第3章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析

1、信號與系統(tǒng)學(xué)習(xí)指導(dǎo)第三章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)分析的主要任務(wù)是在給定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型和外加輸入以及系統(tǒng)初始狀態(tài)的條件下，求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。在連續(xù)系統(tǒng)的時域分析中，用微分方程和狀態(tài)空間方程來描述系統(tǒng)輸入輸出信號以及內(nèi)部狀態(tài)變量之間的關(guān)系。這種分析方法直觀易懂，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域分析方法的基礎(chǔ)。為了簡化連續(xù)系統(tǒng)微分方程的求解，在時域分析方法中，引入連續(xù)系統(tǒng)的算子方程，并由此得到系統(tǒng)的傳輸算子這一重要的時域模型。根據(jù)傳輸算子可以方便地求解系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，并進一步利用卷積運算求解系統(tǒng)在任意輸入作用下的響應(yīng)。本章主要介紹連續(xù)LTI系統(tǒng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的求解方法和步驟。3.1 基本要

2、求1基本要求 了解連續(xù)系統(tǒng)時域分析中所采用的數(shù)學(xué)模型（微分方程、傳輸算子）； 了解連續(xù)系統(tǒng)的基本運算單元、方框圖及其算子模型； 了解電路元件及電路系統(tǒng)的算子模型； 了解連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)及其求解方法； 掌握單位沖激響應(yīng)的概念及求法； 掌握零狀態(tài)響應(yīng)的求法 了解單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)的關(guān)系。2重點和難點 單位沖激響應(yīng)的概念及其求解方法3.2 知識要點1連續(xù)系統(tǒng)的時域分析模型在系統(tǒng)的時域分析方法，連續(xù)系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)模型是用微分方程來表示。引入特殊的算子（即運算符號）后，可以根據(jù)系統(tǒng)的微分方程得到連續(xù)系統(tǒng)另外一種重要的時域模型，稱為傳輸算子。此外，系統(tǒng)還可以用圖形化的模型來表示其內(nèi)部結(jié)構(gòu)和功能

3、，稱為系統(tǒng)的方框圖。這里還將借助于算子得到系統(tǒng)方框圖的算子模型。（1）微積分算子在連續(xù)系統(tǒng)中，對連續(xù)信號的求導(dǎo)和求積分分別用微分算子p和積分算子1/p表示，強調(diào)一點，用微積分算子表示信號的微積分時，算子必須寫在信號的前面，例如pf(t)不能寫為f(t)p。（2）連續(xù)系統(tǒng)的算子模型將系統(tǒng)微分方程中的求導(dǎo)用微分算子表示后，得到系統(tǒng)的算子方程，進一步得到系統(tǒng)的傳輸算子H(p)。傳輸算子是系統(tǒng)時域分析中采用的基本數(shù)學(xué)模型，本章介紹系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和單位沖激響應(yīng)都是根據(jù)系統(tǒng)的傳輸算子直接求解，而不是用數(shù)學(xué)方法通過微分方程求解。2連續(xù)系統(tǒng)的方框圖方框圖是用一些基本運算單元的組合表示系統(tǒng)對輸入信號的運算和變

4、換功能，是系統(tǒng)一種圖形化的模型。必須熟悉連續(xù)系統(tǒng)中各基本運算單元的表示符號及其代表的運算，能正確分析方框圖中各信號之間的運算關(guān)系。為了對系統(tǒng)進行分析，求解其響應(yīng)，必須根據(jù)方框圖求得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（傳輸算子、微分方程等）。為了簡化數(shù)學(xué)模型的求取，將方框圖中所有的基本運算單元用其算子模型表示，從而得到方框圖的算子模型。其中主要是將方框圖中的所有積分器用1/p表示。3連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)指的是在系統(tǒng)當前輸入為零時，由t=0- 時刻系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的響應(yīng)。系統(tǒng)的初始狀態(tài)一般以零輸入響應(yīng)yx(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0- 時刻的取值表示，即yx(0-)、yx(0-)、yx(0-)、。這些取值作

