計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)-第三章

1、第三章、經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：多元線性回歸模型例1某地區(qū)通過一個(gè)樣本容量為722的調(diào)查數(shù)據(jù)得到勞動(dòng)力受教育的一個(gè)回歸方程為 R2=0.214式中，edu為勞動(dòng)力受教育年數(shù)，sibs為該勞動(dòng)力家庭中兄弟姐妹的個(gè)數(shù)，medu與fedu分別為母親與父親受到教育的年數(shù)。問（1）sibs是否具有預(yù)期的影響？為什么？若medu與fedu保持不變，為了使預(yù)測的受教育水平減少一年，需要sibs增加多少？（2）請對medu的系數(shù)給予適當(dāng)?shù)慕忉尅＃?）如果兩個(gè)勞動(dòng)力都沒有兄弟姐妹，但其中一個(gè)的父母受教育的年數(shù)為12年，另一個(gè)的父母受教育的年數(shù)為16年，則兩人受教育的年數(shù)預(yù)期相差多少？解答：（1）預(yù)期sibs對

2、勞動(dòng)者受教育的年數(shù)有影響。因此在收入及支出預(yù)算約束一定的條件下，子女越多的家庭，每個(gè)孩子接受教育的時(shí)間會(huì)越短。根據(jù)多元回歸模型偏回歸系數(shù)的含義，sibs前的參數(shù)估計(jì)值-0.094表明，在其他條件不變的情況下，每增加1個(gè)兄弟姐妹，受教育年數(shù)會(huì)減少0.094年，因此，要減少1年受教育的時(shí)間，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6個(gè)。（2）medu的系數(shù)表示當(dāng)兄弟姐妹數(shù)與父親受教育的年數(shù)保持不變時(shí)，母親每增加1年受教育的機(jī)會(huì)，其子女作為勞動(dòng)者就會(huì)預(yù)期增加0.131年的教育機(jī)會(huì)。（3）首先計(jì)算兩人受教育的年數(shù)分別為10.36+0.131´12+0.210´12=14.45210.3

3、6+0.131´16+0.210´16=15.816因此，兩人的受教育年限的差別為15.816-14.452=1.364例2以企業(yè)研發(fā)支出（R&D）占銷售額的比重為被解釋變量（Y），以企業(yè)銷售額（X1）與利潤占銷售額的比重（X2）為解釋變量，一個(gè)有32容量的樣本企業(yè)的估計(jì)結(jié)果如下：其中括號(hào)中為系數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差。（1）解釋log(X1)的系數(shù)。如果X1增加10%，估計(jì)Y會(huì)變化多少個(gè)百分點(diǎn)？這在經(jīng)濟(jì)上是一個(gè)很大的影響嗎？（2）針對R&D強(qiáng)度隨銷售額的增加而提高這一備擇假設(shè)，檢驗(yàn)它不雖X1而變化的假設(shè)。分別在5%和10%的顯著性水平上進(jìn)行這個(gè)檢驗(yàn)。（3）利潤占銷

4、售額的比重X2對R&D強(qiáng)度Y是否在統(tǒng)計(jì)上有顯著的影響？解答：（1）log(x1)的系數(shù)表明在其他條件不變時(shí)，log(x1)變化1個(gè)單位，Y變化的單位數(shù)，即DY=0.32Dlog(X1)»0.32(DX1/X1)=0.32´100%，換言之，當(dāng)企業(yè)銷售X1增長100%時(shí)，企業(yè)研發(fā)支出占銷售額的比重Y會(huì)增加0.32個(gè)百分點(diǎn)。由此，如果X1增加10%，Y會(huì)增加0.032個(gè)百分點(diǎn)。這在經(jīng)濟(jì)上不是一個(gè)較大的影響。（2）針對備擇假設(shè)H1：，檢驗(yàn)原假設(shè)H0：。易知計(jì)算的t統(tǒng)計(jì)量的值為t=0.32/0.22=1.468。在5%的顯著性水平下，自由度為32-3=29的t 分布的臨界值

5、為1.699（單側(cè)），計(jì)算的t值小于該臨界值，所以不拒絕原假設(shè)。意味著R&D強(qiáng)度不隨銷售額的增加而變化。在10%的顯著性水平下，t分布的臨界值為1.311，計(jì)算的t 值小于該值，拒絕原假設(shè)，意味著R&D強(qiáng)度隨銷售額的增加而增加。（3）對X2，參數(shù)估計(jì)值的t統(tǒng)計(jì)值為0.05/0.46=1.087，它比在10%的顯著性水平下的臨界值還小，因此可以認(rèn)為它對Y在統(tǒng)計(jì)上沒有顯著的影響。例3下表為有關(guān)經(jīng)批準(zhǔn)的私人住房單位及其決定因素的4個(gè)模型的估計(jì)量和相關(guān)統(tǒng)計(jì)值（括號(hào)內(nèi)為p-值）（如果某項(xiàng)為空，則意味著模型中沒有此變量）。數(shù)據(jù)為美國40個(gè)城市的數(shù)據(jù)。模型如下：式中housing實(shí)際頒發(fā)的建

