集合論與圖論

1、集合論與圖論課程示范性教學(xué)設(shè)計 1 本課程教學(xué)方法 （一）教學(xué)方法 在這里，僅總結(jié)一下我的教學(xué)方法，不細(xì)展開，因此不涉及專業(yè)術(shù)語和與專業(yè)有關(guān)的例子。以下僅是一些指導(dǎo)思想： （ 1 ）啟發(fā)式、由淺入深、從直觀到抽象。要用些生動的例子幫助學(xué)生理解抽象概念的含義，但要做到生動而有趣又不失概念的準(zhǔn)確性和推理的嚴(yán)格性，使學(xué)生易于接受，又了解直觀背景。 （ 2 ）突出基本思想及方法，強調(diào)規(guī)律性，提高學(xué)生的抽象能力。要從哲學(xué)的高度強調(diào)概念是第一位的，引導(dǎo)學(xué)生思考問題時必須清楚理解所涉及的概念，使問題有一個明確的提法，引導(dǎo)學(xué)生掌握從問題到建立數(shù)學(xué)模型這一抽象過程的方法。 （ 3 ）利用集合論某些概念和理論與方

2、法總結(jié)已學(xué)過的知識（如微積分、線性代數(shù)）找出本質(zhì)的規(guī)律或主線，使學(xué)生認(rèn)識事物內(nèi)部的深刻規(guī)律。其次，隨時指出在后繼課如何應(yīng)用這些知識、在科技論文中將怎樣出現(xiàn)這些知識的應(yīng)用。這不僅提高了學(xué)習(xí)的積極性，也使學(xué)生增強了學(xué)習(xí)的目的性。 （ 4 ）只要有可能就要以建立數(shù)學(xué)模型組織教學(xué)，講習(xí)題也不例外。這樣，能使學(xué)生加深印象 任何時候都要抓住事物的本質(zhì)與事物之間的聯(lián)系。 （ 5 ）鼓勵學(xué)生多問為什么，為什么會是這樣子而不是那個樣子。不是教會學(xué)生怎樣去使用工具、去模仿或復(fù)制，而是要教會學(xué)生獨立思考，發(fā)現(xiàn)問題，提出問題和解決問題的思考，否則思維會退化。 （ 5 ）適當(dāng)?shù)靥岢鲆恍┪唇鉀Q的問題。尚無答案的問題是擺在

3、我們及學(xué)生面前的有無限價值的東西，因為支持大學(xué)的最高準(zhǔn)則是探究未知領(lǐng)域。事實上，在每年教此課時，提一些問題確實有學(xué)生在思考。 （ 6 ）注意每個學(xué)科（內(nèi)部）的美。如果某部分很丑或太復(fù)雜，人們傾向于認(rèn)為是不清楚的和暫時的，它沒有真正反映客觀規(guī)律，因為我們相信，越接近終極真理，我們的解釋中的不自然的東西就越少?？茖W(xué)是以越來越完美、有力的理論向終極真理發(fā)展的。 （二）關(guān)于素質(zhì)教育、培養(yǎng)創(chuàng)新精神的人才的思考 素質(zhì)教育應(yīng)該是各類教育的核心，而培養(yǎng)創(chuàng)新人才則是高等教育的任務(wù)（見高等教育法，第五條）。在這里討論這個題目不太合適，因為題太大。其實，在（五）中就本課的特點貫穿了素質(zhì)教育和培養(yǎng)創(chuàng)新人才的思想。以下

4、只扼要地總結(jié)一下。 1 ）教會學(xué)生如何進行邏輯推理，如何進行正確地思維，如何在紛繁的事物中抓住主要的聯(lián)系，如何使用明確的概念等至關(guān)重要，在任何一個學(xué)科中這些工作都是至關(guān)重要。 教會學(xué)生理解基本概念、基本原理，強調(diào)真正理解，只教會他們使用公式、工具會限制學(xué)生的未來，甚至使思維蛻化。 重在理解信息，從中獲取知識。重點是主動地理解，而不是被動地使用，以提高學(xué)習(xí)能力，增強適應(yīng)性，創(chuàng)造我們的生活。 我鼓勵學(xué)生多提些問題，要有“刨根問底”的精神，不要輕信書本和老師講的東西，只有理解了的知識才是你學(xué)到了的。 只要可能應(yīng)介紹其中的美，簡單蘊含著美。復(fù)雜的理論和概念可能是我們尚未抓住事物的本質(zhì)，自然界應(yīng)該是美的

5、。 結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，站在哲學(xué)的高度，利用辯證法的思想作適當(dāng)評述是絕對必要的。 2 各部分重點及難點 本課程的內(nèi)容分為兩部分，即集合論、圖論。集合論是整個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一，在這里講的是樸素集合論，而不是公理化集合。圖論雖是一個獨立的分支，在本課中可視為集合論的一個應(yīng)用，它研究在一個有限集合上定義了一個二元關(guān)系所組成的系統(tǒng)。研究任一離散系統(tǒng)，要為它建立數(shù)學(xué)模型，就要描述研究對象及對象與對象之間的聯(lián)系，并通過事物之間的聯(lián)系找出事務(wù)的運動規(guī)律。集合論與圖論為此提供了強有力的描述工具與推力理論，而具有一個二元關(guān)系的有限系統(tǒng)用圖作為模型是十分自然而有用。 集合及其運算 集合、子集、集合的相等關(guān)系、冪集；集合并、