5、為已知數(shù)據(jù)，用于確定零輸入響應(yīng)中的待定系數(shù)。零輸入響應(yīng)的具體函數(shù)形式完全決定于系統(tǒng)的特征根。特征根根據(jù)系統(tǒng)傳輸算子的分母多項式求得。每個特征根決定零輸入響應(yīng)中的一項，具體根據(jù)特征根是單根還是重根，按以下兩式得到零輸入響應(yīng)的函數(shù)表達式，即 （3-1） （3-2）4連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)簡稱單位響應(yīng)，指的是在單位沖激信號d (t)作用下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，記為h(t)。也可以說，單位沖激響應(yīng)是在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，由單位沖激信號d (t)引起的輸出響應(yīng)。單位沖激響應(yīng)完全決定系統(tǒng)的傳輸算子，因此是系統(tǒng)的另一個數(shù)學(xué)模型。根據(jù)傳輸算子求解系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的步驟為：（1）如果H(p)為關(guān)于p的假分

6、式，即分子多項式的階數(shù)大于或等于分母多項式的階數(shù)，則先通過長除法（多項式除法）分解為H(p) = H1(p) + H2(p)其中，H1(p)為關(guān)于p的多項式，H2(p)為關(guān)于p的真分式。（2）關(guān)于p的多項式H1(p)中每一項都具有Kpi的形式，由下式直接寫出每一項對應(yīng)的單位沖激響應(yīng)： （3-3）（3）對真分式H2(p)，根據(jù)系統(tǒng)的特征根，用部分分式展開法分解為若干部分分式的疊加，即其中每一項部分分式對應(yīng)的單位沖激響應(yīng)由下式直接寫出： （3-4）（4）將H1(p)和H2(p)中每一項對應(yīng)的單位沖激響應(yīng)直接疊加，得到系統(tǒng)總的單位沖激響應(yīng)。5連續(xù)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)當輸入信號為單位階躍信號，即f(t)

7、= u(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，并記為g(t)。對同一個系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)與其單位沖激響應(yīng)之間互為微積分關(guān)系，即 （3-5）6連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)是在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零時，完全由外加輸入信號引起的輸出響應(yīng)，用yf (t)表示。零狀態(tài)響應(yīng)等于輸入信號與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積積分。因此，一旦確定了系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，則可由下式求得系統(tǒng)在已知輸入信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，即 （3-6）對LTI系統(tǒng)，同時由初始狀態(tài)和外加輸入引起的響應(yīng)稱為全響應(yīng)，按照前面的方法分別求出零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)后，直接疊加即可得到系統(tǒng)的全響應(yīng)。疊加時，原零輸入響應(yīng)函數(shù)表達式后面的附加條

8、件t0可以替換為將表達是直接替換為u(t)。3.3 補充例題例3-1 已知系統(tǒng)的輸入輸出方程為寫出其算子方程及傳輸算子。解 將方程兩邊各項分別用微分算子表示后得到系統(tǒng)的算子方程為將其視為代數(shù)方程，整理得到則系統(tǒng)的傳輸算子為說 明：傳輸算子是在本章求解系統(tǒng)各種響應(yīng)時所采用的主要數(shù)學(xué)模型。在將微分方程轉(zhuǎn)換為傳輸算子時，只要將微分方程按第一章所說的標準形式書寫，則可以根據(jù)方程直接寫出傳輸算子。例3-2 已知系統(tǒng)的傳輸算子為寫出其算子方程及微分方程。解 由得到則算子方程為或者微分方程為例3-3 已知系統(tǒng)的方框圖如圖3-1（a）所示。求系統(tǒng)的傳輸算子。f (t)y(t)a0（a）b1圖3-1b0f (t

