高階行列式的計算

1、華北水利水電學院課程名稱：高價行列式的計算專業(yè)：機械設計自造及其自動化姓名：朱振濤班級：2012082學號：201208213摘要：本文介紹了幾種高階行列式的計算方法，包括加邊法，拆項法等內(nèi)容，并根據(jù)例子具體分析了適用于不同方法的行列式的特征。行列式在數(shù)學中有很廣泛的應用，因此研究它的計算方法是非常必要的，且高階行列式的計算有很強的技巧性。關鍵詞：高階 行列式 計算Calculation of Higher Order DeterminantAbstract:This paper introduced some methods of the calculation of higher orde

2、r determinant, such as plusing side of law,taking apart the term and so on,and analysising how to select right method based on the features of determinant in detail.The determinant is very useful,so studying its solutions method is important.Besides,we should think highly of its skill.Key words:high

3、er order;determinant;calculation高階行列式計算的基本思想是“化零”和“降階”，也就是說先根據(jù)行列式的性質(zhì)將行列式進行恒等變換，使之出現(xiàn)較多的零元素，再利用上（下）三角行列式計算或用按行（列）展開定理來降低行列式的階數(shù),其他方法也都遵循這個基本的思想。加邊法加邊法就是在不改變原有行列式的值的基礎上，把原有行列式加上一行一列，使之便于用行列式的性質(zhì)或定理（如按行展開定理）對行列式做化簡計算。適用于加邊法的行列式的特征: 形如的行列式可采用加邊法，其中=，=,=(),0,此時行列式=,觀察其結構發(fā)現(xiàn)：第行中有公因子,第列中有公因子.計算方法為：將原行列式加一行一列即,

4、再將第一行乘以（）分別加到第(+1)行（=），得，再把第二行乘以（）加到第一行，第三行×（）加到第一行第+1行×（）加到第一行，得= （）.例1計算=.分析：原式等價于,可見符合上述特征，可加邊為，再按上述步驟進行計算。各行（或列）加到同一行（或列）中適用于行列式的各行或各列元素和相等的情況，把各行或各列加到同一行（一般為第一行），則第一行元素有公因式，把公因式提到行列式外，再根據(jù)行列式的性質(zhì)變換化簡行列式。例2 計算=.分析：觀察知每行元素和都為,把每一列都加到第一列，再提取公因式,得=,再把第一列分別×（-2）加到第二列，×（-3）加到第三列

5、5;（-n）加到第n列，得到下三角行列式=(-1)！.拆項法3.1 =+有些行列式可以把某一行或列的每一個元素都看成兩個元素的和，則可以根據(jù)行列式的性質(zhì)把原行列式拆成兩個行列式的和，且拆成的兩個行列式可以用已知的方法求出值。例3 求行列式=.分析：這道題首先可以想到用各行加到同一行，不過這里研究一下拆項法怎么做，首先把原行列式元素變成兩個元素的和，即=，先對第一列進行拆項得+，然后依次分別對第二列、第三列第列進行拆項，最后可拆成+（）,由此可直接求出=.3.2 =若矩陣可以分成兩個矩陣與的乘積，則要求可依據(jù)矩陣乘積的性質(zhì)先把分解成=，再由=求出。這樣做只有在行列式、的計算比容易時才有意義。例4

6、 矩陣=,求.分析：可分成=與=的積，于是=0.遞推法遞推法的關鍵是找出與及的遞推關系，有些行列式的每一行（或列）至多有兩個不為零的元素，或者是除某一行（列）、對角線和次對角線不為零以外，其余的元素都為零等情況，即行列式某一行或列以零較多時，可先按行（或列）展開，由此得到遞推式=,這時候根據(jù)不同情況用不同的方法求出.方法一：將上面得到的遞推式設為=,則，從而是方程的兩個根，由韋達定理求出之后再依次類推直至求出.例5求行列式=.分析：行列式中零較多，可按照第一列展開得=6-5，將其變形得-=5-5 =5（-） =（-）=（-），而 ，所以-=，依此類推， =+=+=+=+=.方法二：可得到兩個遞