6、筑許可證數(shù)量，density每平方英里的人口密度，value自由房屋的均值（單位：百美元），income平均家庭的收入（單位：千美元），popchang19801992年的人口增長百分比，unemp失業(yè)率，localtax人均交納的地方稅，statetax人均繳納的州稅（1） 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ虯中的每一個(gè)回歸系數(shù)在10%水平下是否為零（括號(hào)中的值為雙邊備擇p-值）。根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該把變量保留在模型中還是去掉？（2） 在模型A中，在10%水平下檢驗(yàn)聯(lián)合假設(shè)H0：bi =0(i=1,5,6,7)。說明被擇假設(shè)，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值，說明其在零假設(shè)條件下的分布，拒絕或接受零假設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)。說明你的結(jié)論。（3）

7、 哪個(gè)模型是“最優(yōu)的”？解釋你的選擇標(biāo)準(zhǔn)。（4） 說明最優(yōu)模型中有哪些系數(shù)的符號(hào)是“錯(cuò)誤的”。說明你的預(yù)期符號(hào)并解釋原因。確認(rèn)其是否為正確符號(hào)。解答：（1）直接給出了P-值，所以沒有必要計(jì)算t-統(tǒng)計(jì)值以及查t分布表。根據(jù)題意，如果p-值<0.10,則我們拒絕參數(shù)為零的原假設(shè)。由于表中所有參數(shù)的p-值都超過了10%，所以沒有系數(shù)是顯著不為零的。但由此去掉所有解釋變量，則會(huì)得到非常奇怪的結(jié)果。其實(shí)正如我們所知道的，多元回去歸中在省略變量時(shí)一定要謹(jǐn)慎，要有所選擇。本例中，value、income、popchang的p-值僅比0.1稍大一點(diǎn)，在略掉unemp、localtax、statetax的

8、模型C中，這些變量的系數(shù)都是顯著的。（2）針對聯(lián)合假設(shè)H0：bi =0(i=1,5,6,7)的備擇假設(shè)為H1：bi =0(i=1,5,6,7) 中至少有一個(gè)不為零。檢驗(yàn)假設(shè)H0，實(shí)際上就是參數(shù)的約束性檢驗(yàn)，非約束模型為模型A，約束模型為模型D，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值為顯然，在H0假設(shè)下，上述統(tǒng)計(jì)量滿足F分布，在10%的顯著性水平下，自由度為（4，32）的F分布的臨界值位于2.09和2.14之間。顯然，計(jì)算的F值小于臨界值，我們不能拒絕H0，所以i(i=1,5,6,7)是聯(lián)合不顯著的。(3）模型D中的3個(gè)解釋變量全部通過顯著性檢驗(yàn)。盡管R2與殘差平方和較大，但相對來說其AIC值最低，所以我們選擇該模型為最優(yōu)

9、的模型。（4）隨著收入的增加，我們預(yù)期住房需要會(huì)隨之增加。所以可以預(yù)期3>0，事實(shí)上其估計(jì)值確是大于零的。同樣地，隨著人口的增加，住房需求也會(huì)隨之增加，所以我們預(yù)期4>0，事實(shí)其估計(jì)值也是如此。隨著房屋價(jià)格的上升，我們預(yù)期對住房的需求人數(shù)減少，即我們預(yù)期3估計(jì)值的符號(hào)為負(fù)，回歸結(jié)果與直覺相符。出乎預(yù)料的是，地方稅與州稅為不顯著的。由于稅收的增加將使可支配收入降低，所以我們預(yù)期住房的需求將下降。雖然模型A是這種情況，但它們的影響卻非常微弱。4、在經(jīng)典線性模型基本假定下，對含有三個(gè)自變量的多元回歸模型：你想檢驗(yàn)的虛擬假設(shè)是H0：。 （1）用的方差及其協(xié)方差求出。 （2）寫出檢驗(yàn)H0：的

