有限位移理論可以較全面的考慮結(jié)構(gòu)位移引起憊索橋幾何非線性的影響，不僅包含了撓度理論的假設(shè)，而且考慮了值級(jí)初始內(nèi)力對(duì)主纜剛度的形響，使計(jì)算結(jié)果更接近結(jié)構(gòu)實(shí)際受力，并可以采用計(jì)算機(jī)進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算。其主要影響因素有：11恒載作用下的結(jié)構(gòu)位移、恒載作用初始內(nèi)力下的結(jié)構(gòu)位移、恒載初始內(nèi)力對(duì)主纜剛度的影響。其基本假定為：(1)主纜的無應(yīng)力長度不變；(2)保持索塔在成橋狀態(tài)下不承受不平衡水平力；(3)主纜在索鞍的永不脫離點(diǎn)之間

28、及錨錠處的主纜錨固點(diǎn)間的無應(yīng)力長度保持不變；(4)任何時(shí)候結(jié)構(gòu)的任何位置保持平衡狀態(tài)；(5)主纜為完全柔性的，既不受壓力也不受有矩，因而其截面抗有剛度對(duì)纜形的影響可以忽略；(6)主纜的全部應(yīng)力在比例極限以內(nèi)，符合虎克定律；(7)考慮主纜受拉會(huì)伸長，截面面積會(huì)縮小，受力前后的單位體積質(zhì)量會(huì)發(fā)生變化等因素；(8)考慮主纜的幾何非續(xù)性?；诰仃囄灰品ǖ挠邢尬灰评碚摳苓m應(yīng)解決友雜結(jié)構(gòu)的受力分析，它不僅收斂迅速和分析嚴(yán)謹(jǐn)，并且特別適合子電算。有限位移理論較全面地考慮了荷載作用下的結(jié)構(gòu)大位移、纜索自重垂度的形響及恒載初始內(nèi)力對(duì)主統(tǒng)剛度的形響，因而計(jì)算結(jié)果精度更高。從有限位移理論的角度來分析，引起懸索橋結(jié)

29、構(gòu)幾何非線性的因素主要有3 個(gè)：第一, 纜索在初始恒載作用下具有較大的初張力，使索橋維持一定的幾何形狀。當(dāng)作用外荷載時(shí)，索梁發(fā)生變形，初張力對(duì)后續(xù)狀態(tài)的變形存在抗力，這種來自恒載自重的剛度稱為重力剛度。第二,由于懸索橋主梁和纜索相對(duì)纖細(xì)，引起整個(gè)結(jié)構(gòu)在外荷載作用下產(chǎn)生較大變形。在進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時(shí)，力的平衡方程應(yīng)根據(jù)變形后結(jié)構(gòu)的實(shí)際幾何位置來建立，力與位移的關(guān)系是非線性的。第三，纜索在自重作用下具有一定垂度，垂度大小與張力成反比。若用兩力桿模擬纜索單元時(shí)，應(yīng)計(jì)入垂度的非線性影響。在結(jié)構(gòu)分析時(shí), 任何微小的應(yīng)變都可能會(huì)引起索單元較大的內(nèi)力和位移，大變形的發(fā)生改變了單元的形狀, 最終導(dǎo)致了單元?jiǎng)偠鹊母?/p>

30、變，但這種特性是有利于結(jié)構(gòu)受力的，因?yàn)榘l(fā)生的幾何大變位可使結(jié)構(gòu)自動(dòng)調(diào)整內(nèi)力分布, 從而改善結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)，提高結(jié)構(gòu)的承載能力。同時(shí), 結(jié)構(gòu)的面外剛度可能受到結(jié)構(gòu)中面內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的嚴(yán)重影響。非線性有限元方程求解1. 有限元分析的一般過程基于saafan 法的懸索橋有限元理論，是屬于幾何非線性的大位移小應(yīng)變問題。其一般可分為一下幾步：結(jié)構(gòu)離散化，輸入或生成有限元網(wǎng)格計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃囆纬煽倓偠染仃囆纬山Y(jié)點(diǎn)荷載向量引入約束條件求解方程組輸入結(jié)點(diǎn)位移計(jì)算輸出單元的應(yīng)力圖5-3（1） 建立計(jì)算模型將結(jié)構(gòu)離散化為有限個(gè)單元體。對(duì)于單跨懸索橋，通?？勺魅鐖D5-5單元?jiǎng)澐?。中跨主纜可以吊桿結(jié)點(diǎn)為離散點(diǎn)，用等效直桿