7、推式，可看做以與為未知數(shù)二元一次方程，解方程直接求出.例6計算=，（）.分析：發(fā)現(xiàn)對角線上都為,對角線左下方都為，右上方均為，可先用拆項法把原行列式拆成兩個行列式之和，即=，將第一個行列式按列展開，提出第二個行列式的公因子，再將第一列×（-）分別加到每一列，則第二個行列式化為下三角行列式，值為 于是得到一個遞推式=（-）+，由于此題有特殊對稱性，因此可得到另一遞推式=（-）+則聯(lián)立以上兩個方程便可直接求得=方法三：先計算低階行列式，等，找出遞推規(guī)律，之后再用數(shù)學歸納法進行證明。由矩陣的特征值求行列式的值 求矩陣對應的行列式的值可依據(jù)特征值與行列式的關系來計算，我們已經(jīng)知道若階矩陣的所

8、有特征值為，則其對應行列式=，因此只要計算出所有特征值，也就知道了此外，如果知道矩陣有一個特征值為零，則直接就可以得出對應行列式為零的結論。例7求=分析：設與之對應的矩陣為=,觀察矩陣可發(fā)現(xiàn)求特征值不只有一種方法，可直接由求出特征值，把寫成+,其中=，的特征值即為與的特征值之和，的特征值為個1，則的特征值為個，接著求的特征值= =0，求得的個特征值為0，因此矩陣的個特征值為則=運用矩陣特征值與行列式關系對求抽象行列式的值有很大幫助，因而被廣泛使用。線性因子計算法假如行列式中存在某些元素是變量或某個參數(shù)的多項式，則可以把行列式看做是變量的多項式,根據(jù)行列式的性質(zhì)變換行列式求出的所有的互素的一次線

9、性因式，具體做法如下：求出使得=0的,，記=（-）（-），則就是這些一次線性因式的乘積。比較與的次數(shù)，若不相同，則需要繼續(xù)找線性因式；若次數(shù)相同，則不需再找，此時與只相差一個常數(shù),即=接下來只需用待定系數(shù)法，比較等式兩邊函數(shù)的某一項系數(shù)，就可以把確定下來。例8計算=.分析：題中行列式的元素中有變量，可以看做變量的多項式，并且=0，=0，所以有一次線性因子-2，+2，-3，+3，比較的系數(shù)，中帶有的項系數(shù)為18，所以=18(-2)(+2)(-3)(+3).另外，若行列式中某些元素是多個變量的多項式，也可以按照上述方法處理。7利用導數(shù)求行列式首先要知道行列式的求導法則：即逐行或逐列所求導數(shù)之和。對

10、于含有不同字母的行列式，求導時可以先假設其中任一字母為變量，其余字母為常量，再關于行列式對此變量求導。運用導數(shù)求行列式的值，關鍵是要構造一個新的行列式函數(shù)，所構造的這個行列式函數(shù)要求比較容易求值，且與所要求的行列式有聯(lián)系，比如說：使行列式函數(shù)在某一點的導數(shù)值，與所要求的行列式相同，或者是較易求值行列式與所求行列式之和，因而把行列式的計算問題轉化為行列式求導的問題。例10求階行列式=分析：觀察行列式，發(fā)現(xiàn)與范德蒙行列式相似，可采用加邊法，在原有行列式基礎上加一行一列，可配成范德蒙行列式，直接運用公式計算，在這里主要說一下怎樣利用導數(shù)計算，首先構造一個行列式函數(shù)：=，可提出每一列的公因式得=，由范德蒙行列式計算公式直接求得=將等式左邊的行列式函數(shù)對求導，根據(jù)行列式求導法則求得=，對上述等式右邊關于求導得，則以上兩式相等。令=0，在=0處的導數(shù)就是所求行列式的值。通過以上分析，我們可以看出，高階行列式計算量較大，要講究技巧，選擇恰當?shù)姆椒〞惺掳牍Ρ兜男Ч?。因此在計算時，要先仔細分析行列式的特征，根據(jù)其特征選擇適當?shù)姆椒?。除了以上探索的幾種方法外，求行列式還可以用拉普拉斯定理，數(shù)學歸納法，分塊法等多種方法，大多時候會把幾種方法結合起來運用，切不可照搬公式。參考文獻：1唐仙芝，劉春新.n階行列式計算方法探討