數(shù)學(xué)廣角 (5)

1、8、 數(shù)學(xué)廣角 長嶺縣龍鳳小學(xué)：徐國蘭 教學(xué)目標(biāo)1知識與技能：理解并掌握在直路上植樹的棵數(shù)和間隔之間的關(guān)系，會利用這個(gè)關(guān)系解答直路上的植樹問題。2過程與方法：通過小組合作、交流，探索植樹問題中直路上植樹的棵數(shù)和間隔之間的關(guān)系。使學(xué)生經(jīng)歷探索規(guī)律的全過程。進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律解決問題的能力。3情感、態(tài)度與價(jià)值觀：感受數(shù)學(xué)在日常生活中的廣泛應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)利用棵數(shù)與間隔的關(guān)系解決實(shí)際問題。課前準(zhǔn)備課件、棋子、學(xué)具。一、導(dǎo)入課題師：同學(xué)們，請看大屏幕，今天咱們要研究的是？（板書課題）生：植樹問題。師：在研究這個(gè)問題之前，老師有個(gè)小問題想請你們解決，愿意嗎？生：愿意二、自主探究，

2、合作交流發(fā)現(xiàn)規(guī)律師：請看，（課件出示題目）會解決的同學(xué)請向老師揮揮手。生：揮手示意。師：都會解決呀，一起說吧。生：回答。師：老師想問你們，（手指）這些點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)表示什么意思，或者說它起到什么作用呢？生：（一個(gè)對著一個(gè)）師：老師還想問你們，在什么時(shí)候見過這樣的題目呢？生：（一年級）師：那這個(gè)題目對于我們同學(xué)來說實(shí)在是太簡單了，對吧？生：（對）師：聲音可真響亮。不過，題目雖然簡單，可它里面蘊(yùn)含一個(gè)對一個(gè)的數(shù)學(xué)思想可不簡單，在數(shù)學(xué)上它能幫我們解決許多問題呢。2、深入體會“一一對應(yīng)”思想（1）間隔師：請看大屏幕，同學(xué)們在學(xué)校操場邊種了5棵樹，排成一行，為了美化校園環(huán)境，同學(xué)們又想在每相鄰的兩棵樹之間擺一盆

3、花，（你是怎樣擺的 ？） ，一共擺了多少盆花？ 請你畫一畫（自主探究，交流展示）紅色方案 兩端都種生1：（畫圖）一共有5棵樹，就有4個(gè)“空”，所以擺了4盆花。師：這個(gè)“空”，數(shù)學(xué)上稱為“間隔”。用畫圖的方法很容易看出5棵樹之間有4個(gè)間隔，要在每個(gè)間隔處擺一盆花，知道了間隔數(shù)，就知道了花的盆數(shù)。舉例師：假如有100棵樹排成一行，還是這樣，每相鄰兩棵樹之間擺一盆花，頭和尾都不放花，一共擺了多少盆花呢？生獨(dú)立思考，全班交流。 生2：100棵樹排成一行，就有99個(gè)間隔，所以能擺99盆花。生3：5棵樹有4個(gè)間隔，所以，100棵樹就有99個(gè)間隔。師：這是一種合理的推想，有道理。還有別的方法嗎？Ø

4、 生4：你看，從頭開始，一棵樹一盆花，一棵樹一盆花，最后這棵樹很孤單，后面沒有了花盆，所以花的盆數(shù)比樹的棵數(shù)少1，一共可以放99盆花。師：聽懂他的意思了嗎？生：聽懂了。師：盡管數(shù)變大了，我們還可以用畫圖的方法來分析問題（出示圖）。可以像生3那樣思考問題：從頭開始，一棵樹對應(yīng)一盆花，一棵樹對應(yīng)一盆花，最后這棵樹很孤單，沒有花盆和它對應(yīng)，所以花盆數(shù)比樹的棵數(shù)少1，一共可以放99盆花。這種方法好不好？借助圖示用“一一對應(yīng)”的方法說明：間隔數(shù)比樹的棵數(shù)少1。生：好師：數(shù)學(xué)上把這種方法稱為“一一對應(yīng)”（板書：一一對應(yīng)）。我們借助于畫圖和“一一對應(yīng)”的方法，就容易找到樹的棵數(shù)與花盆數(shù)之間的關(guān)系。黃色方案