9、)y(t)1/pa0（b）b1b0x(t)px(t)解 為簡化分析，將圖中的積分器用其算子模型1/p表示，得到方框圖的算子模型如圖3-1（b）所示。設(shè)中間信號x(t)如圖所示，則由圖可得由以上兩方程消去中間信號x(t)得到則系統(tǒng)的傳輸算子為說 明：由方框圖求系統(tǒng)傳輸算子的一般方法是：（1）畫出方框圖的算子模型，其中主要是將方框圖中的積分器和微分器都用其算子模型1/p和p表示，其他不變。（2）增設(shè)中間信號。一般來說，增設(shè)的中間信號的個數(shù)比方框圖中加法器的個數(shù)少1，并且中間信號一般設(shè)為積分器的輸出信號。（3）分析加法器的輸入輸出信號，并對每一個加法器列寫一個方程。（4）聯(lián)立求解各方程，消去中間信號

10、，得到y(tǒng)(t)與f(t)的關(guān)系方程。（5）將得到的方程與y(t)=H(p)f(t)比較得到傳輸算子H(p)。例3-4 已知系統(tǒng)的傳輸算子為求系統(tǒng)的特征根。解 令傳輸算子的分母多項式等于0，得到系統(tǒng)的特征方程為由此求得系統(tǒng)的特征根為，其中，l1、l3、l4為單根，l2為二重根，并且l3、l4為一對共軛復(fù)數(shù)根。說 明：特征根直接決定了系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的函數(shù)形式和系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。求特征根的一般方法是，令傳輸算子的分母多項式等于0，得到特征方程。然后求解特征方程得到特征根。由于特征方程是代數(shù)方程，因此特征根可以是單根或重根，可以是實數(shù)根或復(fù)數(shù)根。此外，復(fù)數(shù)根一定共軛成對出現(xiàn)。例3-5 已知系統(tǒng)的傳輸

11、算子為分別求出下列初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)yx(t)：（1）yx(0-)=1；（2）yx(0-)=2。解 系統(tǒng)的特征方程為由此求得特征根為l=-2，則零輸入響應(yīng)可設(shè)為（1）由yx(0-)=1，令上式中的t=0- 得到則得到零輸入響應(yīng)為，t0（2）由yx(0-)=2得到則得到零輸入響應(yīng)為，t0說 明：零輸入響應(yīng)的函數(shù)形式?jīng)Q定于系統(tǒng)的特征根，而幅度大?。雌渲械拇ㄏ禂?shù)）決定于初始狀態(tài)。具體求解步驟為：（1）求特征根，并分析各特征根是單根還是重根；（2）根據(jù)特征根，分別按式（3-1）或（3-2）寫出零輸入響應(yīng)的函數(shù)形式；（3）各特征根對應(yīng)的零輸入響應(yīng)響應(yīng)函數(shù)相疊加得到系統(tǒng)總的零輸入響應(yīng)；（4）由初

12、始狀態(tài)確定其中的待定系數(shù)；（5）將待定系數(shù)代回得到零輸入響應(yīng)；（6）由于零輸入響應(yīng)是由t=0-時刻系統(tǒng)初始狀態(tài)引起的響應(yīng)，因此按此步驟得到的是在此時刻以后（t 0）的零輸入響應(yīng)，因此最后應(yīng)在表達式后面添加限定條件t 0。此例還說明，對LTI系統(tǒng)，零輸入響應(yīng)滿足齊次性，即：初始狀態(tài)放大多少倍，所引起的零輸入響應(yīng)也放大多少倍。由此可知，第一章所說的線性性是分別對系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)而言的。也就是說，零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)單獨考慮，他們分別滿足齊次性和疊加性，而一般來說，系統(tǒng)的全響應(yīng)是不滿足齊次性和疊加性的。例3-6 已知某LTI系統(tǒng)輸入信號f(t)與輸出信號y(t)之間的關(guān)系為求系統(tǒng)的單位

