考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)強(qiáng)化習(xí)題常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、模塊十三 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)經(jīng)典習(xí)題一具體級(jí)數(shù)收斂性的判別1、判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）2、判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性（包括絕對(duì)收斂與條件收斂）（1） （2）（3） （4），（）3、下列級(jí)數(shù)中不一定收斂的是（ ）（A） （B）（C） （D）4、下列級(jí)數(shù)條件收斂的是（ ）（A） （B） （C），其中收斂. （D）5、對(duì)于常數(shù)，級(jí)數(shù)( ) (A)發(fā)散 (B)絕對(duì)收斂 (C)條件收斂 (D)收斂性與k的取值有關(guān)6、設(shè)為常數(shù)，則級(jí)數(shù)（A）絕對(duì)收斂 （B）條件收斂 （C）發(fā)散 （D）收斂性與的取值有關(guān)7、判別級(jí)數(shù)的斂散性，并證明二抽象級(jí)數(shù)收斂性的判別8、 (為常數(shù))

2、（ ）（A）絕對(duì)收斂 （B）條件收斂 （C）發(fā)散 （D）斂散性有有關(guān)9、設(shè)是微分方程滿足初始條件的特解， 則無窮級(jí)數(shù) ( )（A） 絕對(duì)收斂 （B） 條件收斂 （C） 發(fā)散 （D） 斂散性不定10、設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)有界：，證明（1）級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；（2）存在11、設(shè)函數(shù)是微分方程當(dāng)時(shí)的一個(gè)特解，試討論級(jí)數(shù)的收斂性.12、設(shè)在上單調(diào)增加，且（1）證明級(jí)數(shù)收斂，并求其和；（2）進(jìn)一步設(shè)在上二階可導(dǎo)，且證明級(jí)數(shù)收斂。13、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)下降，且發(fā)散，證明收斂.三收斂性的討論14、已知，且條件收斂，若設(shè)，則級(jí)數(shù)( ). (A)條件收斂 (B)絕對(duì)收斂 (C)發(fā)散 (D)收斂或發(fā)散取決于的具體

3、形式 15、下列選項(xiàng)中正確的是( ) (A)若，則與有相同斂散性 (B)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則必有 (C)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則必有 (D)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性與有關(guān)16、下列四個(gè)有關(guān)級(jí)數(shù)的論斷 若級(jí)數(shù)發(fā)散，則 若，則必收斂若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)必收斂 若且交錯(cuò)級(jí)數(shù)條件收斂，則級(jí)數(shù)必發(fā)散正確的是( )(A)與 (B)與 (C)與 (D)與 17、若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)18、設(shè)有兩個(gè)數(shù)列若則19、若級(jí)數(shù)均收斂，則級(jí)數(shù)20、符合下列哪一個(gè)條件，可由 發(fā)散推出發(fā)散21、若級(jí)數(shù)收斂，發(fā)散，則級(jí)數(shù)22、設(shè)收斂，則23、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂是級(jí)數(shù)收斂的24、如果級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)25、如果級(jí)數(shù)都發(fā)散，則26、已知級(jí)數(shù)收斂，則下列級(jí)

4、數(shù)中必收斂的是27、下列命題成立的是28、設(shè)有命題（1）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足，則級(jí)數(shù)必收斂；（2）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則；（3）若，則級(jí)數(shù)同斂散；（4）若數(shù)列收斂，則級(jí)數(shù)收斂。以上四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為（ ）參考答案一具體級(jí)數(shù)收斂性的判別1. (1)收斂;(2)發(fā)散; (3)發(fā)散; (4) 收斂; (5) 收斂; (6收斂); (7) 收斂; (8); 收斂2. (1)條件收斂;(2條件收斂; (3)條件收斂; (4) 絕對(duì)收斂;345【解析】： 因?yàn)閿?shù)列單調(diào)減少，且，故交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂.對(duì)于級(jí)數(shù).由于，而級(jí)數(shù)發(fā)散，故級(jí)數(shù)發(fā)散，因此對(duì)任何常數(shù)級(jí)數(shù)條件收斂.6【解析】：因?yàn)槭諗?，發(fā)散，所以級(jí)數(shù)發(fā)散.7收斂【解

5、析】： 因?yàn)橐驗(yàn)槭諗?，所以收斂，設(shè)其和為故即而所以二抽象級(jí)數(shù)收斂性的判別8【解析】： 由于又收斂,故也收斂,也即絕對(duì)收斂故正確選項(xiàng)是（A）9【解析】: ,兩邊再對(duì)微分,得把代入上面兩個(gè)微分方程可得到由可知,存在,使得在上, ,此時(shí)單調(diào)遞增所以有,由萊布尼茨定理知收斂.故有又,發(fā)散,所以也發(fā)散,即有條件收斂.10【解析】：(1) 由于收斂，所以由比較判別法知，收斂，即絕對(duì)收斂（2）由級(jí)數(shù)收斂，則它的前項(xiàng)部分和當(dāng)時(shí)極限存在.所以存在，即存在，證畢11絕對(duì)收斂【解析】因?yàn)?由得根據(jù)泰勒公式，得所以，而級(jí)數(shù)收斂，故由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知，級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.12. 略13. 略三收斂性的討論14【解析】：由交錯(cuò)級(jí)數(shù) 條件收斂及知，其中個(gè)常數(shù).級(jí)數(shù)的部分和， 所以，即發(fā)散.故應(yīng)選(C)15【解析】： 比較判別法僅適合正項(xiàng)級(jí)數(shù)，故排除選項(xiàng)(A), 收斂，但，排除選項(xiàng)(B), 發(fā)散，但有，故排除選項(xiàng)(C).選項(xiàng) (D) 中，當(dāng)時(shí)，收斂性取決于，時(shí)，收斂性取決于，故選(D).16【解析】： 調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，但，故論斷未必成立；交錯(cuò)級(jí)數(shù)發(fā)散，但，故論斷的結(jié)論未必成立；由正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂知，從