5、兩端都不種生1：（畫圖）一共有5棵樹，就有6個(gè)“空”，所以擺了6盆花。師：這個(gè)“空”，數(shù)學(xué)上稱為“間隔”。用畫圖的方法很容易看出5棵樹有6個(gè)間隔，要在每個(gè)間隔處擺一盆花，知道了間隔數(shù)，就知道了花的盆數(shù)。舉例師：假如還是這100棵樹，每相鄰兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都放花，一共可以放多少盆花呢？學(xué)生獨(dú)立思考，師生交流。師：放了多少盆花？生（齊）：101盆。師：說說你是怎么想的？生1：剛才“頭和尾都不放花”時(shí)，可以放99盆，現(xiàn)在頭和尾多了2盆花，用99+2=101，所以放了101盆花。師：他聯(lián)系了上題的結(jié)果，比較兩題放法的不同，得出101盆，是個(gè)很好的辦法。還有別的想法嗎？生2：我是這樣想的，開頭

6、是花盆，結(jié)尾也是花盆，一個(gè)花盆對應(yīng)一棵樹，一個(gè)花盆對應(yīng)一棵樹，依次類推，最后剩下一盆花，花盆比樹多1，所以1000+1=1001借助圖示用“一一對應(yīng)”的方法說明：間隔數(shù)比樹的棵數(shù)多1。綠色方案 一端種，一端不種生1：（畫圖）一共有5棵樹，就有5個(gè)“空”，所以擺了5盆花。師：這個(gè)“空”，數(shù)學(xué)上稱為“間隔”。用畫圖的方法很容易看出5棵樹有5個(gè)間隔，要在每個(gè)間隔處擺一盆花，知道了間隔數(shù)，就知道了花的盆數(shù)。舉例師：還是這100棵樹，如果開頭放花，而末尾不放花，一共要放多少花呢？學(xué)生獨(dú)立思考，師生交流。生3：開頭放花，一盆花對應(yīng)一棵樹，一盆花對應(yīng)一棵樹，這樣一組一組地對應(yīng)下來，沒有剩下的，所以花盆數(shù)與樹

7、的棵數(shù)一樣多，放了100盆花。借助圖示用“一一對應(yīng)”的方法說明：間隔數(shù)和樹的棵數(shù)一樣多。 小結(jié)：同學(xué)們，剛才我們在解決擺花盆的問題時(shí)，采用的是什么方法，（一一對應(yīng)）我們借助畫圖和“一一對應(yīng)”的方法能既準(zhǔn)確又快捷地找到答案?！驹O(shè)計(jì)意圖：圍繞“樹的棵數(shù)”和“花盆數(shù)”之間的關(guān)系，不斷地進(jìn)行變式練習(xí)，但萬變不離其宗“一一對應(yīng)”思想。學(xué)生依據(jù)表象，靈活地運(yùn)用這一思想方法，在不斷的運(yùn)用中，“一一對應(yīng)”這一思想方法逐步深入人心，最終將內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！?、 運(yùn)用規(guī)律、解決問題 1、例題1。應(yīng)用“一一對應(yīng)”思想解決問題師：是不是這個(gè)方法只運(yùn)用于擺花盆的問題呢？（不是）你們認(rèn)為它肯定還能解決別的問題，是吧