31、模擬。邊跨主纜如長度較大也可以用等效多直桿來模擬。加勁梁、索塔等可用多段梁單元模擬。在實(shí)際有限元處理上，為模擬懸索結(jié)構(gòu)的幾何可變性而不致使矩陣畸形，通?？蓪?duì)主索及吊桿賦一些較小的慣性矩，如取。圖 5-4（2） 選擇位移模式為使位移模式能夠反映結(jié)構(gòu)的實(shí)際變形而不致使計(jì)算過于復(fù)雜，對(duì)上述劃分的單元形式，通?？扇≥S向位移為x的線性函數(shù)；橫向位移（撓度）可取x的三次多項(xiàng)式，即取一般可滿足精度要求。（3） 計(jì)算等效結(jié)點(diǎn)力將作用于單元上的實(shí)際荷載，按照虛功相等的原則移至到結(jié)點(diǎn)上去以方便運(yùn)算。（4） 確定單元?jiǎng)偠染仃嚕?） 建立結(jié)構(gòu)平衡方程通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將各單元的剛度矩陣及結(jié)點(diǎn)力轉(zhuǎn)換到結(jié)構(gòu)總體坐標(biāo)下，然后按

32、照所有相鄰單元在公共結(jié)點(diǎn)處位移相等的原則，將各單元?jiǎng)偠染仃?、單元結(jié)點(diǎn)力等組裝成結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣荷載陣列，建立結(jié)構(gòu)平衡方程。（6） 求解結(jié)構(gòu)平衡方程與一般線性問題的有限元方程不同，非線性有限元方程的結(jié)構(gòu)剛度矩陣是所求未知位移的函數(shù)，無法直接求解，而只能通過逐步逼近的方法如增量法、迭代法或混合求解法。（7） 計(jì)算桿件內(nèi)力及結(jié)構(gòu)反力在求出結(jié)點(diǎn)位移后，即可計(jì)算出各單元的內(nèi)力約束處的結(jié)構(gòu)反力，完成計(jì)算內(nèi)容。5.3 拱橋基本假定，為分析方便，在建立拱的平衡方程時(shí)作如下假定：（1）拱圈截面變形仍按平面變形考慮，截面法線方向與切線方向的夾角在變形前后保持不變，且拱圈截面變形仍符合虎克定理。（2）彈性中心在變形

33、前后的位置不變，即將拱軸變形引起的彈性中心位置的改變量忽略不計(jì)。作以上假定主要是使問題的分析簡化，以突出闡明拱腳推力與拱圈撓度相互作用的非線性關(guān)系。假定(1)符合拱橋的基本工作狀態(tài)，如果要進(jìn)一步計(jì)入拱圈材料的非彈性性質(zhì)，則只要由此求出拱圈的非彈性變形，按照本章所述原則仍可據(jù)以推求拱腳推力與拱圈撓度的相互作用關(guān)系。假定(2)忽略了拱軸變形引起了的彈性中心位置的改變，因?yàn)榉治霰砻鞔隧?xiàng)改變是相當(dāng)微小的，將其忽略后不但簡化了分析計(jì)算，而且便于與傳統(tǒng)方法比較，也為具體設(shè)計(jì)帶來方便。6. 六種通用有限元程序的介紹17目前流行的CAE分析軟件主要有LS-DYNA、DYTRAN、ABAQUS、ADINA 、N

34、ASTRAN、ANSYS、ALGOR、COSMOS等。以下為對(duì)這些常用的軟件進(jìn)行的比較：（1） LSTC公司的LS-DYNA系列軟件    LSDYNA長于沖擊、接觸等非線性動(dòng)力分析。LS-DYNA是一個(gè)通用顯式非線性動(dòng)力分析有限元程序，最初是1976年在美國勞倫斯利弗莫爾國家實(shí)驗(yàn)室(Lawrence Livermore National Lab.)由 主持開發(fā)完成的，主要目的是為核武器的彈頭設(shè)計(jì)提供分析工具，后經(jīng)多次擴(kuò)充和改進(jìn)，計(jì)算功能更為強(qiáng)大。雖然該軟件聲稱可以求解各種三維非線性結(jié)構(gòu)的高速碰撞、爆炸和金屬成型等接觸非線性、沖擊載荷非線性和材料非線性問題，但實(shí)際上它在爆炸

35、沖擊方面，功能相對(duì)較弱，其歐拉混合單元中目前最多只能容許三種物質(zhì)，邊界處理很粗糙，在拉格朗日歐拉結(jié)合方面不如DYTRAN靈活。（2）MSC.software公司的DYTRAN軟件在同類軟件中，DYTRAN在高度非線性、流固耦合方面有獨(dú)特之處。MSC.DYTRAN程序是在LS-DYNA3D的框架下，在程序中增加荷蘭PISCES INTERNATIONAL公司開發(fā)的PICSES的高級(jí)流體動(dòng)力學(xué)和流體結(jié)構(gòu)相互作用功能，還在PISCES的歐拉模式算法基礎(chǔ)上，開發(fā)了物質(zhì)流動(dòng)算法和流固耦合算法發(fā)展而來的。但是，由于MSC.DYTRAN是一個(gè)混合物，在繼承了LS-DYNA3D與PISCES