10、t統(tǒng)計(jì)量。 （3）如果定義，寫出一個(gè)涉及b0、q、b2和b3的回歸方程，以便能直接得到q估計(jì)值及其標(biāo)準(zhǔn)誤。解答：（1）由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)易知 （2）由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)易知，其中為的標(biāo)準(zhǔn)差。 （3）由知，代入原模型得這就是所需的模型，其中q估計(jì)值及其標(biāo)準(zhǔn)誤都能通過對該模型進(jìn)行估計(jì)得到。3-2觀察下列方程并判斷其變量是否呈線性？系數(shù)是否呈線性？或都是？或都不是？1)2)3)4)5)6)7) 3-3多元線性回歸模型與一元線性回歸模型有哪些區(qū)別？3-4為什么說最小二乘估計(jì)量是最優(yōu)的線性無偏估計(jì)量？多元線性回歸最小二乘估計(jì)的正規(guī)方程組，能解出唯一的參數(shù)估計(jì)的條件是什么？3-5多元線性回歸模型的基本假設(shè)是什么

11、？試說明在證明最小二乘估計(jì)量的無偏性和有效性的過程中，哪些基本假設(shè)起了作用？ 3-6請說明區(qū)間估計(jì)的含義。 3-7什么是正規(guī)方程組？分別用非矩陣形式和矩陣形式寫出模型：，的正規(guī)方程組，及其推導(dǎo)過程。3-16考慮下列兩個(gè)模型：、要求：（1）證明： ， ，（2）證明：殘差的最小二乘估計(jì)量相同，即：（3）在何種情況下，模型的擬合優(yōu)度會(huì)小于模型擬合優(yōu)度。 3-17假設(shè)要求你建立一個(gè)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型來說明在學(xué)校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人數(shù)，以便決定是否修建第二條跑道以滿足所有的鍛煉者。你通過整個(gè)學(xué)年收集數(shù)據(jù)，得到兩個(gè)可能的解釋性方程：方程A： 方程B： 其中：某天慢跑者的人數(shù) 該天降雨的英寸數(shù)該天日照

12、的小時(shí)數(shù)該天的最高溫度（按華氏溫度）第二天需交學(xué)期論文的班級數(shù)請回答下列問題：（1）這兩個(gè)方程你認(rèn)為哪個(gè)更合理些，為什么？（2）為什么用相同的數(shù)據(jù)去估計(jì)相同變量的系數(shù)得到不同的符號(hào)？3-18對下列模型： （1） （2）求出的最小二乘估計(jì)值；并將結(jié)果與下面的三變量回歸方程的最小二乘估計(jì)值作比較：（3） ，你認(rèn)為哪一個(gè)估計(jì)值更好？3-19假定以校園內(nèi)食堂每天賣出的盒飯數(shù)量作為被解釋變量，盒飯價(jià)格、氣溫、附近餐廳的盒飯價(jià)格、學(xué)校當(dāng)日的學(xué)生數(shù)量（單位：千人）作為解釋變量，進(jìn)行回歸分析；假設(shè)不管是否有假期，食堂都營業(yè)。不幸的是，食堂內(nèi)的計(jì)算機(jī)被一次病毒侵犯，所有的存儲(chǔ)丟失，無法恢復(fù)，你不能說出獨(dú)立變量分

13、別代表著哪一項(xiàng)！下面是回歸結(jié)果（括號(hào)內(nèi)為標(biāo)準(zhǔn)差）： （2.6） (6.3) (0.61) (5.9) 要求：（1）試判定每項(xiàng)結(jié)果對應(yīng)著哪一個(gè)變量？（2）對你的判定結(jié)論做出說明。 3-22下面給出依據(jù)15個(gè)觀察值計(jì)算得到的數(shù)據(jù)： ， ， ， ， ， ， 其中小寫字母代表了各值與其樣本均值的離差。要求：（1）估計(jì)三個(gè)多元回歸系數(shù)；（2）估計(jì)它們的標(biāo)準(zhǔn)差；并求出與？（3）估計(jì)、95%的置信區(qū)間；（4）在下，檢驗(yàn)估計(jì)的每個(gè)回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)顯著性（雙邊檢驗(yàn)）；（5）檢驗(yàn)在下所有的部分系數(shù)都為零，并給出方差分析表。3-28考慮以下預(yù)測的回歸方程： 其中：第t年的玉米產(chǎn)量（蒲式耳/畝）第t年的施肥強(qiáng)度（磅/畝

14、）第t年的降雨量（英寸）要求回答下列問題：（1）從和對的影響方面，說出本方程中系數(shù)和的含義；（2）常數(shù)項(xiàng)是否意味著玉米的負(fù)產(chǎn)量可能存在？（3）假定的真實(shí)值為，則估計(jì)值是否有偏？為什么？（4）假定該方程并不滿足所有的古典模型假設(shè)，即并不是最佳線性無偏估計(jì)值，則是否意味著的真實(shí)值絕對不等于？為什么？ 3-29已知線性回歸模型式中（0，），且（為樣本容量，為參數(shù)的個(gè)數(shù)），由二次型的最小化得到如下線性方程組：要求：（1）把問題寫成矩陣向量的形式；用求逆矩陣的方法求解之；（2）如果，求；（3）求出的方差協(xié)方差矩陣。習(xí)題答案3-2答：變量非線性、系數(shù)線性；變量、系數(shù)均線性；變量、系數(shù)均線性；變量線性、系數(shù)