6、交、差、對稱差、補集、迪卡爾乘積運算，各運算的性質(zhì)及相互聯(lián)系；有窮集合的基數(shù)、基本計數(shù)法則、容斥原理及應(yīng)用。 本章中證明兩個集合相等的方法是學(xué)生必須掌握的重點，也是各門課都用的地方。告訴學(xué)生必考！ 映射 基本定義、鴿巢原理、映射的一般性質(zhì)、映射的合成、逆映射、置換、二元運算、應(yīng)用。 重點：映射的性質(zhì)、合成運算和應(yīng)用。講授時強調(diào)映射是描述事物之間聯(lián)系的工具。從計算的角度看微積分 * 關(guān)系 二（ n ）元關(guān)系、幾個特殊二元關(guān)系、二元關(guān)系的表示、關(guān)系的合成運算、傳遞閉包、等價關(guān)系與集合的劃分、偏序關(guān)系。 重點：合成運算、傳遞閉包、等價關(guān)系。講授時要做到： 1 ）利用等價關(guān)系為線性代數(shù)穿一條主線 *

7、； 2 ）介紹合成運算、傳遞閉包在專業(yè)課中是怎樣應(yīng)用的； 3 ）（偏序）關(guān)系是數(shù)學(xué)三大結(jié)構(gòu)之一。 無窮集合的基數(shù) 可數(shù)集及其性質(zhì)、存在不可數(shù)集 對角線法，基數(shù)及其比較、連續(xù)統(tǒng)、羅素悖論與數(shù)學(xué)危機。 重點：可數(shù)集的性質(zhì)、對角線法、基數(shù)的概念、存在不可數(shù)集。 本章特點：本課最難的部分，建立合理的“無窮觀”涉及到認(rèn)識論、邏輯、哲學(xué)。建議教師讀點數(shù)學(xué)史、方法論的書。下面的書是值得讀的： 1 M. 克萊因著，數(shù)學(xué) 確定性的喪失，李宏魁譯，湖南科學(xué)基數(shù)出版社， 1997 。 2 徐利治著，數(shù)學(xué)方法論選講，華中工學(xué)院出版社， 1983 。 模糊集合論 由于學(xué)時限制，本章只介紹這一新興分支是怎樣由經(jīng)典集合推廣

8、到模糊集合、介紹它的應(yīng)用范圍。因此，只讓學(xué)生了解這一分支，在應(yīng)用中有能力自學(xué)或看懂有關(guān)文獻(xiàn)。 圖 圖、路、圈、連通圖、偶圖、補圖、歐拉圖、哈密頓圖、圖的鄰接矩陣、最短路徑問題。 重點：圖、路、圈、歐拉圖、哈密頓圖 樹、割點和橋 樹及其性質(zhì)、生成樹、割點和橋及其特征性質(zhì)，最小生成樹問題。 重點：樹及其性質(zhì)，為了避免與“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法”課重復(fù)，最小生成樹問題只講基本思想。 連通度和匹配 頂點連通度與邊連通度及其關(guān)系、偶圖的匹配、 Hall 定理。 重點：基本概念、 Hall 定理。 講法：聯(lián)系通信系統(tǒng)，交叉開關(guān)網(wǎng)絡(luò)，任務(wù)安排講解背景、意義及應(yīng)用介紹。 平面圖和圖的著色 平面圖及其歐拉公式、圖的著色

9、、五色定理，介紹計算機證明四色猜想。 重點：平面圖和圖的著色概念，歐拉公式。 講法：借此機會介紹 Turing 獎、 NP- 完全問題等“常識”知識。 有向圖 強連通、有根樹、有序樹、二元樹。 3 參考教材 1 王義和，離散數(shù)學(xué)引論（修訂版），哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社， 2000 年 3 月，第 1-10 章。 4 朱一清，離散數(shù)學(xué)，電子工業(yè)出版社， 1997 。 4 作業(yè)安排 我們的教材每節(jié)后均有習(xí)題。習(xí)題分兩類，一類是只要理解了基本概念、理論和方法就能容易做出。另一類習(xí)題是需要靈活應(yīng)用學(xué)過的知識才能解答出來。 本課的特點是習(xí)題幾乎都是證明題，很少有計算題。從批改作業(yè)情況看，學(xué)生缺乏證明中的邏輯推理訓(xùn)練。由于沒有公式可套，全靠語言表達(dá)，這又暴露出很多學(xué)生的語言表達(dá)能力差。 答疑不僅是回答學(xué)生提出的問題，也是了解學(xué)生的思想、基礎(chǔ)、心狀的機會，指導(dǎo)他們?nèi)绾螌W(xué)習(xí)，也是向?qū)W生學(xué)習(xí)的機會。