8、？那就試試能不能用它解決下面這個(gè)植樹問題吧。例題：園林隊(duì)沿100米長的公路一側(cè)植樹（兩端都種），每隔5米種一棵，一共種了多少棵？學(xué)生獨(dú)立思考、嘗試解決，個(gè)別板演：100÷5+1=21（棵）師：100÷5求的是什么？生1：間隔數(shù)。師：用總長度除以每個(gè)間隔的長度，就求出了“間隔數(shù)”。（板書：總長度÷間隔長度=間隔數(shù)）求樹的棵數(shù)為什么要“+1”呢？生2：因?yàn)閮深^都種，樹的棵數(shù)比間隔數(shù)多1，所以要“+1”。借助圖示反饋，應(yīng)用“一一對應(yīng)”思想進(jìn)行驗(yàn)證。師：如果是“兩端都不種”呢？能種多少棵？生3:212=19（棵），兩端都種時(shí)種了21棵，現(xiàn)在兩端都不種，就少了2棵，就是19

9、棵。生4：我是這樣想的，間隔數(shù)還是20個(gè)，兩端都種，開頭的是樹，一棵樹對應(yīng)一個(gè)間隔，結(jié)尾的是樹，一組一組對應(yīng)完以后，最后還剩下1棵樹，所以樹比間隔數(shù)多1，就是19棵樹。師：如果是“一端種樹一端不種“呢？一共種了多少棵？生5:種了20棵，因?yàn)殚_頭的是樹，結(jié)尾的是間隔，一棵樹對應(yīng)一個(gè)間隔，最后沒有剩下的了，所以間隔數(shù)和樹的棵數(shù)一樣多。師：對，找到了間隔數(shù)，不管你是什么種法，都可以用一一對應(yīng)的方法找到正確答案。四、回歸生活，實(shí)際應(yīng)用師：想一想，生活中還有什么事情跟擺花盆這樣的問題類似，可以用“一一對應(yīng)”的方法來解決？師生交流，逐步出示課件：植樹問題、路燈問題、鋸木問題、排隊(duì)問題、爬樓問題等等。師：選

10、一項(xiàng)你喜歡的，在問題中誰和誰是“一一對應(yīng)”的？同桌互相說一說。小組討論，然后全班交流，師借助圖示幫助學(xué)生理解。生1：我們討論的是路燈問題，路燈數(shù)和間隔數(shù)一一對應(yīng)。生2：鋸木問題里，鋸的次數(shù)和鋸的段數(shù)一一對應(yīng)。師：鋸的段數(shù)也就是間隔數(shù)，鋸的次數(shù)也和間隔數(shù)一一對應(yīng)。生3：排隊(duì)問題里，人數(shù)和間隔數(shù)一一對應(yīng)。生4：植樹問題里，樹的棵數(shù)和間隔數(shù)一一對應(yīng)。生5：爬樓問題里，爬的樓梯數(shù)和樓層數(shù)一一對應(yīng)。師：在爬樓問題里，兩層之間的樓梯數(shù)也就是兩個(gè)樓層的間隔，樓層數(shù)與間隔數(shù)生：一一對應(yīng)。師：大家想一想，這些問題有什么共同特點(diǎn)？生：它們都與“間隔”有關(guān)。師：對，不管是樹的棵數(shù)，路燈數(shù)，排隊(duì)的人數(shù)，樓層數(shù)，還是鋸的次數(shù)，它們都與“間隔數(shù)”一一對應(yīng)，屬于同一類數(shù)學(xué)問題。在數(shù)學(xué)上，這些問題稱為“植樹問題”。（強(qiáng)調(diào)課題：植樹問題）你認(rèn)為要解決植樹問題，關(guān)鍵是找到什么？生：找到間隔數(shù)。師：對，找到了間隔數(shù)，再按照一一對應(yīng)的方法，就能找到跟它對應(yīng)的數(shù)量了。【設(shè)計(jì)意圖：幾乎每個(gè)學(xué)生在生活中都遇到過間隔現(xiàn)象，但是大多數(shù)學(xué)生都沒有研究過間隔現(xiàn)象。讓學(xué)生帶著剛剛明確的“對應(yīng)思想”重返生活，有意識地關(guān)注過去沒有注意的現(xiàn)象，經(jīng)歷從諸多實(shí)際問題中抽取出植樹問題模型的過程，使學(xué)生清楚地認(rèn)識到所有這些具體問題事實(shí)上都有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即可以被歸結(jié)為同