13、沖激響應(yīng)h(t)。解 根據(jù)單位沖激響應(yīng)的定義，當f(t)=d(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)即為單位沖激響應(yīng)。因此，在上式中令f(t)=d(t)，則說 明：本例主要熟悉單位沖激響應(yīng)的定義。例3-7 已知系統(tǒng)方框圖的算子模型如圖3-2所示，求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)。f (t)y(t)1/p1/p2p2x(t)x(t)p(t)圖3-2解 為求單位沖激響應(yīng)，首先應(yīng)求得系統(tǒng)的傳輸算子。為此，在方框圖中設(shè)中間信號x(t)，并將兩個積分器的輸入表示為px(t)和p2x(t)。由方框圖求得消去中間信號x(t)，并整理得到則系統(tǒng)的傳輸算子為由此求得單位沖激響應(yīng)為說 明：在時域求解系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，首先必須求出

14、系統(tǒng)的傳輸算子。而題目上可能已知的是系統(tǒng)的微分方程、方框圖、方框圖的算子模型、電路圖等。必須用前面的方法和步驟求出傳輸算子。求出傳輸算子后，應(yīng)分析：傳輸算子是否為假分式（分子的階數(shù)高于或等于分母的階數(shù)）; 求各特征根及其重數(shù)。具體解答時，可以仿照此例直接將傳輸算子做分解和變換，然后按照標準的步驟和式（3-3）、（3-4）直接寫出單位沖激響應(yīng)。例3-8 如圖3-3所示LTI系統(tǒng)，已知子系統(tǒng)A的單位階躍響應(yīng)為gA(t)=u(t-1)，子系統(tǒng)B的單位沖激響應(yīng)為hB(t)=u(t)。求整個系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)和單位階躍響應(yīng)g(t)。Af (t)By(t)圖3-3x1(t)x2(t)解 根據(jù)單位沖

15、激響應(yīng)的定義，在整個系統(tǒng)的輸入端加入d(t)，此時系統(tǒng)輸出端得到的即為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)。為此，令f(t)=d(t)，則因此得到整個系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為整個系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為說 明：本例不能求出系統(tǒng)的傳輸算子，因此應(yīng)根據(jù)定義求解系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)。本例中同時用到了單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)的關(guān)系，即單位沖激響應(yīng)等于單位階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，單位階躍響應(yīng)等于單位沖激響應(yīng)的積分。此外，還用到了系統(tǒng)在任意輸入作用下的零狀態(tài)響應(yīng)的求解方法。例3-9 如圖3-4所示LTI系統(tǒng)。（1）求初始狀態(tài)yx(0-)=-2引起的零輸入響應(yīng)yx(t)；（2）求在作用下的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)；（3）求

16、系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)。圖3-4f (t)y(t)1/p3x(t)px(t)解 由方框圖首先求得系統(tǒng)的傳輸算子為（1）由傳輸算子求得特征根為l1=-1，則可設(shè)令t=0-，代入已知的初始狀態(tài)得到，則（2）因為則系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為因此（3）全響應(yīng)為3.4 補充練習(xí)3.1填空1）連續(xù)系統(tǒng)的時域分析模型主要有 、 、 和 。2）在方框圖的算子模型中，微分器用 表示，積分器用 表示。3）外加輸入為零時，完全由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的響應(yīng)稱為 響應(yīng)；系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時，完全由外加輸入引起的響應(yīng)稱為 響應(yīng)。4）系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，外加輸入等于單位沖激信號時的響應(yīng)稱為 響應(yīng)。5）由單位沖激信號引起的 響應(yīng)稱為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。6）由 信號引起的 響應(yīng)稱為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。7）對LTI系統(tǒng)，零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的疊加稱為 響應(yīng)。8）設(shè)外加輸入為f(t)，單位沖激響應(yīng)為h(t)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為yf(t)= 。9）設(shè)系統(tǒng)的傳輸算子為，則單位沖激響應(yīng)h(t)= 。10）設(shè)系統(tǒng)的傳輸算子為，則單位沖激響應(yīng)h(t)= 。3.2 已知