15、非線性；變量、系數(shù)均為非線性；變量、系數(shù)均為非線性；變量、系數(shù)均為線性。3-3答：多元線性回歸模型與一元線性回歸模型的區(qū)別表現(xiàn)在如下幾方面：一是解釋變量的個(gè)數(shù)不同；二是模型的經(jīng)典假設(shè)不同，多元線性回歸模型比一元線性回歸模型多了“解釋變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系”的假定；三是多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)式的表達(dá)更復(fù)雜；3-4在多元線性回歸模型中，參數(shù)的最小二乘估計(jì)量具備線性、無偏性、最小方差性，同時(shí)多元線性回歸模型滿足經(jīng)典假定，所以此時(shí)的最小二乘估計(jì)量是最優(yōu)的線性無偏估計(jì)量，又稱BLUE估計(jì)量。對于多元線性回歸最小二乘估計(jì)的正規(guī)方程組，3-5答：多元線性回歸模型的基本假定有：零均值假定、隨機(jī)項(xiàng)獨(dú)立同

16、方差假定、解釋變量的非隨機(jī)性假定、解釋變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系假定、隨機(jī)誤差項(xiàng)服從均值為0方差為的正態(tài)分布假定。在證明最小二乘估計(jì)量的無偏性中，利用了解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)的假定；在有效性的證明中，利用了隨機(jī)項(xiàng)獨(dú)立同方差假定。3-6答：區(qū)間估計(jì)是指研究用未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值（從一組樣本觀測值算得的）作為近似值的精確程度和誤差范圍。3-7答：含有待估關(guān)系估計(jì)量的方程組稱為正規(guī)方程組。正規(guī)方程組的非矩陣形式如下：正規(guī)方程組的矩陣形式如下：3-16解：（1）證明：由參數(shù)估計(jì)公式可得下列參數(shù)估計(jì)值證明： 設(shè)：I式的擬合優(yōu)度為：II式的擬合優(yōu)度為：在中已經(jīng)證得成立，即二式分子相同，若要模型II的擬合

17、優(yōu)度小于模型I的擬合優(yōu)度，必須滿足：。3-17答：方程B更合理些。原因是：方程B中的參數(shù)估計(jì)值的符號(hào)與現(xiàn)實(shí)更接近些，如與日照的小時(shí)數(shù)同向變化，天長則慢跑的人會(huì)多些；與第二天需交學(xué)期論文的班級數(shù)成反向變化，這一點(diǎn)在學(xué)校的跑道模型中是一個(gè)合理的解釋變量。解釋變量的系數(shù)表明該變量的單位變化在方程中其他解釋變量不變的條件下對被解釋變量的影響，在方程A和方程B中由于選擇了不同的解釋變量，如方程A選擇的是“該天的最高溫度”而方程B選擇的是“第二天需交學(xué)期論文的班級數(shù)”，由此造成與這兩個(gè)變量之間的關(guān)系不同，所以用相同的數(shù)據(jù)估計(jì)相同的變量得到不同的符號(hào)。3-18答：將模型改寫成，則的估計(jì)值為：將模型改寫成，則

18、的估計(jì)值為：這兩個(gè)模型都是三變量回歸模型在某種限制條件下的變形。如果限制條件正確，則前兩個(gè)回歸參數(shù)會(huì)更有效；如果限制條件不正確則前兩個(gè)回歸參數(shù)會(huì)有偏。3-19答：答案并不唯一，猜測為：為學(xué)生數(shù)量，為附近餐廳的盒飯價(jià)格，為氣溫，為校園內(nèi)食堂的盒飯價(jià)格； 理由是被解釋變量應(yīng)與學(xué)生數(shù)量成正比，并且應(yīng)該影響顯著；與本食堂盒飯價(jià)格成反比，這與需求理論相吻合；與附近餐廳的盒飯價(jià)格成正比，因?yàn)楸舜耸翘娲?；與氣溫的變化關(guān)系不是十分顯著，因?yàn)榇蠖鄶?shù)學(xué)生不會(huì)因?yàn)闅鉁厣卟怀燥垺?-22解：其中：同理，可得：，擬合優(yōu)度為： ，查表得，得到，得到，查表得臨界值為則：所有的部分系數(shù)為0，即：,等價(jià)于方差來源平方和自由度平方和的均值來自回歸65963.018232981.509來自殘差79.2507126.6042總離差66042.269，臨界值為3.