蘇科版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)正多邊形和圓 知識(shí)點(diǎn)與同步訓(xùn)練解析版

1、正多邊形和圓知識(shí)精講一. 正多邊形的概念及性質(zhì)1. 正多邊形的定義：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形2. 正多邊形的相關(guān)概念：（1）正多邊形的中心：我們把一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心； （2）正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑；（3）正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角；（4）正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距補(bǔ)充說明：正多邊形的性質(zhì)：（1）正邊形的半徑和邊心距把正邊形分成個(gè)全等的直角三角形；（2）正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，正邊形共有條通過正邊形中心的對(duì)稱軸；（3）偶數(shù)條邊的正多邊形既是軸對(duì)稱圖形，也

2、是中心對(duì)稱圖形，其中心就是對(duì)稱中心二. 正多邊形與圓的關(guān)系1. 把一個(gè)圓等分，依次連結(jié)各個(gè)等分點(diǎn)所得到的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正邊形；這個(gè)圓叫這個(gè)正邊形的外接圓；經(jīng)過各等分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正邊形2. 定理：任何一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓；并且這兩個(gè)圓是同心圓三. 正多邊形有關(guān)的計(jì)算1. 正邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于；2. 正邊形的每一個(gè)外角與中心角相等，等于；3. 設(shè)正邊形的邊長(zhǎng)為，半徑為，邊心距為，周長(zhǎng)為，面積為；則：三點(diǎn)剖析考點(diǎn)：正多邊形的概念、性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算重難點(diǎn)：正多邊形相關(guān)計(jì)算易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)正多邊形相關(guān)的概念混淆不清題模精講題模一：正多邊形的相

3、關(guān)概念 下面給出六個(gè)命題：各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；正多邊形是中心對(duì)稱圖形；各角均為的六邊形是正六邊形；邊數(shù)相同的正邊形的面積之比等于它們邊長(zhǎng)的平方比；各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形其中，正確的命題是_【答案】 【解析】 錯(cuò)誤，反例：矩形各角相等但不是正四邊形；正確，邊相等則各邊所對(duì)的圓心角相等，由半徑和圓心角可構(gòu)成 個(gè)全等的等腰三角形，則多邊形的各內(nèi)角也相等；錯(cuò)誤，正奇數(shù)邊形不是中心對(duì)稱圖形；錯(cuò)誤，在正六邊形的基礎(chǔ)上作任意一組對(duì)邊的平行線，仍然截出一個(gè)六邊形，各內(nèi)角均為，但不是正六邊形；正確，相似的性質(zhì)；錯(cuò)誤，只要使切點(diǎn)與圓心的連線不平分多邊形的邊

4、長(zhǎng)即可 若正多邊形的一個(gè)外角為60º，則這個(gè)正多邊形的中心角的度數(shù)是（ ）A 30°B 60°C 90°D 120°【答案】B【解析】 由于任意多邊形的外角和均為360°，所以這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為，所以正六邊形的中心角的度數(shù)為 正六邊形的邊心距與邊長(zhǎng)之比為（）A ：3B ：2C 1：2D ：2【答案】B【解析】 此題考查了正多邊形和圓的關(guān)系此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用首先根據(jù)題意畫出圖形，然后設(shè)六邊形的邊長(zhǎng)是a，由勾股定理即可求得OC的長(zhǎng)，繼而求得答案如圖：設(shè)六邊形的邊長(zhǎng)是a，則半徑長(zhǎng)也是a；經(jīng)過正六邊形的中心O作邊AB的

5、垂線OC，則AC=AB=a，OC=a，正六邊形的邊心距與邊長(zhǎng)之比為：a：a=：2故選B 如圖，有一個(gè)圓O和兩個(gè)正六邊形T1，T2 T1的6個(gè)頂點(diǎn)都在圓周上，T2的6條邊都和圓O相切（我們稱T1，T2分別為圓O的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形）（1）設(shè)T1，T2的邊長(zhǎng)分別為a，b，圓O的半徑為r，求r：a及r：b的值；（2）求正六邊形T1，T2的面積比S1：S2的值【答案】 （1）：2（2）3：4【解析】 （1）連接圓心O和T1的6個(gè)頂點(diǎn)可得6個(gè)全等的正三角形所以r：a=1：1；連接圓心O和T2相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，得以圓O半徑為高的正三角形，所以r：b=AO：BO=sin60°=：2；（2）T

6、1：T2的邊長(zhǎng)比是：2，所以S1：S2=（a：b）2=3：4題模二：相關(guān)計(jì)算 如圖，O是ABC的內(nèi)切圓，若ABC=70°，ACB=40°，則BOC=_°【答案】 125【解析】 O是ABC的內(nèi)切圓，OB平分ABC，OC平分ACB，OBC=ABC=35°，OCB=ACB=20°，BOC=180°OBCOCB=180°35°20°=125° 已知正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則它的內(nèi)切圓的半徑為（ ）A 1B C 2D 2【答案】B【解析】 如圖，連接OA、OB，OG；六邊形ABCDEF是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，

7、OAB是等邊三角形，OA=AB=2，OG=OAsin60°=2×=，邊長(zhǎng)為2的正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為 如圖、.、，、分別是的內(nèi)接正三角形、正方形、五邊形、.、正邊形.的邊、上的點(diǎn)，且，連接、（1）求圖中的度數(shù)；（2）圖中的度數(shù)是_，圖中的度數(shù)是_；（3）試探究的度數(shù)與正邊形邊數(shù)的關(guān)系（直接寫出答案）【答案】 （1）；（2），；（3）【解析】 解：分別連接、，（1） ，是外接圓的圓心， ，（2）同（1）可得的度數(shù)是；圖中的度數(shù)是（3）由（1）可知，；在（2）中，；在（3）中.，故當(dāng)時(shí)，隨堂練習(xí)隨練2.1 如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于O，則CAD=_度【答案】 36【解析】

8、 五邊形ABCDE是正五邊形，=72°，CAD=×72°=36°隨練2.2 邊長(zhǎng)為的正六邊形的邊心距等于（ ）A B C D 【答案】A【解析】 該題考查的是正多邊形與圓 B AO M 連接OA、OB作OMAB與M;可知AOB是等邊三角形，OMAB，在OAM中，由勾股定理得：故選A隨練2.3 已知O的周長(zhǎng)等于cm，則它的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為_cm【答案】 3cm【解析】 本題考查圓內(nèi)的多邊形邊長(zhǎng)計(jì)算O的周長(zhǎng)等于cm，圓的半徑，又圓內(nèi)接正六邊形六條邊相等，故每條邊對(duì)的圓心角為，圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為3 cm隨練2.4 如圖，是的內(nèi)接正方形，是半圓的內(nèi)接正方形，那么正方形與正方形的面積之比為_【答案】 【解析】 隨練2.5 已知圓內(nèi)接正方形的面積為，求該圓的外切正三角形的外接圓的外切正六邊形的面積【答案】 【解析】 如圖，設(shè)是圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，是外切正三角形的邊長(zhǎng)，是外切正六邊形的邊長(zhǎng)，連結(jié)是內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，內(nèi)接正方形面積為，是外切正三角形的邊長(zhǎng)，是外切正六邊形的邊長(zhǎng)，隨練2.6 等邊三角形的周長(zhǎng)為18，則它的內(nèi)切圓半徑是（ ）A B C D 【答案】C【解析】 該題考