36、優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，也繼承了其不足。首先，材料模型不豐富，對(duì)于巖土類處理尤其差，雖然提供了用戶材料模型接口，但由于程序本身的缺陷，難于將反映材料特性的模型加上去；其次，沒有二維計(jì)算功能，軸對(duì)稱問題也只能按三維問題處理，使計(jì)算量大幅度增加；在處理沖擊問題的接觸算法上遠(yuǎn)不如當(dāng)前版的LS-DYNA3D全面。（3） HKS公司的ABAQUS軟件 ABAQUS是一套先進(jìn)的通用有限元系統(tǒng)，屬于高端CAE軟件。它長于非線性有限元分析，可以分析復(fù)雜的固體力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)系統(tǒng)，特別是能夠駕馭非常龐大的復(fù)雜問題和模擬高度非線性問題。ABAQUS不但可以做單一零件的力學(xué)和多物理場的分析，同時(shí)還可以做系統(tǒng)級(jí)的分析和研究，其系統(tǒng)

37、級(jí)分析的特點(diǎn)相對(duì)于其他分析軟件來說是獨(dú)一無二的。需要指出的是，ABAQUS對(duì)爆炸與沖擊過程的模擬相對(duì)不如DYTRAN和LS-DYNA3D。（4）ADINAADINA是近年來發(fā)展最快的有限元軟件，它獨(dú)創(chuàng)有許多特殊解法, 如勁度穩(wěn)定法(Stiffness Stabilization),自動(dòng)步進(jìn)法(Automatic Time Stepping),外力-變位同步控制法(Load-Displacement Control)以及BFGS梯度矩陣更新法,使得復(fù)雜的非線性問題(如接觸,塑性及破壞等), 具有快速且?guī)缀踅^對(duì)收斂的特性, 且程式具有穩(wěn)定的自動(dòng)參數(shù)計(jì)算,用戶無需頭痛于調(diào)整各項(xiàng)參數(shù)。另外值得一提的就

38、是它有源代碼，我們可以對(duì)程序進(jìn)行改造，滿足特殊的需求。（5）NASTRANNASTRAN是大型通用結(jié)構(gòu)有限元分析軟件，也是全球CAE工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的原代碼程序。NASTRAN系統(tǒng)長于線性有限元分析和動(dòng)力計(jì)算，因?yàn)楹蚇ASA(美國國家宇航局)的特殊關(guān)系，它在航空航天領(lǐng)域有著崇高的地位。NASTRAN的求解器效率比ANSYS高一些。NX NASTRAN對(duì)于大位移、大應(yīng)變等幾何非線性問題、高度材料問題以及邊界非線性問題都有可靠高效的算法。無論是在靜態(tài)方面還是動(dòng)態(tài)分析方面都能進(jìn)行求解。NX NASTRAN集成了著名的ADINA求解技術(shù)，提供了豐富的接觸算法以及領(lǐng)先的接觸求解技術(shù)，能夠更加精確地模擬各種接觸效

39、應(yīng)。NX NASTRAN提供了豐富的材料模型庫，對(duì)于超彈性、粘彈性、熱彈性、率相關(guān)塑性、彈塑性以及橡膠材料、墊圈材料、復(fù)合材料、蠕變材料都有相應(yīng)的解決，可以考慮塑性、Von Mises屈服準(zhǔn)則、Tresca屈服準(zhǔn)則、Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則、隨動(dòng)硬化、Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則、各向同性硬化等。在接觸分析時(shí)NX NASTRAN可考慮摩擦效應(yīng)，擁有十多種摩擦模型可供選擇，顯示求解和隱式求解分別有多種高效的接觸算法，支持接觸分離、摩擦和滑移邊界。此外，還以可通過定義三維滑移線類型以及gap單元接觸，模擬縫隙的打開與閉合。NX NASTRAN非線性分析提供豐富的迭代和運(yùn)算控制算法，如N-R法、改進(jìn)Newton法、弧長法、Newton-弧長混合法、兩點(diǎn)積分法、Newmark 法以及自動(dòng)時(shí)間調(diào)整功能，與尺寸無關(guān)的判別準(zhǔn)則可自動(dòng)調(diào)整非平衡力、位移和能量增量，可自動(dòng)完成全剛度矩陣更新或Quasi-Newton更新，使用線性搜索或自動(dòng)二分載荷增量，大大提高計(jì)算效率。NX NASTRAN可以確定屈曲和后屈曲屬性，對(duì)于屈曲問題，可以同時(shí)考慮材料和幾何非線性；對(duì)于后屈曲問題，NX NASTRAN提供三種弧長法的自適應(yīng)混合使用，包括Crisfield 法、Riks法及改進(jìn)的